This work contains the study of the algebra called al-Badī‘ fī al-ḥisāb (literally : "the Wonderful on calculation"), written by the Persian mathematician Abu Bakr Muḥammad ibn al-Ḥusain al-Karaǧi(previously known as al-Karẖī, native from Karaǧ, Persia.
Written c. 1010 in Bagdad, this work takes an important place in history of mathematics in general. Of particular interest are the first known appearance of a theory on root extracting of algebraic polynomials, and the beginning of a tendency to get rid of illustrating formulas and the resolutions of equations with help of geometric figures, which makes it a pure algebraic text. This work of high level adresses to a public with advanced mathematic knowledge.
This algebra is, by will of the author, written in three main parts (books), containing part of Euclid's Elements (book I), a theory on root extracting of algebraic polynomials (book II), and a collection of problems on indeterminate analysis (book III). Some chapters are written hastily, while others go into the details.
We provide a complete translation of the Badī‘, based on the transcription of the manuscript 36,1 of the Vatican library Barberini Orientale by Adel Anbouba (edited in Beyrouth in 1964), as well as a glossary. This translation comes with a mathematical commentary, and includes a list of significant words used by the author. We will also relate this algebra with other prior and later works containing the same problems.
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
acceptée sur proposition du jury:
Prof. B. Dacorogna, président du jury
Prof. J. P. Buser, Dr J. Sesiano, directeurs de thèse
Dr B. Buffoni, rapporteur
Prof. A. Djebbar, rapporteur
Prof. J. Høyrup, rapporteur
Christophe HEBEISEN
THÈSE NO
4297 (2009)
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
PRÉSENTÉE LE 27 FÉvRIER 2009
À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE
CHAIRE DE GÉOMÉTRIE
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
Suisse
2009Résumé
Ce travail comporte l’étude de l’algèbre intitulée al-Bad¯ı‘ f¯ı al-h.
is¯ab (littéralement « le Merveilleux dans le calcul »), composée par le mathématicien persan Abu Bakr Muh. ammad ibn al-H. usain al-Karaˇg¯ı (précédemment
connu sous le nom de al-Karh
¯
¯ı), originaire de Karaˇg, Perse.
Écrit vers 1010 à Bagdad, cet ouvrage tient une place importante dans
l’histoire des mathématiques en général. D’un intérêt particulier sont la première apparition connue d’une théorie sur les extractions de racines de polynômes algébriques, et le début d’une tendance à se débarrasser de la tutelle
de la géométrie dans tous les domaines (illustration de formules ou démonstrations), ce qui en fait un ouvrage purement algébrique. De par son niveau
élevé, il s’adresse à un public averti possédant déjà des connaissances approfondies en mathématiques.
Cette algèbre est, de l’aveu de l’auteur, séparée en trois parties principales
(livres), comprenant des extraits tirés des Éléments d’Euclide (livre I), une
théorie sur l’extraction de racines de polynômes algébriques (livre II), et un
recueil de problèmes d’analyse indéterminée (livre III). Si certains passages
sont écrits hâtivement, d’autres au contraire sont approfondis et détaillés.
Nous donnons une traduction complète du Bad¯ı‘, sur la base de la transcription du manuscrit 36,1 de la bibliothèque du Vatican Barberini Orientale
par Adel Anbouba (édité à Beyrouth en 1964), ainsi qu’un glossaire. Cette
traduction est accompagnée d’un commentaire mathématiques des problèmes
qui y sont exposés, et comprend aussi un lexique des principaux termes mathématiques utilisés par l’auteur. Nous ferons aussi le lien avec des ouvrages
antérieurs et ultérieurs présentant les mêmes problèmes.
Mots-clefs : al-Bad¯ı‘, al-Badi‘, al-Karaˇg¯ı, al-Karaji, Anbouba, algèbre,
mathématiques des pays de l’Islam, Éléments d’Euclide, extraction de racines
de polynômes algébriques, analyse indéterminée, équations diophantiennes.
3Abstract
This work contains the study of the algebra called al-Bad¯ı‘ f¯ı al-h.
is¯ab
(literally : "the Wonderful on calculation"), written by the Persian mathematician Abu Bakr Muh. ammad ibn al-H. usain al-Karaˇg¯ı (previously known
as al-Karh
¯
¯ı), native from Karaˇg, Persia.
Written c. 1010 in Bagdad, this work takes an important place in history of mathematics in general. Of particular interest are the first known
appearance of a theory on root extracting of algebraic polynomials, and the
beginning of a tendency to get rid of illustrating formulas and the resolutions
of equations with help of geometric figures, which makes it a pure algebraic
text. This work of high level adresses to a public with advanced mathematic
knowledge.
This algebra is, by will of the author, written in three main parts (books),
containing part of Euclid’s Elements (book I), a theory on root extracting of
algebraic polynomials (book II), and a collection of problems on indeterminate analysis (book III). Some chapters are written hastily, while others go
into the details.
We provide a complete translation of the Bad¯ı‘, based on the transcription
of the manuscript 36,1 of the Vatican library Barberini Orientale by Adel
Anbouba (edited in Beyrouth in 1964), as well as a glossary. This translation
comes with a mathematical commentary, and includes a list of significant
words used by the author. We will also relate this algebra with other prior
and later works containing the same problems.
