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31/07/2010

Une introduction à la théorie des nombres

Une introduction à la théorie des nombresGodfrey Harold Hardy, Edward M. Wright

Etude (broché). Paru en 11/2006

Le Mot de l'éditeur : Une introduction à la théorie des nombres

Les nombres peuvent être décrits comme des objets mathématiques avec lesquels on compte (« dénombre ») et on mesure (le temps, des surfaces, etc.). Ces entités abstraites composent les éléments d’un certain langage, celui de l’arithmétique ou de la géométrie par exemple. Les différents nombres (décimaux, premiers, entiers naturels et entiers relatifs, réels, rationnels ou irrationnels, etc.) et leurs propriétés respectives font l’objet de la théorie des nombres. Jean Dieudonné, l’un des mathématiciens français les plus célèbres du XXe siècle, s’y est notamment illustré, après d’autres génies comme Pierre de Fermat ou encore Évariste Galois.

Voici la première traduction en langue française d’un très grand classique des mathématiques , ouvre de deux mathématiciens britanniques qui ont enseigné à Oxford, à Cambridge, à Aberdeen et dans d’autres prestigieuses universités. Publié pour la première fois en 1938, ce livre fondateur a sans cesse été réédité. Notre traduction reprend la cinquième et dernière édition publiée par Oxford University Press en 1979, continuellement réimprimée depuis. Nous la coéditons avec Springer Verlag, le plus renommé des éditeurs de sciences.

Fiche détaillée : Une introduction à la théorie des nombres

Auteur	Godfrey Harold Hardy , Edward M. Wright
Editeur	Vuibert
Date de parution	novembre 2006
ISBN	2711771687
Illustration	Pas d'illustrations

30/07/2010

Agrégation de mathématiques pour s

Agrégation de mathématiques pour s , Epreuves orales 68 thèmes, leçons d'analyse, probabilités, algèbre et géométrieIvan Nourdin

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Fiche détaillée : Agrégation de mathématiques pour s

Auteur	Ivan Nourdin
Editeur	Dunod
Date de parution	mai 2006
Collection	Capes Agreg.
Format	17 cm x 24 cm
ISBN	2100498312
Illustration	Pas d'illustrations
Nombre de pages	330

Théorie des nombres , Cours et exercices corrigés 2ème cycle

Théorie des nombres , Cours et exercices corrigés 2ème cycleDaniel Duverney

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 06/2007

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29/07/2010

Objectif agrégation , Mathématiques

Objectif agrégation , MathématiquesVincent Beck, Jérôme Mallick, Gabriel Peyré

Etude (broché). Paru en 08/2005

Pour commander le livre

28/07/2010

Révolution mathématique du XVIIème siècle

Révolution mathématique du XVIIème siècleEvelyne Barbin

Etude (broché). Paru en 11/2006

POUR COMMANDER LE LIVRE

Le Mot de l'éditeur : Révolution mathématique du XVIIème siècle

Dans un célèbre passage, Galilée écrit :
La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux (je veux dire l'univers), mais on ne peut le comprendre si l'on n'apprend pas d'abord à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles, et d'autres figures géométriques, sans l'intermédiaire desquels il est humainement impossible d'en comprendre un seul mot.

Cet ouvrage propose une histoire de la révolution mathématique du XVIIe siècle, à l'intérieur de laquelle de nouvelles mathématiques ont été construites et la nature a été construite en termes mathématiques. À partir des années 1620, la science poursuit de nouveaux buts, il ne s'agit plus seulement de spéculer mais d'inventer, de résoudre des problèmes, de progresser et de maîtriser la nature. Le scientifique construit une réalité du monde à l'image de celle du monde technique, une réalité faite de quantités régies par des lois. C'est ainsi que les mathématiques vont remplacer la logique aristotélicienne dans l'étude de la nature. Les mathématiques ne sont plus purement spéculatives, mais elles sont inscrites dans la réalité du monde, elles permettent une compréhension de la réalité et une action sur elle. Ce nouveau statut appelle une transformation des mathématiques, de leurs méthodes, de leurs objets et de leurs significations. Les courbes sont les premières à être modifiées par ce nouvel enjeu. L'invention du courbe dans les années 1630-1640 désigne sans nul doute le trait le plus important de la "révolution mathématique du XVIIe siècle".
L'objet de cet ouvrage est la révolution mathématique du XVIIe siècle, non pas celle que nous pourrions définir, caractériser, décréter, à partir de cadres ou de théories a priori, mais la révolution que les acteurs mêmes disent vouloir ou non accomplir, la révolution de Bacon, Descartes, Galilée, Roberval, Fermat, Pascal, Huygens, Leibniz, Newton et de quelques autres.

