Les espaces de Hilbert

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Les espaces de Hilbert MOTIVATIONS Les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels de dimension infinie les plus simples. Ils interviennent entre autres - dans l’´etude des ´equations diff´erentielles et aux d´eriv´ees partielles - en m´ecanique classique (fr´equences propres) - en physique (´equation de Schr¨odinger, m´ecanique quantique). On se placera ici dans le cas d’espaces vectoriels complexes, le cas r´eel ´etant analogue. Principe heursitique : Les propri´et´es alg´ebriques des e.v. de dimension finie s’´etendent aux Espaces de Hilbert pourvu de se limiter aux applications lin´eaires continues et aux sous-espaces ferm´es. On dit qu’une application f entre les C espaces vectoriels H et H 0 est anti-lin´eaire si elle v´erifie ∀x, y ∈ H, ∀λ, µ ∈ C f (λx + µy) = λ¯f (x) + ¯µf (y) D´efinition Un produit hermitien sur un C- espace vectoriel H est une application (u, v) −→< u, v > 1. sesquilin´eaire : u −→< u, v > est anti-lin´eaire, v −→< u, v > lin´eaire 2. hermitienne < u, v >= < v, u > (en particulier < u, u > est r´eel) 3. positive < u, u >> 0 si u 6= 0 On appelle (H,h•, •i) espace pr´ehilbertien. On d´efinit une norme sur H par kxk = √ < x, x > et donc une distance par d(x, y) = kx − yk. D´efinition : Espace de Hilbert On appelle espace de Hilbert un espace pr´ehilbertien dont la norme associ´ee en fait un espace complet. Rappel : Complet ⇔ toute suite de Cauchy est convergente Une source presque in´epuisable d’espaces de Hilbert est donn´ee par Proposition Un sous-espace ferm´e d’un espace de Hibert est un espace de Hilbert (pour la restriction du produit hermitien). EXEMPLES 1. L’espace C n muni de la forme hermitienne hx, yi = Xn j=1 x¯jyj 2. ` 2 (N) espace des suites complexes (xn)n≥0 telles que P∞ n=0 |xn| 2 < +∞ munies de h(xn)n≥0,(yn)n≥0i = X +∞ n=0 x nyn D´emonstration 5. L’espace de Sobolev discret H 1 (N) = {(xn)n≥0 | P n≥1 n 2 |xn| 2 + |x0| 2} muni de h(xn)n≥0,(yn)n≥0iH1 = X +∞ n=1 n 2 x nyn + x 0y0 En effet, l’application (xn)n≥0 −→ (un)n≥0 o`u un = nxn pour n ≥ 1 et u0 = x0 fournit un isomorphisme (= bijection lin´eaire pr´eservant le produit hermitien) entre H 1 (N) et ` 2 (N). Ils sont donc tous deux complets. 3. L 2 (R, C), espace des fonctions L 2 sur R pour < f , g >= Z R ¯f (x)g(x)dx Cf. cours d’int´egration. 4. L 2 (S 1 , C) espace des fonctions L 2 sur le cercle, ou encore des fonctions 2π-p´eriodiques sur R, munies de < f , g >= Z 2π 0 ¯f (x)g(x)dx En effet, les fonctions 2π-p´eriodiques sont d´efinies par la relation f (t + 2π) − f (t) = 0 p.p. ce qui d´efinit un ferm´e de L 2 (R, C). 5. L’espace L0 des fonctions L 2 ([0, 1]) de moyenne nulle muni de < f , g >= Z 1 0 ¯f (x)g(x)dx est un espace de Hilbert. En effet, c’est un ferm´e de L 2 ([0, 1], C) car F(f ) = R 1 0 f (t)dt est continue sur L 2 ([0, 1]) d’apr`es Cauchy-Schwarz : |F(f ) − F(g)| ≤ R 1 0 |f (t) − g(t)| 2dt1/2 . Donc F −1 (0) est ferm´e. G´eom´etrie dans un Hilbert • L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz s’´ecrit |hx, yi| ≤ kxk · kyk • L’´egalit´e de la m´ediane kx − ak 2 + kx − bk 2 = 2kx − a + b 2 k 2 + 2k a − b 2 k 2 • Formule de polarisation (i.e. la norme d´efinit le produit hermitien) <hx, yi="(kx" +="" yk="" 2="" −="" kx="" )="" 4="" (1)="hx," iyk="" (2)="" orthogonalit´e="" si="" f="" est="" un="" sous-espace="" quelconque="" de="" h,="" pose="" ⊥="{x" ∈="" h="" |="" ∀y="" f,hx,="" c’est="" ferm´e.="" la="" continuit´e="" y="" −→="" hx,="" d´eduit="" facilement="" que="" (f="" ⊥)="F" :="" x="" ⇒="" f,="" donc="" il="" r´esultera="" des="" th´eor`emes="" qui="" suivent="" contre-exemples="" existe="" sous-espaces="" ne="" sont="" pas="" ferm´es="" les="" suites="" ayant="" nombre="" fini="" termes="" non="" nuls="" dans="" `="" (n)="" p+∞="" j="1" 1="" ej="" son="" adh´erence.="" le="" c="" 0="" (r)="" l="" (il="" dense,="" cf.="" cours="" d’int´egration)="" etc....="" applications="" continues="" mˆeme="" certains="" ferm´es,="" certaines="" lin´eaires="" continues.="" th´eor`eme="" une="" application="" lin´eaire="" entre="" deux="" espaces="" hilbert,="" e,="" continue="" et="" seulement="" constante="" telle="" pour="" tout="" e="" a="" ku(x)kf="" ≤="" ckxke="" plus="" petit="" tel="" l’in´egalit´e="" ci-dessus="" soit="" v´erifi´ee="" appel´ee="" norme="" u="" not´ee="" kuk.="" attention,="" (continues)="" injectives="" surjectives="" ou="" d’une="" espace="" hilbert="" lui-mˆeme.="" par="" exemple="" lui-mˆeme="" donn´ee="" (x1,="" x2,="" ...,="" xn,="" ...)="" (x2,="" x3,="" xn+1,="" (0,="" x1,="" xn−1,="" respectivement="" surjective="" injective="" surjective.="" noter="" seconde="" pr´eserve="" norme.="" pr´eservant="" norme,="" bijectives.="" d´efinition="" isom´etrie="" elle="" bijective,="" dit="" bijective="" isomorphisme="" isom´etrique.="" (on="" parfois="" simplement="" isomorphisme).="" quatre="" sur="" id´ee="" base="" classiques="" d’alg`ebre="" s’´etendent="" aux="" se="" limite="" vectoriels="" projection="" ferm´e="" pf="" (x)="" (x="" (x))="" (x)k="d(x," f)="infy∈F" yk.="" ∀x="" ⊥.="" illustration="" du="" projection.="" d´emonstration="" d´ecomposition="" ferm´e,="" alors="" ⊕="" repr´esentation="" riesz="" forme="" hilbert.="" unique="" vecteur="" au="" ,="" u(x)="<" au,=""> D´emonstration : On peut supposer u 6= 0. On choisit bu un vecteur unitaire orthogonal `a F = ker(u) (bu existe car H = F ⊕ F ