Calculs d'aires par découpage

Classe de cinquième

Source : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire_...

 

 1. Aire du parallélogramme

 6. Aire d'une Couronne

 

 Extrait du programme de géométrie de 6^e (2004)

 Extrait du programme de géométrie de 5^e (2009)

 

Sommaire 1. Aire du parallélogramme 2. Aire du trapèze 3. Aire du triangle 4. Aire d'un pentagone convexe 5. Aire d'un pentagone régulier 6. Couronne Extraits des programmes de géométrie de 6e et 5e Les paragraphes sur les lunules ont été déplacés dans la page calcul d'aire en seconde Les exercices sur le triangle ont été déplacés dans la page : aires et triangles Les exercices sur les quadrilatères ont été déplacés dans la page : aires du parallélogramme et du trapèze			Calculs d'aires en cinquième Démonstrations avec la méthode des aires :       théorème de Thalès       théorème de Pythagore Aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes Calcul d'aire minimum : minimum-maximum Analyse en option 1L-TL Problèmes de partage Multiplication de l'aire d'un triangle : triangles en seconde Aires dans un rectangle : aire en seconde Aire formée par deux segments circulaires Aire de quadrilatère orthodiagonal et de cerf-volant Page no 68, réalisée le 30/5/2004, modifiée le 20/11/2009
Index Aires	Faire de lagéométrie dynamique	Problèmes de construction au collège	Triangle inscrit dans un carré Aire maximale	MIAM Activités TICE en cinquième	MIAM Activités TICE en quatrième

Les méthodes de découpages et recollement de figures pour des calculs d'aires peuvent être considérées comme des démonstrations mathématiques : le découpage et le recollement correspondent à l'application d'un déplacement ou d'un antidéplacement et ces deux types d'applications du plan dans le plan conservent les aires.
Avec les élèves, on peut considérer que l'on a démontré si l'on vérifie qu'il y a bien « recollement ».

Activités et outils pour la classe de cinquième - Réunion de Manosque

Classe de cinquième

L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections orthogonales de C et D sur (AB).

Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme, car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques.

Aire(ABCD) = AB × DF = a × h où a = AB = CD et h = DF = CE.

 Télécharger la figure GéoPlan air_para.g2w

Voir : aire du parallélogramme

2. Aire du trapèze

Classe de 5^ème

La surface d'un trapèze a pour mesure le produit de la moyenne des bases par sa hauteur :

b = AB, b’ = CD, h = HE : Aire(ABCD) =  × h.

Soit ABCD un trapèze de grande base [AB], et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I et J les milieux des côtés [BC] et [AD]. D'après la propriété de Thalès, IJ est égal à la moyenne des bases.
E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD).

Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD, car les triangles rectangles
IGC et IFB sont isométriques, de même que les triangles JHD et JEA.

 Télécharger la figure GéoPlan aire_trapeze.g2w

Voir : aire du trapèze

3. Aire du triangle

Classe de 5^e

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Le rectangle BCED a une aire double de celle du triangle ABC
Aire(ABC) =  Aire(BCED) =  BC × AH =  base × hauteur.

Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article relations métriques du triangle

 Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle1.g2w

Voir : aires et triangles

4.a. Transformation d'un polygone convexe en triangle

Classe de troisième

Exemple : transformation d'un quadrilatère ABCD en triangle AB’D avec la propriété du trapèze

Il est toujours possible de transformer un polygone convexe de n côtés (n > 3) en un polygone de
n − 1 côtés en procédant comme suit :
isolant quatre sommets consécutifs ABCD, on sait transformer le triangle ABC en AB’C où B’ est l'intersection du côté (CD) et de la parallèle à (AC) passant par B. Le polygone ayant pour côtés consécutifs AB’D a un côté de moins et l'aire est conservée par la propriété du trapèze.

 Télécharger la figure GéoPlan aire_quadrilatere.g2w

b. Aire d'un pentagone convexe (papillons)

Transformation du pentagone convexe ABCDE en triangle APQ en utilisant deux fois le théorème du papillon.

Soit ABCDE un pentagone (convexe).
Les parallèles aux diagonales AC et AD coupent la droite (CD) en P et Q.