Extrait du livre :
Révolution mathématique et invention du courbe
(...)
Nous ne nous satisfaisons pas de l'idée selon laquelle la mathématisation de la nature se serait imposée d'emblée à cette époque, ou du préjugé selon lequel des nouveautés mathématiques viendraient à point nommé pour s'appliquer à la nouvelle science physique. Dans cet ouvrage, nous étudions un seul et même processus historique à l'intérieur duquel les nouvelles mathématiques ont été construites et la nature a été construite en termes mathématiques.
La nouvelle science physique est nouvelle, d'abord par son questionnement. Dans la philosophie naturelle d'Aristote, il s'agissait d'expliquer les phénomènes par des causes, alors que pour le scientifique du 17ème siècle, il s'agit d'abord de comprendre des phénomènes, naturels ou artificiels, par leurs effets quantifiés et mesurés. C'est un autre questionnement sur le réel qui oriente les recherches. La science poursuit de nouveaux buts, il ne s'agit pas de spéculer mais d'inventer, de résoudre des problèmes, de progresser et de maîtriser la nature.

Fiche détaillée : Révolution mathématique du XVIIème siècle

Auteur	Evelyne Barbin
Editeur	Ellipses
Date de parution	novembre 2006
ISBN	2729831444
Illustration	Pas d'illustrations

27/07/2010

La "taille" des ensembles : ordinaux, cardinaux

La "taille" des ensembles : ordinaux, cardinaux

Source : http://www.les-mathematiques.net/a/a/a/node3.php3

Définition [Définitions de base pour les ordinaux] On dit qu'un ensemble muni d'une relation d'ordre est bien ordonné si et seulement si toute partie non vide de cet ensemble admet un élément minimum. L'ordre est alors appelé un bon ordre. On appelle segment initial d'une partie bien ordonnée un ensemble de cette partie tel que étant donné un élément de cette partie, tous les éléments qui sont inférieurs à cet élément sont aussi dans la partie. On appelle segment initial engendré par l'ensemble des plus petits que ; cette partie est clairement un segment initial.
Un ensemble est dit transitif si tout élément de cet ensemble est inclus dans cet ensemble. C'est à dire que si , alors (non, il n'y a pas de faute de frappe!). Un ensemble est un ordinal s'il est transitif s'il est bien ordonné par , cette relation étant une relation d'ordre strict. On note l'ensemble des ordinaux.

Par exemple les ensembles suivants sont des ordinaux:

Proposition Les segments initiaux d'un ordinal sont soit lui-même, soit ses éléments.
Tout élément d'un ordinal est un ordinal.
Un ordinal n'appartient pas à lui-même.

Démonstration
Soit un segment initial d'un ordinal . Alors est un segment initial engendré par un certain ( est l'élément minimum de ); l'ensemble des éléments qui sont plus petits que étant les éléments qui appartiennent à (puisque c'est ainsi que l'on a défini la relation d'ordre), est donc le segment initial engendré par .
Facile...
Il suffit de voir que l'on a imposé que soit un ordre strict.

Proposition Etant donné deux ordinaux et , une et une seule des trois assertions suivantes est vérifiée:

.

Démonstration Il suffit de considérer l'intersection de et et d'examiner ses propriétés.

La relation est donc une relation d'ordre total sur la classe des ordinaux.

Proposition La relation est un bon ordre sur la classe des ordinaux.
Le plus petit élément de la classe des ordinaux plus grands que est .
L'union d'une classe d'ordinaux est un ordinal; il est plus grand que tous les ordinaux de cette classe, et il est plus petit que tous les autres ordinaux plus grands que tous ces ordinaux.

