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11/07/2015

Les espaces de Hilbert

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http://www.math.polytechnique.fr/~golse/MAT311-10/cours31...

 

Les espaces de Hilbert MOTIVATIONS Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels de dimension infinie les plus simples. Ils interviennent entre autres - dans l’´etude des ´equations diff´erentielles et aux d´eriv´ees partielles - en m´ecanique classique (fr´equences propres) - en physique (´equation de Schr¨odinger, m´ecanique quantique). On se placera ici dans le cas d’espaces vectoriels complexes, le cas r´eel ´etant analogue. Principe heursitique : Les propri´et´es alg´ebriques des e.v. de dimension finie s’´etendent aux Espaces de Hilbert pourvu de se limiter aux applications lin´eaires continues et aux sous-espaces ferm´es. On dit qu’une application f entre les C espaces vectoriels H et H 0 est anti-lin´eaire si elle v´erifie ∀x, y ∈ H, ∀λ, µ ∈ C f (λx + µy) = λ¯f (x) + ¯µf (y) D´efinition Un produit hermitien sur un C- espace vectoriel H est une application (u, v) −→< u, v > 1. sesquilin´eaire : u −→< u, v > est anti-lin´eaire, v −→< u, v > lin´eaire 2. hermitienne < u, v >= < v, u > (en particulier < u, u > est r´eel) 3. positive < u, u >> 0 si u 6= 0 On appelle (H,h•, •i) espace pr´ehilbertien. On d´efinit une norme sur H par kxk = √ < x, x > et donc une distance par d(x, y) = kx − yk. D´efinition : Espace de Hilbert On appelle espace de Hilbert un espace pr´ehilbertien dont la norme associ´ee en fait un espace complet. Rappel : Complet ⇔ toute suite de Cauchy est convergente Une source presque in´epuisable d’espaces de Hilbert est donn´ee par Proposition Un sous-espace ferm´e d’un espace de Hibert est un espace de Hilbert (pour la restriction du produit hermitien). EXEMPLES 1. L’espace C n muni de la forme hermitienne hx, yi = Xn j=1 x¯jyj 2. ` 2 (N) espace des suites complexes (xn)n≥0 telles que P∞ n=0 |xn| 2 < +∞ munies de h(xn)n≥0,(yn)n≥0i = X +∞ n=0 x nyn D´emonstration 5. L’espace de Sobolev discret H 1 (N) = {(xn)n≥0 | P n≥1 n 2 |xn| 2 + |x0| 2} muni de h(xn)n≥0,(yn)n≥0iH1 = X +∞ n=1 n 2 x nyn + x 0y0 En effet, l’application (xn)n≥0 −→ (un)n≥0 o`u un = nxn pour n ≥ 1 et u0 = x0 fournit un isomorphisme (= bijection lin´eaire pr´eservant le produit hermitien) entre H 1 (N) et ` 2 (N). Ils sont donc tous deux complets. 3. L 2 (R, C), espace des fonctions L 2 sur R pour < f , g >= Z R ¯f (x)g(x)dx Cf. cours d’int´egration. 4. L 2 (S 1 , C) espace des fonctions L 2 sur le cercle, ou encore des fonctions 2π-p´eriodiques sur R, munies de < f , g >= Z 2π 0 ¯f (x)g(x)dx En effet, les fonctions 2π-p´eriodiques sont d´efinies par la relation f (t + 2π) − f (t) = 0 p.p. ce qui d´efinit un ferm´e de L 2 (R, C). 5. L’espace L0 des fonctions L 2 ([0, 1]) de moyenne nulle muni de < f , g >= Z 1 0 ¯f (x)g(x)dx est un espace de Hilbert. En effet, c’est un ferm´e de L 2 ([0, 1], C) car F(f ) = R 1 0 f (t)dt est continue sur L 2 ([0, 1]) d’apr`es Cauchy-Schwarz : |F(f ) − F(g)| ≤ R 1 0 |f (t) − g(t)| 2dt1/2 . Donc F −1 (0) est ferm´e. G´eom´etrie dans un Hilbert • L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz s’´ecrit |hx, yi| ≤ kxk · kyk • L’´egalit´e de la m´ediane kx − ak 2 + kx − bk 2 = 2kx − a + b 2 k 2 + 2k a − b 2 k 2 • Formule de polarisation (i.e. la norme d´efinit le produit hermitien) <hx, yi="(kx" +="" yk="" 2="" −="" kx="" )="" 4="" (1)="hx," iyk="" (2)="" orthogonalit´e="" si="" f="" est="" un="" sous-espace="" quelconque="" de="" h,="" pose="" ⊥="{x" ∈="" h="" |="" ∀y="" f,hx,="" c’est="" ferm´e.