L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle APQ.

Indications : l'aire du pentagone est égale à la somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE.

Solution : les triangles ABC et APC ont même base AC et la même hauteur, de longueur égale à la distance entre les droites (AC) et (PC) ; ils ont donc même aire.
De même, les triangles ADE et ADQ ont même aire.
L'aire du pentagone est alors égale à la somme des aires des trois triangles APC, ACD et ADQ : c'est l'aire du triangle APQ.

Remarque : Il a été enlevé du pentagone les triangles ABI et AEJ, que l'on a remplacés par les triangles CPI et DQJ d'aires équivalentes (théorème du papillon).

Technique GéoPlan : dans le logiciel il n'existe pas fonction permettant de calculer l'aire a d'un pentagone.
On peut la trouver en calculant a = a1 + a2 + a3, somme des aires des trois triangles ABC, ACD et ADE, ou utiliser l'aire du triangle APQ.

 Télécharger la figure GéoPlan aire_pentagone.g2w

5. Aire du pentagone régulier

Classe de troisième

Dans le cas du pentagone régulier ABCDE, il existe un découpage en quatre pièces.

En déplaçant le triangle ABE en EDF, on obtient un trapèze BCDF d'aire équivalente à celle du pentagone.

Par symétrie par rapport au milieu I de [DF] on remplace le triangle CDI par GFI.

L'aire du pentagone est égale à l'aire du triangle BCG.

 Télécharger la figure GéoPlan aire_pentagone_regulier.g2w

Pentagone régulier :
    constructions exactes
    constructions approchées

Transformation du pentagone régulier en parallélogramme M est le milieu de la diagonale [BD]. Le triangle BMN est isocèle (triangle d'or d'angles 36° et 72°). À partir de ce puzzle de trois pièces, il est possible de reconstituer un parallélogramme.  Télécharger la figure GéoPlan pentagone_vers_parallelogramme.g2w   Bibliographie : groupe « Jeux » de l'Association des Professeurs de Mathématiques - Comment se jouer de la Géométrie - 2009

Transformation du pentagone régulier en carré Reprenons la figure ci-contre pour transformer le parallélogramme DEFK en carré. En choisissant un point I sur le demi-cercle de diamètre [FE], nous pouvons découper le triangle FEI et le translater en FJL, avec un sommet en J, intersection de (EI) avec (CD). [FI] et [IL] sont les côtés d'un rectangle de même aire que celle du pentagone. Côté du carré de même aire Pour tracer un carré, nous utiliserons la méthode de la moyenne proportionnelle : l'aire du parallélogramme DEFK est égale au produit de base FE par la hauteur FH. Pour cette hauteur, rabattre le point H en Q sur (FE). La droite (FH) coupe le cercle de diamètre (QE) en U. Dans le triangle rectangle QEU, le carré de la hauteur FU issue de l'angle droit U est égal au produit des segments QF et FE découpés sur l'hypoténuse (Construction d'Euclide reprise par Descartes). Le cercle de centre F passant par U coupe le cercle de diamètre [FE] en I. Le quadrilatère BEIR est translaté en BJLV. Le triangle EJD est translaté en FPK. Les six pièces du pentagone permettent de reconstituer un carré. Remarques : FH est aussi la distance de F à la droite (MN). Le point C n'est pas sur la droite (EU), mais utiliser ce point est une erreur imperceptible.  Télécharger la figure GéoPlan pentagone_vers_carre.g2w

Classes de 4^e - 3^e

Dans la figure ci-contre, on ne connaît pas les rayons r = OM et R = OA des cercles (c₁) et (c₂) de centre O. On sait seulement que la corde [AB] mesure a = 3 cm et qu'elle est tangente au cercle intérieur (c₁).

On demande cependant de trouver l'aire s de la couronne circulaire comprise entre (c₁) et (c₂).

Indications : la tangente (AB) au cercle (c₁) en M est perpendiculaire au rayon [OM].
Le triangle AMO est rectangle en M d'où la propriété de Pythagore AO² = AM² + MO²,
soit R² = (a)² + r² ou R² - r² = a².
L'aire s de la couronne est la différence entre l'aire πR² du grand cercle et πr² celle du petit cercle.s = πR² - πr² = π(R² - r²) =  a², expression de l'aire de la couronne uniquement en fonction de a.