Démonstration
Il suffit de constater comme on l'a vu plus haut que le segment initial engendré par est .
Il est clair que doit appartenir à un tel élément, ainsi qu'être inclus dedans; réciproquement l'ensemble .
Facile.

Définition Etant donné un ordinal, est appelé le successeur de . On le note . est dit le prédécesseur de .

Propriété amusante:
La classe des ordinaux n'est pas un ensemble. En effet si un tel ensemble existe, alors tout élément de est un ordinal, et donc un ensemble d'ordinaux, et donc ; ce qui n'est pas possible pour un ordinal puisque est une relation d'ordre strict.

Définition On appelle morphisme d'ordre entre deux ensembles ou classes ordonnés et une application de vers telle que . Un morphisme d'ordre bijectif est appelé isomorphisme d'ordre. S'il existe un isomorphisme d'ordre entre deux ensembles ou classes alors on dit que ces ensembles ou classes sont isomorphes pour l'ordre.

Théorème S'il existe un isomorphisme d'ordre entre deux ordinaux et , alors et sont égaux (alors l'isomorphisme d'ordre est l'identité).

Théorème Pour tout ensemble ordonné il existe un et un seul isomorphisme d'ordre de vers un ordinal.

Théorème Toute relation de bon ordre dont le domaine n'est pas un ensemble est nécessairement isomorphe pour l'ordre à la classe des ordinaux.

Il est ensuite possible de montrer que s'il est vrai pour une certaine propriété à une seule variable libre que est vrai pour tout ordinal plus petit que , alors est vraie pour , alors on peut conclure que la propriété est vraie pour tout ordinal.

Il reste de nombreuses choses à justifier pour expliquer toutes les petites choses que l'on s'autorise en maths sans se prendre la tête trop; mais ces considérations dépassent mon propos...

**Figure:** Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein.

Théorème [Théorème de Cantor-Bernstein] Soit et deux ensembles, une injection de dans , et une injection de dans ; alors il existe une bijection de dans .

Démonstration On considère l'ensemble des parties de telles que .
On montre que cet ensemble admet un élément maximal (car il est stable par réunion)
On montre que le maximum vérifie
On montre que la fonction qui à associe si et l'unique tel que si est une bijection

Définition [Définitions sur les ordres] Un ordre est une relation réflexive, antisymétrique, transitive.
Une relation d'ordre strict est une relation telle que définie par soit une relation d'ordre, et telle que pour tout .
Un élément d'une partie est un minimum de cette partie si et seulement si et si .
Un élément d'une partie est un élément minimal de si et seulement si et si et .
Un élément est dit minorant d'une partie si ; il n'est pas nécessaire que soit dans .
On définit de même maximum, élément minimal, majorant.
La figure illustre ces notions.

Un bon ordre est un ordre tel que toute partie non vide a un minimum.

**Figure:** Illustration de quelques notions sur les ordres. n'a pas de minorant, ni de plus petit élément; par contre il a un maximum, c'est le même élément que l'élément maximal unique. Bien noter toutefois qu'un élément maximal, même lorsqu'il est unique, n'est pas nécessairement un maximum.

Axiome [Axiome du choix, première version] Etant donné un ensemble , il existe une fonction qui à une partie non vide de associe un élément de cette partie.

Axiome [Axiome du choix, deuxième version] Un produit d'ensembles non vides est non vide.

On montre facilement que ces deux axiomes sont équivalents. Pour des applications amusantes de l'axiome du choix on pourra consulter .

Théorème [Théorème de Zermelo] non vide il existe une relation de bon ordre (i.e. telle que toute partie non vide admette un minimum).

Il est difficile de montrer ce théorème à partir de l'axiome du choix. La réciproque est par contre facile.

Définition [Ensemble inductif] Deux éléments sont dits comparables si l'un des deux est inférieur ou égal à l'autre.
On appelle chaine un ensemble totalement ordonné, c'est à dire tel que deux éléments soient toujours comparables.
Un ensemble ordonné est dit inductif si toute chaine admet un majorant.