="" la="" continuit´e="" y="" −→="" hx,="" d´eduit="" facilement="" que="" (f="" ⊥)="F" :="" x="" ⇒="" f,="" donc="" il="" r´esultera="" des="" th´eor`emes="" qui="" suivent="" contre-exemples="" existe="" sous-espaces="" ne="" sont="" pas="" ferm´es="" les="" suites="" ayant="" nombre="" fini="" termes="" non="" nuls="" dans="" `="" (n)="" p+∞="" j="1" 1="" ej="" son="" adh´erence.="" le="" c="" 0="" (r)="" l="" (il="" dense,="" cf.="" cours="" d’int´egration)="" etc....="" applications="" continues="" mˆeme="" certains="" ferm´es,="" certaines="" lin´eaires="" continues.="" th´eor`eme="" une="" application="" lin´eaire="" entre="" deux="" espaces="" hilbert,="" e,="" continue="" et="" seulement="" constante="" telle="" pour="" tout="" e="" a="" ku(x)kf="" ≤="" ckxke="" plus="" petit="" tel="" l’in´egalit´e="" ci-dessus="" soit="" v´erifi´ee="" appel´ee="" norme="" u="" not´ee="" kuk.="" attention,="" (continues)="" injectives="" surjectives="" ou="" d’une="" espace="" hilbert="" lui-mˆeme.="" par="" exemple="" lui-mˆeme="" donn´ee="" (x1,="" x2,="" ...,="" xn,="" ...)="" (x2,="" x3,="" xn+1,="" (0,="" x1,="" xn−1,="" respectivement="" surjective="" injective="" surjective.="" noter="" seconde="" pr´eserve="" norme.="" pr´eservant="" norme,="" bijectives.="" d´efinition="" isom´etrie="" elle="" bijective,="" dit="" bijective="" isomorphisme="" isom´etrique.="" (on="" parfois="" simplement="" isomorphisme).="" quatre="" sur="" id´ee="" base="" classiques="" d’alg`ebre="" s’´etendent="" aux="" se="" limite="" vectoriels="" projection="" ferm´e="" pf="" (x)="" (x="" (x))="" (x)k="d(x," f)="infy∈F" yk.="" ∀x="" ⊥.="" illustration="" du="" projection.="" d´emonstration="" d´ecomposition="" ferm´e,="" alors="" ⊕="" repr´esentation="" riesz="" forme="" hilbert.="" unique="" vecteur="" au="" ,="" u(x)="<" au,=""> D´emonstration : On peut supposer u 6= 0. On choisit bu un vecteur unitaire orthogonal `a F = ker(u) (bu existe car H = F ⊕ F ⊥ et F 6= H). On a alors u(x − u(x) bu u(bu) ) = 0, donc H = ker(u) ⊕ Cbu. On v´erifie alors que u(x) = hu(bu)bu, xi pour x ∈ ker(u) puis pour x ∈ Cbu. C’est donc vrai pout tout x, et la proposition est v´erifi´ee avec au = u(bu)bu. Applications : Si F est un sous-espace vectoriel de H, (F ⊥) ⊥ = F Si H est un espace de Hilbert, H ∗ = {Appl.lin.ctn u : H → C} est isomorphe `a H. Le produit hermitien est donn´e par hhu, vii = hau, bv i. On a aussi (H ∗ ) ∗ ' H. Crit`ere de fermeture F ⊂ H est ferm´e si et seulement si il existe u : H −→ K continue telle que F = ker(u). L’existence de u continue entraˆıne ´evidemment la fermeture de F. Inversement, si F est ferm´e, l’application de projections sur F ⊥ fournit le u recherch´e. Crit`ere de densit´e F ⊂ H est un sous espace dense, si et seulement si F ⊥ = {0} Exemple fondamental : Pour n ∈ Z, les en(t) = e int de L 2 (S 1 , C) engendrent l’espace des polynˆomes trigonom´etriques. Cet espace sera dense ssi R 1 0 f (t)e intdt = 0 pour tout n ∈ Z entraˆıne f = 0 p.p. Le th´eor`eme de F´ejer (cf. appendice du poly) affirme la densit´e (pour la norme C 0 ) des polynˆomes trigonom´etriques dans C 0 (S 1 , C). Donc si R 1 0 f (t)e intdt = 0 pour tout n, R 1 0 f (t)g(t)dt = 0 pour tout g dans C 0 et donc par densit´e de C 0 (S 1 , C) dans L 2 (S 1 , C) (pour la norme L 2 , cette fois), cela sera encore vrai pour tout g dans L 2 , et finalement f = 0. Plus g´en´eralement les e iλnt forment un ensemble dense dans L 2 ([0, 1], C) si et seulement si R 1 0 f (t)e iλntdt = 0 pour tout n entraˆıne f = 0 p.p. La th´eorie des fonctions holomorphes (cf. amphis 8,9) fournira un crit`ere efficace pour r´epondre `a cette question (th´eor`eme de M¨untz-Szasz). Le th´eor`eme de Hahn-Banach