Théorème de Schwarz : Mathématique

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19/11/2010

Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s'énoncer ainsi :

Théorème de Schwarz — Soit $f$ , une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert $U$ de ℝⁿ. Si les dérivées partielles existent à l'ordre $p$ et sontcontinues en un point $x$ de $U$ , alors le résultat d'une dérivation à l'ordre $p$ ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux $p$ variables considérées.

Dans le cas particulier des fonctions de deux variables $x$ et $y$ , on obtient :

$frac{partial}{partial x}left( frac{partial f}{partial y} right) = frac{partial}{partial y}left( frac{partial f}{partial x} right)$

[Dérouler]

Démonstration

Un contre-exemple [modifier]

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Considérons la fonction :

$f(x,y)= begin{cases} frac{x y^3}{x^2 + y^2} & text{si } (x,y) neq (0,0) \ 0 & text{sinon} end{cases}$

Les dérivées sont :

$frac{partial f}{partial x}(x,y) = begin{cases} y^3 frac{y^2- x^2}{( x^2 + y^2 )^2} & text{si } y neq 0 \ 0 & text{sinon} end{cases}$

$frac{partial f}{partial y}(x,y) = begin{cases} x y^2 frac{3 x^2 + y^2}{( x^2 + y^2 )^2} & text{si } (x,y) neq (0,0) \ 0 & text{sinon} end{cases}$

Les dérivées partielles croisées d'ordre 2 en $(0,0)$ sont

$frac{partial^2 f}{partial x partial y} (0,0) = 0text{ et }frac{partial^2 f}{partial y partial x} (0,0) = 1$

Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes [modifier]

Considérons la forme différentielle exacte suivante, où $f$ est une fonction de classe $C 2$ :

$mathrm df = a(x,y),mathrm dx + b(x,y),mathrm dy$

Nous savons alors que :

$a(x,y) = frac{partial f}{partial x}$ et $b(x,y) = frac{partial f}{partial y}$

En appliquant le théorème de Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :

$frac{partial a(x,y)}{partial y} = frac{partial b(x,y)}{partial x}$

(par dérivation et inversion de l'ordre de dérivation...)

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Schwarz

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