Lemme [Lemme de Zorn] Tout ensemble non vide ordonné inductif admet un élément maximal.

Le lemme de Zorn est équivalent au théorème de Zermelo, lui même équivalent aux deux versions de l'axiome du choix. On peut montrer Zermelo à partir de Zorn en considérant l'ensemble des bons ordres sur des parties de , un couple étant inférieur à un couple , avec et des parties de et et des bons ordres sur respectivement et , si , , et si et avec , alors .

L'axiome du choix permet par exemple de démontrer l'existence d'une base pour tout espace vectoriel. L'axiome du choix est équivalent à l'existence d'une injection de dans ou de dans pour tous ensembles et ; la preuve de ce fait à partir de Zorn se fait facilement, en considérant les bijections entre des parties de et des parties de , par contre la réciproque est difficile.

L'axiome de fondation est l'assertion selon laquelle dans tout ensemble non vide il existe un élément d'intersection vide avec cet ensemble; l'axiome de fondation sera plus détaillé en .

Théorème [Consistance relative de et de ]

( désigne l'axiome du choix)

Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et axiome du choix est consistante.
Si la théorie axiomatique de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix est consistante.
D'autre part si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec la négation de l'axiome du choix est consistante.
Enfin, si la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation est consistante, alors la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome de fondation et avec la négation de l'axiome du choix (i.e. en supposant qu'il existe un ensemble sur lequel on ne peut pas construire une relation de bon ordre) est consistante.

Démonstration Fortement non trivial. Je passe.

Il est aussi possible de remplacer la négation de l'axiome du choix par le fait que ne puisse pas être bien ordonné; une telle théorie est consistante si la théorie avec axiome de fondation est consistante.

On peut énoncer sans l'axiome du choix:
- un produit de groupes est non vide
- un produit dénombrable d'espaces métriques compacts est compact

Définition Deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre.

Il est évident qu'il s'agit là d'une relation d'équivalence.

L'axiome du choix permet de démontrer le théorème suivant:

Théorème Tout ensemble est équipotent à un ordinal.

Définition Etant donné un ensemble, on sait qu'il existe au moins un ordinal auquel cet ensemble est équipotent. Eventuellement il peut y en avoir plusieurs; le plus petit élément de ces ordinaux (au sens défini plus haut sur les ordinaux, c'est à dire la relation ) est appelé le cardinal de l'ensemble. On note usuellement le cardinal de , ou . On note la classe des cardinaux.

Théorème [Théorème de Cantor] Pour tout ensemble , on a .

Démonstration Supposons le contraire; alors il existe une surjection de dans . Posons l'ensemble des tels que ; il suffit alors de considérer le tel que . On constate que si , alors ; et vice-versa.

On notera que n'est pas un ensemble; sinon on pourrait construire un ensemble égal à , ce qui est impossible.

Définition [Somme de cardinaux] On note le cardinal de l'union disjointe de deux ensembles respectivement équipotents à et .
On notera que cette définition pose quelques petits problèmes de définition, pas difficiles à résoudre. L'addition de cardinaux est commutative et associative.
Une propriété importante est le fait que la somme des pour est le plus grand élément entre et les , sous réserve que l'un au moins de ses ensembles (ou l'un des ) soit infini.

Définition [Produit de cardinaux] On note le cardinal du produit cartésien de et de .

Là aussi il convient de vérifier que le produit de deux couples d'ensembles de mêmes cardinaux respectifs est le même. On peut en outre vérifier que la multiplication de cardinaux est associative et commutative, et distributive par rapport à l'addition. On notera que le produit de deux cardinaux est le plus grand de ces deux cardinaux.

Définition [Exponentiation de cardinaux] Etant donnés des cardinaux et on note le cardinal de l'ensemble des applications de dans .
On vérifiera facilement que la définition a bien un sens. On peut aussi montrer que $A^{B+C}=A^Btimes A^C$ et que ${A^B}^C=A^{Btimes C}$ .

De nombreuses manipulations plus approfondies sur les cardinaux requièrent l'axiome du choix.