est une cons´equence des pr´ec´edents et s’utilise dans un cadre plus g´en´eral. Th´eor`eme de Hahn-Banach Soit F un sous espace d’un espace de Hilbert. Si x0 ∈/ F alors il existe une forme lin´eaire continue u telle que u(F) = 0 et u(x0) = 1 D´emonstration. Soit W = F ⊥ = (F) ⊥. On a PW (x0) 6= 0 car x0 ∈/ F. Soit a = PW (x0) |PW (x0)| 2 Alors < a, x0 >= 1 et < a, x >= 0 pour x ∈ F. Repr´esentation de Riesz pour les formes hermitiennes Definition (Th´eor`eme) On dit qu’une forme sesquilin´eaire B(u, v) est continue sur H si il existe une constante C telle que ∀u, v ∈ H |B(u, v)| ≤ Ckukkvk Remarque : Si B est hermitienne, il suffit de v´erifier que B(u, u) ≤ Ckuk 2 . Cela r´esulte ais´ement de la formule de polarisation. On a alors : Th´eor`eme de repr´esentation de Riesz (cas hermitien) Soit B une forme sesquilin´eaire continue. Il existe alors une application lin´eaire unique L : H −→ H, continue, telle que B(u, v) = hLu, vi D´emonstration . Cons´equence : Existence de l’adjoint Si u : H −→ K est continue, il existe u ∗ : K −→ H continue telle que ∀x ∈ H, ∀y ∈ K, hu(x), yi = hx, u ∗ (y)i II. Bases Hilbertiennes D´efinition des bases Hilbertienne La famille (en)n≥1 est une base Hilbertienne ssi 1. ∀i, j,hei , eji = δ j i 2. L n Cen est dense dans E Attention, en dimension infinie une base Hilbertienne n’est pas une base au sens alg´ebrique..... ( un espace complet n’a pas de base alg´ebrique d´enombrable). Proposition Si (en)n≥1 est une base Hibertienne de H, tout x ∈ H s’´ecrit de mani`ere unique x = P n xnen avec xn ∈ C. De plus kxk 2 = P n kxnk 2 (formule de Parseval). Si (en)n≥1 est une base Hilbertienne, on a la d´ecomposition en s´erie convergente (mais pas absolument convergente) x = X n < x, en > en et kxk 2 = X n kxnk 2 = X n |hx, eni|2 (Formule de Parseval) Existence des bases Hilbertiennes On dit qu’un espace est s´eparable s’il poss`ede un sous ensemble d´enombrable dense. Th´eor`eme d’existence d’une base Hilbertienne. Tout espace de Hilbert s´eparable poss`ede une base Hilbertienne. D´emonstration : Proc´ed´e de Gram-Schmidt Soit (xn)n≥1 une suite dense dans H, et Fn le s.e.v. engendr´e par x1, ..., xn. Quitte `a renum´eroter, on peut supposer dim(Fn) = n et donc Fj de codimension un dans Fj+1. Soit en un g´en´erateur de F ⊥ n−1 ∩ Fn. Alors (en) est une base Hilbertienne. Les espaces ` 2 (N), L 2 (R, C), L 2 (S 1 , C), H k , bref tous les espaces que l’on rencontre habituellement .... sont s´eparables. Le r´esultat pr´ec´edent nous dit que les espace de Hilbert s´eparables se ressemblent tous, c’est-`a-dire qu’ils sont tous isomorphes. Proposition Un espace de Hilbert s´eparable est isomorphe `a ` 2 (N) D´emonstration En effet un tel isomorphisme est fourni par les coordonn´ees dans une base Hilbertienne (en)n≥1, i.e. l’application de ` 2 (N) dans H donn´ee par (xn)n≥1 −→ X +∞ n=1 xnen La formule de Parseval dit que c’est une isom´etrie. D´esormais tous les espaces de Hilbert seront suppos´es s´eparables Corollaire 1 Si H est de dimension infinie, sa boule unit´e B = {x ∈ H | kxk ≤ 1} n’est pas compacte. En effet la suite (en)n≥1 n’a pas de sous-suite convergente (car ken. − emk = 2). Corollaire 2 Si H est de dimension infinie, il n’existe pas de mesure non triviale sur H, invariante par translation En effet, B(0, 1) contient une infinit´e de boules de rayon 1/4, les B(ej/2, 1/4), donc µ(B(0, 1/4)) = 0, et comme H est r´eunion d´enombrable de boules de rayon 1/4, µ(H) ≡ 0. Mais alors pour tout sous ensemble A de H, µ(A) ≤ µ(H) = 0, donc µ est identiquement nulle. Remarque : Il existe malgr´e tout des mesures int´eressantes en dimension infinie : la mesure de Wiener