Groupe symplectique : Mathématique

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03/12/2010

Groupe symplectique

En mathématiques, le terme groupe symplectique est utilisé pour désigner deux familles différentes de groupes linéaires. On les note Sp(2n, E) et Sp(n), ce dernier étant parfois nommé groupe compact symplectique pour le distinguer du premier. Cette notation ne fait pas l’unanimité et certains auteurs en utilisent d’autres, différant généralement d’un facteur 2. La notation utilisée dans cet article est en rapport avec la taille des matrices représentant les groupes.

Sommaire

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Sp(2n,E) [modifier]

Le groupe symplectique de degré 2n sur un corps E, noté Sp(2n, E), est le groupe des matrices symplectiques 2n×2n à coefficients dans E, muni de la multiplication matricielle. Comme toutes les matrices symplectiques ont pour déterminant 1, le groupe symplectique est un sous-groupe du groupe spécial linéaire SL(2n, E).

De façon plus abstraite, le groupe symplectique peut être défini comme l’ensemble des transformations linéaires d’un espace vectoriel de dimension 2n sur E préservant une forme non-dégénérée, antisymétrique et bilinéaire.

Si n = 1, la condition symplectique sur une matrice est satisfaite si et seulement si son déterminant est tel que Sp(2, E) = SL(2, E). Pour n>1, d’autres conditions s’y ajoutent.

Typiquement, le corps E est le corps des nombres réels $mathbb R$ ou des nombres complexes $mathbb C$ . Dans ce cas, Sp(2n, E) est un groupe de Lie réel ou complexe, de dimension réelle ou complexe n(2n + 1). Ces groupes sont connexes mais pas compacts. Sp(2n, $mathbb C$ ) est simplement connexe tandis que Sp(2n, $mathbb R$ ) possède un groupe fondamental isomorphe à Z.

L’algèbre de Lie de Sp(2n, E) est donnée par l’ensemble des matrices 2n×2n réelles ou complexes A satisfaisant :

J A + A T J = 0

où $A T$ est la transposée de A et J est la matrice antisymétrique

$J = begin{pmatrix} 0 & I_n \ -I_n & 0 \ end{pmatrix}$

Sp(n) [modifier]

Le groupe symplectique Sp(n) est le sous-groupe de GL(n, $mathbb H$ ) ( $mathbb H$ étant l’ensemble des matrices quaternioniques inversibles) préservant la forme hermitienne standard sur $mathbb H^n$ :

$langle x, yrangle = bar x_1 y_1 + cdots + bar x_n y_n$

C’est-à-dire que Sp(n) est simplement le groupe unitaire quaternionique U(n, $mathbb H$ ). Il est d’ailleurs parfois appelé groupe hyperunitaire. Sp(n) n’est pas un groupe symplectique au sens de la section précédente : il ne préserve pas une forme antisymétrique sur $mathbb H^n$ (en fait, une telle forme n’existe pas).

Sp(n) est un groupe de Lie de dimension n(2n + 1). Il est compact, connexe et simplement connexe. L’algèbre de Lie de Sp(n) est donnée par l’ensemble des matrices quaternioniquesn×n satisfaisant

$A+A^{dagger} = 0$

où $A^{dagger}$ est la transposée conjuguée de A.

Relations entre les groupes symplectiques [modifier]

La relation entre les groupes Sp(2n, $mathbb R$ ), Sp(2n, $mathbb C$ ) et Sp(n) est la plus évidente au niveau de leur algèbre de Lie. Les algèbres de Lie de ces trois groupes, considérés comme groupes de Lie réels, partagent la même complexification. Dans la classification des algèbres de Lie simples de Cartan, cette algèbre est notée C_n.

L’algèbre de Lie complexe C_n est juste l’algèbre sp(2n, $mathbb C$ ) des groupes de Lie complexes Sp(2n, $mathbb C$ ). Cette algèbre possède deux formes réelles différentes :