Décomposition de Frobenius

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On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. La décomposition de Frobenius est la décomposition de l'espace E en somme directe de sous-espaces cycliques. Cette décomposition fait apparaitre les facteurs invariants de l'endomorphisme u. Combinée avec la décomposition de Dunford (dans un ordre ou dans l'autre), on obtient la réduction de Jordan. Contrairement à ces dernières, la décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque, on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.

Sommaire

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• 1 Polynôme conducteur
• 2 Sous-espace cyclique
• 3 Vecteurs u-maximums
• 4 Décomposition de Frobenius
• 5 Endomorphisme cyclique
• 6 Applications
• 7 Références
• 8 Voir aussi

Polynôme conducteur [modifier]

Soit x un vecteur de E, l'ensemble  est un idéal non nul de K[X], il est donc engendré par un unique polynôme normalisé π_u,x appelépolynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.

Sous-espace cyclique [modifier]

Soit x un vecteur de E, l'ensemble  est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.

Soit , on a  si et seulement si . Ainsi le polynôme conducteur π_u,x est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace S_x.

La dimension de S_x est égale au degré du polynôme π_u,x.

Vecteurs u-maximums [modifier]

Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur π_u,x divise le polynôme minimal π_u de u. On dira que x est u-maximum lorsque π_u,x = π_u. La décomposition de Frobenius est basée sur les deux résultats non triviaux suivants :

• Tout endomorphisme u admet un vecteur u-maximum.
• Pour tout vecteur u-maximum x, S_x admet un supplémentaire stable.

En procédant par récurrence, on parvient alors à la :

Décomposition de Frobenius [modifier]

Il existe une suite de vecteurs  de E telle que

• 
• 

Les polynômes  ne dépendent pas du choix des vecteurs x_i, ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal  et le polynôme caractéristique .

Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont les mêmes facteurs invariants.

Les endomorphismes induits par u ont des propriétés spécifiques, ce sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.

Endomorphisme cyclique [modifier]

On dit que u est un endomorphisme cyclique ssi il existe un élément x de E tel que S_x = E.

On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement si

• Le degré du polynôme minimal de u est égal à la dimension de E
• Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u sont égaux (au signe près).
• Un endomorphisme commute avec u si et seulement si c'est un polynôme en u.
• Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de u.

Applications [modifier]

• La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.

• Elle permet aussi de démontrer élégamment le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables. On le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit.

Références [modifier]

• On pourra trouver les démonstrations ici [1].

• J. Fresnel: Algèbre des matrices, Hermann 1997, § A 4.1, pages 139 - 141.

Voir aussi [modifier]

• Réduction de Jordan
• Décomposition de Dunford

[Enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_de_Froben...