permet de mesurer certaines parties de C 0 ([0, 1], R). Elle est li´ee au mouvement Brownien. Exemple Fondamental : S´erie de Fourier L 2 Ici n ∈ Z, H = L 2 (S 1 , C), < f , g >= R S1 f (t)g(t)dt. On prend en(t) = √ 1 2π exp(−int) et on a bien < en, em >= δ n m. Dans ce cas, xn =< x, en >= √ 1 2π R S1 f (t) exp(−int)dt sont les coefficients de Fourier. La densit´e de l’espace engendr´e par les ep, entraˆıne D´ecomposition en s´erie de Fourier L 2 Pour f dans L 2 (S 1 ), la s´erie de Fourier de f converge en moyenne quadratique : limq→∞ R 2π 0 |f (t) − Pq n=−q cn(f )e −int| 2dt −→ 0 On a l’´egalit´e de Parseval : 1 2π R 2π 0 |f (t)| 2dt = P n∈Z |cn(f )| 2 Inversement si an est une suite telle que P n a 2 n < +∞, la s´erie de Fourier P n ane int converge (en norme L 2 !) dans L 2 (S 1 ). Une bonne th´eorie des s´eries de Fourier • Comme en th´eorie de l’int´egration (et d’ailleurs, grˆace `a cette th´eorie) on a une th´eorie de s´eries de Fourier  parfaite  : toute fonction L 2 est somme de sa s´erie de Fourier, toute s´erie de Fourier convergent quadratiquement a pour somme une fonction L 2 (`a condition d’utiliser la bonne norme pour la convergence). • Ce n’est pas le cas pour la norme C 0 : on ne sait pas d´ecrire simplement les fonctions qui sont limites uniformes de leur s´erie de Fourier (certaines fonctions continues ne le sont pas-voir plus loin). • Cela n’empˆeche pas que toute fonction continue soit limite uniforme de polynˆomes trigonom´etriques (mais pas n´ecessairement sa s´erie de Fourier), d’apr`es le th´eor`eme de F´ejer. • On peut montrer facilement que si f est de classe C 1 , la s´erie de Fourier converge uniform´ement vers f . Divers types de Convergence des S´eries de Fourier La question de la convergence ponctuelle (ou uniforme) de la s´erie de Fourier de f vers f date de Dirichlet (1829). Attention, l’´enonc´e pr´ec´edent n’affirme a priori aucune convergence ponctuelle, mais par  Cauchy pr´ecis´e  dans L 2 , une suite qui converge L 2 a une sous-suite convergeant p.p. (donc on peut trouver une suite de sommes partielles convergeant p.p. ). Un r´esultat c´el`ebre et difficile de Carleson (1966) affirme que pour une fonction L 2 , la suite elle-mˆeme PN −N cn(f )e int converge p.p. vers f (t). D’apr`es Kahane et Katznelson (1965), ´etant donn´e un ensemble quelconque de mesure nulle sur S 1 , il existe une fonction continue dont la s´erie de Fourier ne converge pas sur E. D’apr`es Kolmogorov, si f est suppos´ee int´egrable (et non de carr´e int´egrable) la s´erie de Fourier peut diverger partout.... Bases orthogonales de polynomes Soit < f , g >= R R f (t)g(t)e − t 2 2 dt. Les polynˆomes forment un sous-espace dense de L 2 (R, e − t 2 2 dt). On peut construire une base orthogonale de polynˆomes en appliquant l’orthogonalisation de Gram-Schmidt `a la famille (t n )n≥1. Ce sont les polynˆomes d’Hermite. A une constante de ` normalisation pr`es, on a Hn(x) = (−1)n e x 2/2 d n dx n (e −x 2/2 ) De mˆeme pour le produit hermitien < f , g >= R +∞ 0 f (t)g(t)e −tdt on obtient comme base orthogonale les polynˆomes de Laguerre Ln(x) = e x n! d n dx n (e −x x n ) D´ecomposition en polynˆomes de Laguerre D´ecomposition en polynˆomes de Laguerre de cos(5x) exp(x) D´ecomposition en Ondelettes de Haar. On note ϕ = 1[0,1/2[ − 1[1/2,1[ et ϕn,k (x) = 2nϕ(2n x − k) o`u 1A d´esigne la fonction caract´eristique de l’intervalle A et n, k ∈ N. La fonction constante 1 et les ϕn,k pour 0 ≤ k < 2n , forment un syst`eme orthonormal de l’espace de Hilbert L 2 ([0, 1]). Les ondelettes de Haar ϕ5,3(bleu), ϕ3,2(rouge) D´ecomposition en ondelettes de Haar de cos avec 25 coefficients. 