bialgebre-de-lie : Mathématique

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02/12/2010

Bialgèbre de Lie

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En mathématiques, une bialgèbre de Lie est une algèbre de Lie munie d'une application

$delta:mathfrak{g} longrightarrow mathfrak{g} otimes mathfrak{g}$

(appelée coproduit ou cocommutateur) telle que l'application duale $δ *$ soit un crochet de Lie, et telle que $δ$ soit un cocycle :

$delta([X,Y]) = left( operatorname{ad}_X otimes 1 + 1 otimes operatorname{ad}_X right) delta(Y) - left( operatorname{ad}_Y otimes 1 + 1 otimes operatorname{ad}_Y right) delta(X)$

Remarque importante : Une bialgèbre de Lie n'est pas a proprement parler une bialgèbre. En effet, on exige en général d'une bialgèbre que son algèbre sous-jacente soit unitaire etassociative.