Keywords : al-Bad¯ı‘, al-Badi‘, al-Karaˇg¯ı, al-Karaji, Anbouba, algebra,
mathematics in islamic countries, Euclid’s Elements, root extraction of algebraic polynomials, indeterminate analysis, Diophantine equations.
5L’algèbre al-Bad¯ı‘ d’al-Karaˇg¯ı
Première partie
Introduction — Traduction — GlossaireTable des matières
Avertissements 11
Introduction 15
Biographie d’al-Karaˇg¯ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Œuvres d’al-Karaˇg¯ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Début de l’algèbre al-Bad¯ı‘ d’al-Karaˇg¯ı 25
Livre I : Sur les Éléments 29
1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Propositions tirées du livre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Propositions tirées du livre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Propositions tirées du livre II et autres identités algébriques . . . 53
5. Propositions tirées du livre IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6. Chapitre sur les nombres amiables . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7. Sur le livre X : Des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . . . . 81
8. De la commensurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9. Introduction aux opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10. Multiplication des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11. Division des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12. Addition et soustraction des monômes . . . . . . . . . . . 95
13. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14. Multiplication des polynômes à termes additifs . . . . . . 101
15. Multiplication des polynômes à termes soustractifs . . . . 103
16. Division par des binômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
17. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
18. Extraction des racines des binômes . . . . . . . . . . . . . 111
19. Extraction des racines des polynômes . . . . . . . . . . . . 117
20. Sur les cubes des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . 119
9Livre II : Des inconnues 121
1. Description et classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2. Dénomination des inconnues ; élévation au carré de polynômes
algébriques carrés composés d’au plus trois termes additifs ;
extraction des racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . 125
3. Élévation au carré de trinômes algébriques à termes soustractifs ;
racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4. Extraction de racines de polynômes algébriques à termes additifs 135
5. Cas particuliers d’extractions de racines de polynômes algébriques
à termes soustractifs ou dont les coefficients sont des binômes
d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6. Extraction de racines et élévation au carré de polynômes dont
les termes sont des fractions formées de polynômes algébriques 155
Livre III : De l’analyse indéterminée 157
1. Description des équations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2. Binômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs,
égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3. Binômes algébriques dont les termes ont deux degrés de diffé-
rence, possédant au moins un terme additif carré, égaux à des
carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4. Trinômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs
et possédant au moins un terme additif de degré pair carré,
égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5. Binômes algébriques à coefficients plans semblables, dont aucun
terme de degré pair n’est carré, égaux à des carrés . . . . . . . 171
6. Autres cas de binômes égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . 175
7. Trinômes algébriques sans terme carré, égaux à des carrés . . . . 179
8. Des questions du demandeur ; systèmes d’équations indéterminés 183
9. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10. Dernier système et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Glossaire 209
10L’algèbre al-Bad¯ı‘ d’al-Karaˇg¯ı
Deuxième partie
Commentaire — Annexes — BibliographieTable des matières
Livre I : Sur les Éléments 5
1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Propositions tirées du livre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Propositions tirées du livre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Propositions tirées du livre II et autres identités algébriques . . . 55
5. Propositions tirées du livre IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6. Chapitre sur les nombres amiables . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7. Sur le livre X : Des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . . . . 93
8. De la commensurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10. Multiplication des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11. Division des monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12. Addition et soustraction des monômes . . . . . . . . . . . 107
13. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14. Multiplication des polynômes à termes additifs . . . . . . 113
15. Multiplication des polynômes à termes soustractifs . . . . 117
16. Division par des binômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
18. Extraction des racines des binômes . . . . . . . . . . . . . 129
19. Extraction des racines des polynômes . . . . . . . . . . . . 137
20. Sur les cubes des grandeurs irrationnelles . . . . . . . . . 141
Livre II : Des inconnues 145
1. Description et classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2. Dénomination des inconnues ; élévation au carré de polynômes
algébriques carrés composés d’au plus trois termes additifs ;
extraction des racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . 147
3. Élévation au carré de trinômes algébriques à termes soustractifs ;
racines de tels carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4. Extraction de racines de polynômes algébriques à termes additifs 155
35. Cas particuliers d’extractions de racines de polynômes algébriques
à termes soustractifs ou dont les coefficients sont des binômes
d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6. Extraction de racines et élévation au carré de polynômes dont
les termes sont des fractions formées de polynômes algébriques 185
Livre III : De l’analyse indéterminée 187
1. Description des équations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2. Binômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs,
égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3. Binômes algébriques dont les termes ont deux degrés de diffé-
rence, possédant au moins un terme additif carré, égaux à des
carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4. Trinômes algébriques dont les termes ont des degrés consécutifs
et possédant au moins un terme additif de degré pair carré,
égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5. Binômes algébriques à coefficients plans semblables, dont aucun
terme de degré pair n’est carré, égaux à des carrés . . . . . . . 209
6. Autres cas de binômes égaux à des carrés . . . . . . . . . . . . . 213
7. Trinômes algébriques sans terme carré, égaux à des carrés . . . . 219
8. Des questions du demandeur ; systèmes d’équations indéterminés 225
9. Sur le même sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10. Dernier système et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Annexes 255
Bibliographie 259
Conclusions et perspectives 261
Remercîments 263
Curriculum vitæ 265
4
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