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19/11/2010

Lemme de Schwarz

Lemme de Schwarz

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Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe.

Lemme — Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que :

  • f(0) = 0~
  • forall z in D, ~ |f(z)| leqslant 1

Alors on a :

 qquad |f(z)| leqslant |z|  pour tout z appartenant à D et qquad |f'(0)| leqslant 1 .

Si, de plus, il existe un élément non nul z0 de D vérifiant f(z0) | = | z0 | , ou bien si f'(0) | = 1, alors il existe un nombre complexe a de module 1 tel que f(z) = az pour tout z appartenant à D.

Le lemme de Schwarz est utilisé notamment pour déterminer les automorphismes du disque D dans lui-même.

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