troncature : Mathématique

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19/11/2010

Troncature

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En mathématiques, la troncature est un terme utilisé pour couper le développement décimal d'un nombre à un certain nombre de chiffres après la virgule, ou le développement limitéd'une fonction à un certain ordre.

Sommaire

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Troncature d'un nombre [modifier]

Par exemple, considérons les nombres réels:

5,6341432543653654

32,438191288

6,3444444444444

Pour tronquer ces nombres à quatre décimales, seuls sont gardés les quatre chiffres après la virgule.

Le résultat serait:

5,6341

32,4381

6,3444

Remarquons que dans certains cas, la troncature donne le même résultat qu'un arrondi, mais ne correspond pas à un arrondissage par excès; elle découpe simplement les décimales à une position précise (du moins pour les nombres positifs). L'erreur de troncature ne peut excéder deux fois l'erreur maximale d'un arrondi.

On peut s'interroger sur l'existence de la troncature d'un nombre négatif $a$ , car alors la disparition des chiffres de $a$ à partir d'un certain rang ne se fait pas grâce à la partie entière de $a$ , mais grâce à la partie entière de - $a$ .

Troncature et fonction partie entière [modifier]

La troncature peut être effectuée en utilisant la fonction partie entière. Soit $x in mathbb{R}_+$ un nombre à tronquer et $n in mathbb{N}^{*}$ , le nombre de chiffres à garder après la virgule, la troncature de $x$ à $n$ décimales est égale à:

$frac{left[ 10^n cdot x right]}{10^n},$

où $[a]$ désigne la partie entière de $a$ .

Généralisation de la troncature [modifier]

La troncature peut être généralisée à d'autres systèmes que le système de base dix. Par exemple, on peut vouloir tronquer une longueur exprimée en centimètres au pouce près (c'est du pouce du système impérial anglo-saxon dont il s'agit ici). Le résultat sera un nombre de centimètres qui sera un multiple de l'équivalent en centimètre du pouce. Il sera inférieure à la valeur non tronquée et l'erreur de troncature devra être inférieure strictement à la valeur du pouce en centimètres. Pour cela, il existe une formule qui généralise la formule de troncature décimale :

$left[frac{x}{a}right] cdot a$

où $[x]$ désigne la partie entière de $x$ . Et où $a$ désigne l'unité de troncature. Dans l'exemple de la troncature au pouce près, $a$ vaut 2,54 (un pouce vaut 2,54 centimètres).

Avec cette formule, tronquer un nombre à deux décimales (ou à $10 - 2$ près) reviendra à prendre $10 - 2$ pour valeur de $a$ .

Et l'on peut constater facilement, si l'on pose $a$ = 1, que la troncature à l'unité près correspond bien à la partie entière.