Définition Un ordinal est dit fini si tout ordinal inclus dans cet ordinal admet un prédécesseur. On appelle aussi entier naturel un ordinal fini.

Moi ça m'amuse beaucoup de définir un entier naturel comme étant un ensemble incluant chacun de ses éléments, tel que pour toute partie de il existe tel que pour tout et pour tout élément de il existe incluant chacun de ses éléments, tel que pour toute partie de il existe tel que pour tout , et tel que . Si je me suis pas gouré.

On montre plein de choses bien agréables sur les ordinaux finis; ils sont stable par union, produit, exponentiation. On montre aussi que tout ordinal fini est un cardinal.

Définition Un cardinal est dit fini s'il est fini en tant qu'ordinal. Dans le cas contraire il est dit infini. On note la classe des cardinaux infinis.

Nous supposons maintenant l'axiome de la théorie des ensembles selon lequel il existe un ordinal infini. Un ordinal infini est, par définition, un ordinal qui n'est pas fini. Cet axiome de la théorie des ensembles est équivalent à l'axiome selon lequel la classe des ordinaux finis est un ensemble; ainsi, puisque la classe des ordinaux n'est pas un axiome, il existe un ordinal infini. On peut encore formuler cet axiome en disant qu'il existe un ordinal limite, au vu de la définition ci-dessous:

Définition Un ordinal différent du vide et sans prédécesseur est appelé un ordinal limite. C'est donc un ordinal non vide tel que tout élément plus petit que lui a un successeur aussi plus petit que lui.

Propriété: Un ordinal limite est l'union des ordinaux qui lui sont inférieurs.

Définition On appelle le minimum des ordinaux infinis. est donc un ordinal limite, c'est le plus petit, et c'est l'ensemble des ordinaux finis.
Un ensemble est dit fini si son cardinal est fini.
Un ensemble est dit dénombrable si son cardinal est inférieur ou égal à .
est un cardinal; on note $aleph_0={omega}$ et pour tout ordinal n'étant pas un ordinal limite, alors avec le prédécesseur de , est le plus petit ordinal plus grand que ; et si est un ordinal limite, alors est l'union des pour .

Propriété:
Un ensemble infini est un ensemble contenant une partie dénombrable infinie.
Un ensemble infini est un ensemble qui est en bijection avec l'une de ses parties propres.
est un cardinal.

suivant: monter: précédent:

C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Berard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud

Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

Source : http://www.les-mathematiques.net/a/a/a/node2.php3

Une classe est associée à une propriété d'une seul élément; c'est à dire que l'on se donne une assertion comportant une et une seule variable libre; un élément est dans la classe correspondante s'il vérifie l'assertion. Les formules comportant plusieurs variables libres sont appelées relations. Eventuellement on peut avoir une distinction entre des variables et des paramètres; dans ce cas on a une classe pour chaque valeur possible des paramètres.
La théorie des ensembles est basée sur un ensemble d'axiomes. Les objets de cette théorie sont appelés ensembles, et la classe des ensembles est appelée univers. Les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sont les suivants:

Axiome Axiome d'extensionalité:

( deux ensembles sont égaux si et seulement si ils contiennent exactement les mêmes éléments )

Axiome Axiome de l'union:

( une union d'ensembles est un ensemble )

Axiome Axiome de l'ensemble des parties:

( les parties d'un ensembles forment une partie. On note l'assertion )

Axiome Axiome du schéma de remplacement:
Etant donné une formule ${cal R}(x,y,z_0,...,z_n)$ de paramètres , définissant pour toute valeur des une fonction, alors:

$displaystyle forall z_0 ... forall z_n ( forall x forall y forall y' {cal R}(x,y,z_0,...,z_n)land E(x,y',z_0,...,z_n) rightarrow y=y')$

$displaystyle rightarrow forall t exists w forall v ( v in w iff exists u ( u in t land {cal R}(u,v,z_0,...,z_{n}) ))$

On ajoute usuellement un axiome supplémentaire à ces axiomes:

Axiome axiome de l'infini, qui affirme qu'il existe un ordinal infini. Nous verrons plus loin ce qu'est un ordinal, et ce qu'est un ordinal fini.