Cas particulier : Si AB est égal au diamètre du cercle (c₁), r =  a, alors le triangle AMO est rectangle isocèle et R = r .
L'aire du cercle (c₂) est double de celle de (c₁), l'aire de la couronne πr² est alors égale à l'aire du cercle intérieur.

Voir : Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique - Martin Gardner - Pour la science - Belin - 1979
Lieux géométriques du milieu d'un segment

 Télécharger la figure GéoPlan couronne.g2w

Activité B2i	Domaine B2i	Item collège validable
Aire en 5ème ou en 4ème Aire du parallélogramme Aire du trapèze Aire du triangle Aire d'un pentagone convexe Aire d'un pentagone régulier	1 – S'approprier un environnement informatique de travail.	1.1 – Je sais m'identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification. 1.2 – Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de travail.
Couronne	2 – Adopter une attitude responsable pour les élèves venant en aide.	2.7 – Je mets mes compétences informatiques au service d'une production collective.

Contenu	Compétences exigibles	Commentaires
4.3 Aires : mesure, comparaison et calcul d'aires	– Comparer des aires.   – Déterminer l'aire d'une surface à partir d'un pavage simple.   – Différencier périmètre et aire.   – Connaître et utiliser la formule donnant l'aire d'un rectangle	Poursuivant le travail effectué à l'école élémentaire, les élèves sont confrontés à des problèmes dans lesquels il faut :   – comparer des aires à l'aide de reports, de décompositions, de découpages et de recompositions, sans perte ni chevauchement ;   – déterminer des aires à l'aide de quadrillage et d'encadrements. Certaines activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que leurs sens de variation ne sont pas toujours similaires. Au cycle 3 de l'école élémentaire, les élèves ont calculé l'aire d'un rectangle dont l'un des côtés au moins était de dimension entière. En sixième, le résultat est généralisé au cas de rectangles dont les dimensions sont des décimaux.
	– Calculer l'aire d'un triangle rectangle.   – Effectuer pour les aires des changements d'unités de mesure.	Des manipulations permettent aux élèves de comprendre le passage du rectangle au triangle rectangle. À partir de là, ils peuvent être confrontés au calcul d'aires de figures décomposables en rectangles et triangles rectangles. Comme pour les longueurs, l'utilisation des équivalences entre diverses unités est préférée à celle systématique d'un tableau de conversion.

Contenus	Compétences	Exemples d'activités, commentaires
4.3 Aires parallélogramme, triangle, disque.	– Calculer l'aire d'un parallélogramme.   – Calculer l'aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée.     – Calculer l'aire d'un disque de rayon donné.   – Calculer l'aire d'une surface plane ou celle d'un solide, par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables.	La formule de l'aire du parallélogramme est déduite de celle de l'aire du rectangle. La formule de l'aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle. Le fait que chaque médiane d'un triangle le partage en deux triangles de même aire est justifié (démontré en 2006 !). Dans le cadre du socle, les élèves peuvent calculer ainsi l'aire d'un parallélogramme. Les élèves peuvent calculer l'aire latérale d'un prisme droit ou d'un cylindre de révolution à partir du périmètre de leur base et de leur hauteur

Parallélogramme	Triangle au collège	GéoPlan 5e Calculs d'aires	GéoPlan Le triangle équilatéral	GéoSpace 6e Parallélépipède rectangle	GéoPlan 3e accompagnement des programmes
Sommaire 1. Aire du parallélogramme 2. Aire du trapèze 3. Aire du triangle 4. Aire d'un pentagone 5. Aire du pentagone régulier 6. Couronne Extraits des programmes de géométrie de 6e et 5e  Figures interactives : visualisation de ces exemples sur PC avec Internet Explorer et la version ActiveX de GéoPlan			Téléchargement  Télécharger aire_college.doc : ce document au format « .doc »  Télécharger aire_college.pdf : format « .pdf » d'Adobe Acrobat Faire de la géométrie dynamique Accueil : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.