Conjecture d'Erdős-Graham

 

 

En théorie combinatoire des nombres, la conjecture d'Erdős-Graham, aujourd'hui résolue, assure que dans toute partition finie de l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 2, un sous-ensemble de l'une des parties peut servir à représenter 1 par une fraction égyptienne, c'est-à-dire que pour tout r > 0 et toute coloration des entiers 2, 3, 4, … par rcouleurs, il existe un ensemble fini monochrome S tel que

Plus précisément, Paul Erdős et Ronald Graham avaient conjecturé, parmi les nombreux problèmes sur les fractions égyptiennes, l'existence d'une constante b (nécessairement supérieure ou égale à e) telle que pour tout r assez grand, le plus grand élément de S puisse être majoré par b^r.

Ernest S. Croot III (en) a démontré leur conjecture en 2000 dans sa thèse de Ph.D.¹ puis, en post-doc à l'UC Berkeley, a publié sa preuve dans une revue². La valeur qu'il donne pour b est e^{167 000}. Son résultat est un corollaire d'un théorème où il établit l'existence de représentations de 1 par des fractions égyptiennes pour des ensembles C de nombres lisses dans des intervalles de la forme [X, X^1+δ], si C contient assez de nombres pour que la somme de leurs inverses soit au moins égale à 6. La conjecture d'Erdős-Graham s'en déduit en montrant qu'on peut trouver un intervalle de cette forme dans lequel la somme des inverses de tous les nombres lisses vaut au moins 6r ; par conséquent, si les entiers sont colorés par r couleurs, il doit exister une partie C monochrome satisfaisant les conditions de la conjecture.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Graham problem » (voir la liste des auteurs).

1. ↑ (en) Ernest S., III Croot, Unit Fractions : Ph.D. thesis, Athens, Univ. Georgia,‎ 2000
2. ↑ (en) Ernest S., III Croot, « On a coloring conjecture about unit fractions », Ann. Math., vol. 157, n^o 2,‎ 2003, p. 545-556, arXiv:math.NT/0311421 [archive]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Conjectures d'Erdős 

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