09 D´ecomposition en ondelettes de Haar de cos(5x) exp(x) D´ecomposition en Fourier et en ondelettes de Haar de x 2 avec 16 coefficients. Convergence faible On dit que la suite (xn)n≥1 converge faiblement vers x∞ si pour tout vecteur v ∈ H, hxn, vi converge vers hx∞, vi. La convergence faible peut se voir comme une convergence  coordonn´ee par coordonn´ee . Mais elle ne d´epend pas du choix de la base Hilbertienne. Proposition : compacit´e faible de la boule unit´e Si H est de dimension infinie, toute suite born´ee poss`ede une sous suite  convergeant faiblement . D´emonstration Il suffit d’extraire une suite diagonale des coordonn´ees dans une base Hilbertienne (ek )k≥1. Il est alors clair que pour chaque k, la suite n −→ hxn, ek i converge vers hx, ek i et par lin´earit´e il en est de mˆeme pour hx, vi si v est somme finie des ek . Par densit´e des sommes finies, on v´erifie sans peine qu’il en est de mˆeme pour hxn, vi quel que soit v dans E. Remarque La notion de convergence faible n’est la convergence pour aucune m´etrique. Elle d´efinit une topologie, et satisfait les propri´et´es de la convergence des suites. En particulier si une suite converge faiblement, la limite est unique. Pour la prochaine fois : revoir la compacit´e et la transform´ee de Fourier. Mercredi 16 Juin `a 15H45. Le cours sera donn´e par Etienne Ghys, ´ Membre de l’Acad´emie des Sciences Sp´ecialiste de G´eom´etrie et Dynamique Coauteur du film “Dimensions” Mercredi 16 Juin `a 15H45. Etienne Ghys, ´ “Sur la coupe des vˆetements, d’apr`es Tchebychev”. On se donne une surface S et on veut l’habiller par un tissu. Le tissu c’est un domaine du plan D (le patron de la couturi`ere), les fils sont les droites horizontales et verticales, et l’habillage c’est F : D −→ S tel que F est une isom´etrie sur les fils horizontaux et verticaux (chaˆıne et trame) mais on ne demande pas que l’orthogonalit´e des fils soit pr´eserv´ee. Quelles sont les surfaces habillables ? Combien de morceaux faut-il pour habiller une sph`ere par exemple ? Compl´etude de ` 2 (N). Si (xk )k≥1 est une suite de Cauchy de ` 2 (N), on pose xk = (xn,k )n≥1 et chacune des suites (xn,k )k≥1 est de Cauchy (car |xn,k − xn,l | 2 ≤ kxk − xlk 2 ) et donc converge vers un nombre complexe zn. On pr´etend maintenant que z = (zn)n≥1 est la limite des (xk )k≥1. En effet pour tout n, on a que Xn j=1 |xj,k − zj | 2 = lim q→∞ Xn j=1 |xj,k − xj,q| 2 ≤ lim q→∞ kxk − xqk 2 Comme le terme de droite est ind´ependant de n, on a kxk − zk 2 ≤ limq→∞ kxk − xqk 2 qui tend vers 0 avec k (car la suite (xk )k≥1 est de Cauchy) et donc (xk )k≥1 tend vers z. Retour D´emonstration du th´eor`eme de la projection. Soit une suite yn ∈ F telle que limn kx − ynk = d(x, F). La suite yn est de Cauchy en utilisant la formule de la m´ediane kyn − ymk 2 = 2(kyn − xk 2 + kym − xk 2 ) − 4(kx − yn + ym 2 k 2 ) ≤ 4(d(x, F) + ε) 2 − 4d(x, F) 2 Si le minimum est atteint en y = PF (x), on a kx − (y + tz)k 2 ≥ kx − yk 2 pour tout z ∈ F et donc 2thx − y, zi + t 2 kzk 2 ≤ 0 pour tout t, ce qui n’est possible que si hx − y, zi = 0 quel que soit z ∈ F c’est-`a-dire x − PF (x) ∈ F ⊥. Retour D´emonstration du th´eor`eme de Riesz (cas sesquilin´eaire) : D’apr`es l’ hypoth`ese de continuit´e, pour chaque u fix´e la forme lin´eaire v −→ B(u, v) est continue. Par le th´eor`eme de Riesz, il existe Lu unique tel que B(u, v) = hLu, vi. Il nous faut montrer que L est lin´eaire et continue. La lin´earit´e r´esulte imm´ediatement de l’unicit´e et de la sesquilin´earit´e de B. Pour la continuit´e, nous avons par hypoth`ese kLuk 2 = hLu, Lui = B(u, Lu) ≤ CkukkLuk On en d´eduit kLuk ≤ Ckuk et donc la continuit´e de L. Retour