Théorème La consistance de ces axiomes n'est pas changée si on remplace l'axiome de l'infini par sa négation.

Démonstration Voir [12]...

On appelle paire l'ensemble . Ne pas confondre avec le couple , qui désigne en fait l'ensemble . On note de même l'ensemble , et ainsi de suite pour les -uplets ordonnés.
La différence entre ${x_0,...,x_n}$ et est que dans le premier cas l'ordre des termes n'influe pas, alors que dans le second elle influe. On démontre l'associativité et la commutativité de l'union. On notera l'ensemble des parties de l'ensemble .

On notera que toutes les opérations intuitives sur les ensembles sont possibles, enfin presque. On peut en tout cas utiliser les intersections, définir l'ensemble des éléments d'un ensemble donné qui vérifient une propriété donnée, on peut travailler sur l'ensemble des parties d'un ensemble, on peut travailler sur un produit cartésien d'ensembles, bref toutes ces choses sans lesquelles les maths prendraient vraiment la tête. On peut aussi montrer l'existence et l'unicité de l'ensemble vide.

suivant: La "taille" des ensembles monter: Théorie des ensembles - précédent: Théorie des ensembles - Index

C.Antonini_JF.Quint_P.Borgnat_J.Berard_E.Lebeau_E.Souche_A.Chateau_O.Teytaud

Théorème de Cantor Bernstein

Source : http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/spip/article.php3?i...

Théorème de Cantor Bernstein

Par Guy Philippe
Le samedi 20 novembre 2004.

Voici une preuve constructive et très simple de ce théorème fondamental. Elle ne requière que peu de connaissance ( il suffit de savoir ce qu'est une injection ,une surjection et une bijection) et est donc accessible à tous. Rémi Saint-Romain avait indiqué les grandes lignes de la preuve. Guy Philippe a écrit et détaillé la démonstration.

L'axiome de fondation

Source : http://www.les-mathematiques.net/a/a/a/node6.php3

Axiome [Axiome de fondation] On appelle axiome de fondation l'axiome selon lequel pour tout ensemble non vide il existe tel que et .

Cet axiome entraîne, par exemple, qu'il n'existe pas d'ensemble tel que , ni d'ensemble tel que .

Théorème Si la théorie de Zermelo-Fraenkel est consistante, alors la théorie de Zaermelo-Fraenkel plus axiome de fondation est consistante.
Démonstration Dure!

Théorème Il n'existe pas de suite d'ensembles telle que $U_{n+1} in U_n$ pour tout .
Démonstration La preuve, facile, nécessite l'axiome de fondation.

Théorème Si l'on utilise l'axiome de fondation, alors un ensemble est un ordinal si et seulement si il est transitif et si deux éléments et de vérifient au moins une des assertions suivantes:

Démonstration La preuve est plus difficile, et je ne la donne pas ici car elle dépasse mon propos de simple brève introduction à la théorie des ensembles.

Bien sûr on peut montrer que si ces hypothèses sont vérifiées alors pour tout couple c'est l'une et une seule des assertions qui est vérifiée.

Théorème Si l'on utilise l'axiome de fondation, alors pour tout ensemble il existe un unique ensemble transitif contenant et inclus dans tout ensemble transitif incluant .
Démonstration Non triviale.

Définition On appelle fermeture transitive de l'ensemble transitif dont l'existence est garantie par le théorème .

Propriété:
La fermeture transitive de est la réunion de et de l'union des fermetures transitives des éléments de .

Définition Une relation est dite extensive si .
Un ensemble est dit extensif si est une relation extensive sur cet ensemble. C'est à dire que si deux éléments ont même intersection avec l'ensemble, alors ils sont égaux.

Propriétés:
Un ensemble transitive est extensif.
Un ensemble extensif est isomorphe à un ensemble transitif, et l'isomorphisme est unique (nécessitant l'axiome de fondation).

Il est possible de prouver que l'axiome de fondation est relativement consistant, c'est à dire que la théorie basée sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel est consistante si et seulement si la théorie basée sur les mêmes axiomes plus l'axiome de fondation est consistante.