06/01/2010
Construction de Z à partir de N
En supposant connues les propriétés élémentaires de l'ensemble et de l'addition des entiers naturels, nous allons donner une construction rigoureuse de et de l'addition des entiers relatifs. Dans cette construction, apparaîtra sous forme d'un quotient de par une relation d'équivalence. Ce paragraphe est aussi l'occasion de rappeler les notions de relation d'équivalence et d'ensemble quotient, notions centrales pour le reste du cours.
Définition Soit un ensemble. Une relation sur est un ensemble de couples d'éléments de . On écrit au lieu de . Une relation est une relation d'équivalence si elle est
- a)
- réflexive (i.e. pour tout , on a )
- b)
- symétrique (i.e. on a équivalence entre et quels que soient )
- c)
- transitive (i.e. les conditions et impliquent que quels que soient )
[2)] Soit et définissons par
Par exemple, on a et . La réflexivité et la symétrie de résultent de la commutativité de l'addition des entiers positifs. Montrons que est transitive. En effet, par définition, les conditions et équivalent aux équations
En rajoutant la première à la seconde on obtient
ou encore
Or on sait que la loi d'addition sur est régulière c'est-à-dire qu'une égalité implique quels que soient . Il s'ensuit que c'est-à-dire que . Notons que dans cette démonstration, nous avons utilisé l'associativité, la commutativité et la régularité des entiers naturels.
Définition Soit un ensemble et une relation d'équivalence sur . Pour , on pose
et on appelle classe d'équivalence de par rapport à cette partie de . Par définition, l'ensemble est formé des classes d'éléments . On appelle le quotient de par la relation d'équivalence . On définit l'application quotient (=la projection canonique) par . Une partie de est un système de représentants pour si elle contient un élément de chaque classe d'équivalence et un seul.
Il existe beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple, l'ensemble formé des capitales des régions en est un. L'ensemble formé des villes les plus éloignées de la capitale dans leur région en est un autre.
[2)] Dans le cas de l'exemple et de la relation introduite ci-dessus on vérifie que si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est remplie
- il existe tel que et
- il existe tel que et .
Il y a beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple
en est un. On définit l'ensemble ( axiomatique) comme étant l'ensemble quotient .
Lemme [Propriété universelle de ] Soit un ensemble, une relation d'équivalence sur et une application constante sur les classes d'équivalence par rapport à (c'est-á-dire qu'on a à chaque fois que ). Alors il existe une application et une seule telle que. Réciproquement, toute application de la forme est constante sur les classes d'équivalence.
Démonstration. On pose . Il s'agit de vérifier que est indépendant du représantant de la classe . Or si en est un autre, c'est-à-dire que, alors par définition, on a et donc .
Lemme [Addition sur ] Il existe une application
et une seule telle que
Démonstration. Il s'agit de montrer que si et . Nous laissons au lecteur le soin de cette vérification.
Définition Un groupe est un couple formé d'un ensemble et d'une application
appelée la loi du groupe telle que
- a)
- la loi est associative (i.e. on a quels que soient )
- b)
- la loi admet un élément neutre (i.e. il existe tel que quel que soit )
- c)
- tout élément de admet un inverse pour la loi (i.e. on a )
Un groupe est commutatif si on a quels que soient .
[2)] Si les conditions a), b) et c) sont vérifiées, l'élément inverse de la conditon c) est unique. En effet, supposons que et sont deux éléments inverses à . Alors on a
On note l'élement inverse de .
[2)] Le couple est un groupe. En effet, on vérifie facilement l'associativité. L'élément neutre est la classe de . L'inverse de la classe de est la classe de ! En effet, nous avons
Lemme [Propriété universelle de ] Soit l'application
On a et si est une autre application de vers un groupe telle que , alors il existe une application et une seule telle que a) et b) quels que soient .
Démonstration. Il est immédiat que est additive. Supposons donnée une application comme dans l'énoncé. Définissons par. Montrons que induit une application , Supposons que et donc que . Alors pour montrer que
il suffit de montrer que
En utilisant que nous sommes ramenés à montrer que
ce qui est clair car et . Montrons l'unicité de . En effet, si et vérifient les hypothèses, nous avons
En outre, si , alors et sont tous les deux inverses de où . Donc . Comme les et les , , forment un système de représentants des classes d'équivalence par rapport à , il s'ensuit que .
15:38 Publié dans Construction de Z à partir de N | Lien permanent | Commentaires (0) | Tags : construction de z à partir de n | | del.icio.us | | Digg | Facebook