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Algèbre multilinéaire

Algèbre multilinéaire

 
 
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En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept de vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, l’algèbre multilinéaire est bâtie sur le concept de tenseur et développe la théorie des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend l'étude d'un certain nombre d'espaces et l'exposé de leurs relations.

 

 

Historique de la notion d’algèbre multilinéaire[modifier | modifier le code]

L'algèbre multilinéaire a des racines variées plongeant dans ce qui a été appelé au XIXe siècle l’analyse tensorielle ou le « calcul tensoriel des champs tensoriels ». Elle s’est développée à partir de l’utilisation des tenseurs en géométrie différentielle, en relativité générale, et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, l’étude des tenseurs est reformulée plus abstraitement. Le traité d’algèbre multilinéaire du groupe Bourbaki (le chapitre 3 du livre d'Algèbre, intitulé plus précisément Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques) est particulièrement influent — en fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé là.

Une des raisons de cette nouvelle formulation est une nouvelle aire d’application, l’algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 1940 donne une incitation additionnelle au développement d’un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit de deux espaces topologiques utilise le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel que celui d’un tore, que les groupes homologiques peuvent être calculés directement de cette façon (voir le théorème de Künneth). Les phénomènes topologiques, assez subtils, sont à la source d’une nouvelle réflexion sur les concepts fondamentaux du calcul tensoriel.

Le matériel à organiser est dense, incluant des idées remontant à Hermann Günther Grassmann, et des idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à la cohomologie de De Rham, ainsi qu’à des notions plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel.

La description qui résulte du travail de Bourbaki, axiomatique, rejette entièrement l'approche vectorielle (utilisée par exemple dans la construction des quaternions), c’est-à-dire, dans le cas général, la relation entre les espaces tensoriels et les groupes de Lie. Bourbaki suit, au contraire, une approche nouvelle basée sur la théorie des catégories1, dans laquelle le groupe de Lie ne fournit qu'une description secondaire. Puisque cela mène à un traitement beaucoup plus rigoureux, il n’y aura probablement, en mathématiques, plus de retour en arrière.

Cette approche revient essentiellement à définir les espaces tensoriels comme les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfère aucune intuition géométrique.

