23/01/2011
Parallélogrammes en seconde
Source : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/geoplan/paral... Voir : parallélogrammes au collège Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme.g2w ABCD est un parallélogramme. M est un point sur la droite (DC) tel que = x . M’ est le point de la droite (BC) tel que = . Montrer que les points A, M et M’ sont alignés. Télécharger la figure GéoPlan parall_1.g2w ABCD est un rectangle. M un point du plan. C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM), Montrer que les points M, M’ et I sont alignés. Indications Dans la translation de vecteur : L'image réciproque de H est I, point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’). Télécharger la figure GéoPlan rect_tra.g2w Construction à la règle au compas. E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités. Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB. AB = BC = 3 et BC = AD = . Télécharger la figure GéoPlan trisect.g2wParallélogrammes en seconde
Propriétés
1. Thalès et parallélogramme
Sommaire
Faire de la géométrie dynamique
4. Translation, orthocentre et alignement
D’ est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M’ est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Les, droites (CC’) et (DD’) se coupent en I.
- la droite (MM’) est globalement invariante,
- (CC’) a pour image la hauteur (BB’), issue de B, du triangle MAB,
- (DD’) a pour image la hauteur (AA’), issue de A, du triangle MAB.
Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB.
Les points M, M’, H et I sont alignés. 5. Trisection d'un angle droit !
Le point O complète le triangle équilatéral EFO.
C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O.
Vérifier que tan(DCA) et tan(FCB) sont égaux à .
Trisection : grands problèmes de la géométrie grecque
6. Parallélogramme et bissectrice
Sommaire
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Collège : parallélogrammes Point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus 1S : Barycentres et parallélogrammes Page no 64, réalisée le 22/2/2004, mise à jour le 28/10/2009 |
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GéoPlan |
Problèmes de construction au collège |
Faire de lagéométrie dynamique |
2. Projections orthogonales
ABCD est un parallélogramme. Montrer que IJKL est un parallélogramme. Télécharger la figure GéoPlan parall_2.g2w Sommaire |
3. D'un parallélogramme à l'autreLes points P, Q, R et S sont les points d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets. Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange. Télécharger la figure GéoPlan parall_3.g2w |
Résoudre par une méthode géométrique, dans R, AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J. Sachant que AI = 2 et IB = 1, calculer la longueur BJ. Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude . Donc, BC = AM = CE et B est le milieu de [EC]. On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires. Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB. Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4). L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2). Télécharger la figure GéoPlan para_bissect.g2w 7. Parallélogramme avec contraintesConstruire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droitesOn donne deux points A, B distincts et deux droites (d1), (d2) sécantes, et distinctes de (AB). Existe-t-il un point C sur (d2) et un point D sur (d1) tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ? AnalysePlacer un point D variable sur (d1) et construire le quatrième point C du parallélogramme ABCD. SolutionLa trace du lieu du point C permet de réaliser que ce point est situé sur une droite parallèle à (d1). Il suffit donc de tracer la droite (d’), image de (d1) par la translation de vecteur . Les droites (d2) et (d’) sont sécantes en C. Le point D, image de C par la translation réciproque de vecteur , est situé sur (d1)
Télécharger la figure GéoPlan para_sur_2_droites.g2w Sommaire 8. TranslationDéfinition : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme. Les segments [AM’] et [BM] ont même milieu. Si M est sur la droite (AB), ABM’M est un parallélogramme aplati. Construire l'image d'un segment par une translationApplication : construire l'image d'un segment [MN] par la translation qui transforme A en B. On construit les points M’ et N’ tels que ABM’M et ABN’N soient deux parallélogrammes. Construire l'image d'une droite par une translationPlacer deux points M et N sur une droite (d). Construire les points M’ et N’ images des points M et N par la translation qui transforme A en B. La droite (M’N’) est l'image de (d) par la translation. Ces deux droites sont parallèles. Indication I et J sont les centres des parallélogrammes ABM’M et ABN’N. (IJ), droite des milieux de AM’N’, est parallèle à (M’N’). Les droites (MN) et (M’N’) parallèles à (IJ) sont parallèles entre elles. Télécharger la figure GéoPlan trans_droite.g2w |
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Démonstrations géométriques dePythagore |
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Sommaire1. Thalès et parallélogramme Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan |
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