Ok

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de cookies. Ces derniers assurent le bon fonctionnement de nos services. En savoir plus.

28/01/2011

Lemme de Gauss (théorie des nombres)

Lemme de Gauss (théorie des nombres)

 

Source : http://dictionnaire.sensagent.com/lemme+de+gauss+(th%C3%A...

Un article de Wikipedia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss.

Un lemme de Gauss est utilisé en théorie des nombres dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité quadratique [1].

Pour n'importe quel nombre impair p, soit a un entier qui est relativement premier à p.

On considère les entiers

a, 2a, 3a, dots, frac{p-1}{2}a

et leurs plus faibles résidus modulo m.

Soit n le nombre de ces résidus qui sont plus grands que p/2. Alors

left(frac{a}{p}right) = (-1)^n

où left(frac{a}{p}right) est le symbole de Legendre.

Ceci peut, par exemple, être appliqué immédiatement quand a = −1, donnant

left(frac{-1}{p}right) = (-1)^frac{p-1}{2}.

D'un point de vue plus sophistiqué, ceci est un cas de transfert.

Preuve

Une preuve assez simple de ce lemme peut être déduite du principe utilisé pour la démonstration dupetit théorème de Fermat. Pour cela, évaluons le produit suivant :

Z = a cdot 2a cdot 3a cdot cdots cdot frac{p-1}2 a

modulo p de deux manières différentes.

Premièrement, ce produit vaut :

Z = a^{(p-1)/2} left(1 cdot 2 cdot 3 cdot cdots cdot frac{p-1}2 right).

Le second calcul est plus délicat. Si x est un résidu non nul modulo p, définissions la "valeur absolue" de x comme

|x| = begin{cases} x & mbox{si } 1 leq x leq frac{p-1}2, \ -x & mbox{si } frac{p+1}2 leq x leq p-1. end{cases}

Comme n dénombre les multiples ka se trouvant dans le second intervalle, et que pour ces multiples,−ka se trouve dans le premier intervalle, on a :

Z = (-1)^n left(|a| cdot |2a| cdot |3a| cdot cdots cdots left|frac{p-1}2 aright|right).

Maintenant, observons que les valeurs |ra| sont distinctes pour r = 1, 2, ..., (p−1)/2. En effet, si |ra| = |sa|, alors ra = ±sa, et donc r = ±s (parce que a est inversible modulo p), donc r = s car ils appartiennent tous deux à l'intervalle 1 ≤ r ≤ (p−1)/2. Mais il y en a exactement (p−1)/2, donc cette séquence représente une permutation des entiers 1, 2, ..., (p−1)/2. On obtient :

Z = (-1)^n left(1 cdot 2 cdot 3 cdot cdots cdot frac{p-1}2right).

En comparant avec notre premier calcul, on peut supprimer les facteurs non nuls :

1 cdot 2 cdot 3 cdot cdots cdot frac{p-1}2

ce qui nous donne

a^{(p-1)/2} = (-1)^n.

Ceci est le résultat souhaité, car la partie de gauche n'est qu'une réécriture du symbole de Legendre(a/p).

Références

  1.  Lemmermeyer1

Liens externes

  •  Portail des mathématiques
.

.

This entry is from Wikipedia, the leading user-contributed encyclopedia. It may not have been reviewed by professional editors (see full disclaimer) . Donate to wikipedia.

Licence : Wikipedia. This article is licensed under the GNU Free Documentation License.

22:26 | Lien permanent | Commentaires (0) | |  del.icio.us | | Digg! Digg |  Facebook

Les commentaires sont fermés.