Le bénéfice de cette formalisation est qu’en réexprimant des problèmes en termes d’algèbre multilinéaire, il y a une « meilleure solution » claire et bien définie : les contraintes que la solution exerce sont exactement celles dont on a besoin en pratique. En général il n’y a pas besoin d’invoquer une quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou autre pour coordonner des systèmes. Dans le vocabulaire de la théorie des catégories, tout est entièrement naturel.

Conclusion sur l’approche abstraite[modifier | modifier le code]

En principe l’approche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via l’approche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. D’autre part la notion detransformation naturelle est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point en point sur une variété), mais la covariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à la formulation propre de la relativité générale.

Quelques décennies plus tard le point de vue plus abstrait venant de la théorie des catégories fut lié à l’approche qui avait été développée dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). En un sens, cela compléta la théorie, regroupant les points de vue anciens et nouveaux.

Contenu de l’algèbre multilinéaire[modifier | modifier le code]

Le contenu de l’algèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à travers les ans. Voici d’autres pages qui y sont centralement pertinentes :

Du point de vue des applications[modifier | modifier le code]

Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de l’algèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ En fait, Bourbaki base son approche sur la notion de propriété universelle, ce qui est moins général que la théorie des catégories, mais semble suffisant dans ce cas

 

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_multilin%C3%A9aire

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Espace de Hilbert

Espace de Hilbert

 
 
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Le concept mathématique d'espace de Hilbert, nommé d'après David Hilbert, généralise la notion d'espace euclidien. Il étend les méthodes de l'algèbre linéaire et de l'analysedes espaces euclidiens classiques (plan, de dimension deux, et espace à trois dimensions) à des espaces de dimension quelconque, finie ou infinie. Un espace de Hilbert est unespace vectoriel muni d'un produit scalaire qui permet de mesurer des longueurs et des angles. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer les techniques de l'analyse mathématique.

Des espaces de Hilbert apparaissent fréquemment en mathématiques et en physique, essentiellement en tant qu'espaces fonctionnels de dimension infinie. Les premiers espaces de Hilbert ont été étudiés sous cet aspect pendant la première décennie du xxe siècle par David Hilbert, Erhard Schmidt et Frigyes Riesz. Ils sont des outils indispensables dans les théories des équations aux dérivées partielles, mécanique quantique, analyse de Fourier (ce qui inclut des applications au traitement du signal et letransfert de chaleur) et la théorie ergodique qui forme le fondement mathématique de la thermodynamique. John von Neumann forgea l'expression espace de Hilbert pour désigner le concept abstrait qui sous-tend nombre de ces applications. Le succès des méthodes apportées par les espaces de Hilbert menèrent à une époque très prolifique pour l'analyse fonctionnelle. En plus des espaces euclidiens classiques, les exemples les plus courants d'espaces de Hilbert sont les espaces de fonctions de carré intégrable, lesespaces de Sobolev qui sont constitués de fonctions généralisées, et les espaces de Hardy de fonctions holomorphes.

L'intuition géométrique intervient dans de nombreux aspects de la théorie des espaces de Hilbert. Ces espaces possèdent des théorèmes analogues au théorème de Pythagoreet à la règle du parallélogramme. En mathématiques appliquées, les projections orthogonales sur un sous-espace (ce qui correspond à aplatir l'espace de quelques dimensions) jouent un rôle important dans des problèmes d'optimisation entre autres aspects de la théorie. Un élément d'un espace de Hilbert peut être défini de manière unique par ses coordonnées relativement à une base de Hilbert, de façon analogue aux coordonnées cartésiennes dans une base orthonormale du plan. Quand cet ensemble d'axes estdénombrable, l'espace de Hilbert peut être vu comme un ensemble de suites de carré sommable. Les opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert sont semblables à des objets concrets : dans les « bons » cas, ce sont simplement des transformations qui étirent l'espace suivant différents coefficients dans des directions deux à deux perpendiculaires, en un sens qui est précisé par l'étude de leur spectre.

 

 

Définition et exemples[modifier | modifier le code]

Exemple introductif : l'espace euclidien de dimension 3[modifier | modifier le code]

Un des exemples les plus courants d'espace de Hilbert est l'espace euclidien de dimension 3, noté ℝ3, muni du produit scalaire usuel. Le produit scalaire associe, à deux vecteurs mathbf{x} et mathbf{y} un nombre réel noté mathbf{x} cdot mathbf{y}. Si mathbf{x} et mathbf{y} ont pour coordonnées cartésiennes respectives (x_1,x_2,x_3) et (y_1,y_2,y_3), alors leur produit scalaire est :

mathbf{x} cdot mathbf{y} = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.

