Algèbre relationnelle : Mathématique

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08/03/2011

Algèbre relationnelle

Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

L'algèbre relationnelle est une théorie mathématique proche de la théorie des ensembles qui définit des opérations qui peuvent être effectuées sur des relations - des matricescontenant un ensemble de nuplets.

Au sujet de l'algèbre relationnelle[modifier]

L'algèbre relationnelle a été inventée en 1970 par Edgar Frank Codd, le directeur de recherche du centre IBM de San José. Cet algèbre est constituée d'un ensemble d'opérations formelles sur les relations. Les opérations relationnelles permettent de créer une nouvelle relation (table) à partir d'opérations élémentaires sur d'autres tables (par exemple l'union, l'intersection, ou encore la différence).

Les principes de l'algèbre relationnelle sont beaucoup utilisés de nos jours par les SGBD pour la gestion des bases de données informatiques comme le SQL, DBase, etc.

Cependant, les bases de données relationnelles ne fonctionnent pas tout à fait selon les règles ensemblistes de l'algèbre relationnelle. En effet, si l'on ne définit pas de clé primaire, il est possible d'insérer plusieurs lignes identiques dans une table, ce qui d'un point de vue ensembliste n'a pas de sens : un élément fait partie ou ne fait pas partie d'un ensemble. Si l'on veut appliquer strictement les règles des ensembles, il faut vérifier à chaque ajout dans une table que les lignes ne sont pas déjà présentes.

Eléments du modèle relationnel[modifier]

Objets précis du modèle[modifier]

Il s'agit ici de déterminer des Domaines (i.e., type atomique) :

Numérique : entier ou réel (SQL : Int, Float, etc.).
Chaîne de caractères (SQL : Char(20), VarChar(32), etc.).
Date (SQL : DATE, TIME, YEAR, etc.).
Type énuméré.

Relation ou Table[modifier]

Une relation (au sens du modèle de Codd) est constituée de deux choses :

Un Schéma : Le format de la table. Le schéma est fixé.
Une Extension : Le contenu de la table, qui est un ensemble de n-uplets dont l'ordre n'a pas d'importance.

Exemple :

Schéma :

{Cle: INT, Nom: VarChar(20), Email: VarChar(20)}

Extension :

{
 {Cle: 1, Nom: "Edgar", Email: "edgar@xxxxx.xx"}
 {Cle: 2, Nom: "Frank", Email: "Frank@xxxxx.xx"}
 ...
}

Requêtes en Algèbre relationnelle[modifier]

Définir un ensemble d'opérations élémentaires permettant, par combinaison éventuelle, d'obtenir les résultats escomptés.

La sélection (ou restriction) :

Notation : $sigma_{F}( R ),$
Données : Une relation $R,$ et une formule $F,$ formée d'une combinaison de comparaisons et de connecteurs logiques.
Résultat : $sigma_{F}( R ) = { r in R : r,$ satisfait la condition donnée par $F },$
Équivalent SQL : WHERE

La projection :

Notation : $pi_{A}( R ),$
Données : Une relation $R,$ et un ensemble d'attributs $A,$ de $R,$ .
Résultat : $pi_{A}( R ),$ , qui est la Relation $R,$ où on ne considère que les attributs de $A,$
Équivalent SQL : SELECT

Rebaptiser :

Notation : $rho_{a/b}(R),$
Données : Une relation $R,$ et un attribut $b,$ de $R,$ .
Résultat : $rho_{a/b}(R),$ , qui est la Relation $R,$ avec $b,$ rebaptisé $a,$
Équivalent SQL : AS

Opérateurs ensemblistes[modifier]

L'algèbre relationnelle possède les opérations usuelles sur les ensembles.

Soient $R(A),$ et $S(B),$ deux relations ayant pour ensembles d'attributs respectifs $A,$ et $B,$ :

Union : $R cup S={t: t in R ou t in S},$
Intersection : $R cap S={t: t in R et t in S},$
Différence : $R-S={t: t in R et t notin S},$
Produit cartésien : $R times S={(r,s) : r in R et s in S },$
Jointure : $R bowtie S={(a,b,c):(a,b)in R et (b,c) in S },$
Division : elle prend en entrée deux relations $R(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_p),$ et $S(y_1,...,y_p),$ .

Ainsi, tout n-uplet $r in R ,$ se décompose en deux n-uplets $r=(t,s),$ ,

avec $t=(t_1, ..., t_m),$ de schéma $X={x_1, ..., x_m},$ et

$s=(s_1, ..., s_p),$ de schéma $y={y_1, ..., y_p},$ .

et retourne la table de schéma $X,$ tel que $R/S={t: forall s in S, (t,s) in R},$

La division revient à donner “tous les x tels que pour tout y ...”

Exemples[modifier]

Relations de la base exemple :

Table Touristes:

idTouriste  NomT    Ville       Sport
---------- ------- ---------  ---------
1          Marc    Paris      Ski
2          Jean    Toulouse   Tennis
3          Franc   Marseille  Football
4          Thomas  Lyon       Voile
5          Max     Paris      Golf

Table Sports:

Sport
---------
Ski
Cyclisme
Tennis
Football
Voile
Golf

Table Destinations:

idTouriste  VilleD
---------- --------
1          Cannes
2          Ibiza
4          Tokyo

Sélection :

> $sigma_{Ville = 'Paris'}(,$ Touristes $),$

idTouriste NomT    Ville      Sport
---------- ------- ---------  ---------
1          Marc    Paris      Ski
5          Max     Paris      Golf

Projection :

> $pi_{NomT, Ville}(,$ Touristes $),$

NomT    Ville      
------- --------- 
Marc    Paris
Jean    Toulouse
Franc   Marseille
Thomas  Lyon
Max     Paris

Jointure :

> Touristes $bowtie,$ Destinations

idTouriste  NomT    Ville       Sport    VilleD
---------- ------- ---------  --------- --------
1          Marc    Paris      Ski        Cannes
2          Jean    Toulouse   Tennis     Ibiza
4          Thomas  Lyon       Voile      Tokyo