Le produit scalaire satisfait aux propriétés suivantes :

  1. il est symétrique : pour tous vecteurs mathbf{x} et mathbf{y}, mathbf{x} cdot mathbf{y} = mathbf{y} cdot mathbf{x}
  2. il est linéaire par rapport au premier argument : pour tous nombres réels a et b et tous vecteurs x_1, x_2, y, on a l'égalité (a x_1 + b x_2)cdot y = a x_1 cdot y + b x_2 cdot y
  3. il est défini positif : pour tout vecteur mathbf{x}, le produit mathbf{x}cdot mathbf{x} est positif, et nul si et seulement si mathbf{x} est égal au vecteur nul.

Le produit scalaire est intimement relié avec la géométrie euclidienne par la formule suivante, qui relie le produit scalaire de deux vecteurs mathbf{x} et mathbf{y} avec leurs longueurs (notées respectivement |mathbf{x}| et |mathbf{y}|) et l'angle theta qu'ils forment :

mathbf{x}cdotmathbf{y} = |mathbf{x}|,|mathbf{y}|,costheta.

Toute opération sur les vecteurs qui vérifie les trois propriétés ci-dessus est également appelée produit scalaire. Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est dit espace préhilbertien réel.

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien qui possède de plus une propriété d'analyse mathématique : il est complet, argument reposant sur les limites de suites de vecteurs dans cet espace.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet, c'est-à-dire un espace de Banach dont la norme ║·║ découle d'un produit scalaire ou hermitien 〈·, ·〉 par la formule

| x| = sqrt{langle x,x rangle}.

C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.

Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan.

Un espace de Banach (respectivement espace vectoriel normé) est un espace de Hilbert (respectivement espace préhilbertien) si et seulement si sa norme vérifie l'égalité

| x + y|^2 + | x - y|^2 = 2 ( | x|^2 + | y|^2),

qui signifie que la somme des carrés des quatre côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales (règle du parallélogramme).

Ce théorème est dû à Maurice René Fréchet, John von Neumann et Pascual Jordan.

Identité de polarisation :

  • Dans le cas réel le produit scalaire est défini par
    langle x,y rangle = frac{1}{4}bigl(| x + y|^2 -| x - y|^2bigr).
  • Dans le cas complexe le produit hermitien est défini par
    langle x,y rangle = langle x,y rangle_1+{rm i}langle x,{rm i}y rangle_1,
    où
    langle x,yrangle_1=frac14bigl(|x+y|^2-|x-y|^2bigr)
    et i est l'unité imaginaire (le nombre complexe identifié au couple de réels (0, 1)).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'espace euclidien ℝn muni du produit scalaire usuel.
  • L'espace hermitien ℂn muni du produit hermitien usuel.
  • L'espace L2([a, b]) des fonctions de [a, b] à valeurs dans ℂ et de carré sommable avec la convention que deux fonctions égales presque partout sont égales (voir l'articleespace Lp), muni de
    langle f,g rangle = int_a^bf(x)overline{g(x)}~mathrm dx.
  • L'espace de suites ℓ2, constitué des suites (u_n)_{n inN} de nombres complexes telles que
    sum_{n=0}^infty|u_n|^2<+infty,
    le produit hermitien de deux suites u et v étant par définition la somme de la série
    sum_{n=0}^infty u_noverline{v}_n.

Classification[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Base hilbertienne.

Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, le concept habituel de base est remplacé par celui de base hilbertienne qui permet, non plus de décrire un vecteur par ses coordonnées, mais de l'approcher par une suite infinie de vecteurs ayant chacun des coordonnées finies. On est donc au confluent de l'algèbre linéaire et de la topologie.

Applications[modifier | modifier le code]

  • C'est dans le cadre des espaces de Hilbert qu'est développée la théorie de la formulation variationnelle, utilisée dans de nombreux domaines de la physique.
  • En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par un vecteur dans un espace de Hilbert.

Références[modifier | modifier le code]

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Cours d'analyse — Jacques Harthong

 

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Hilbert

 

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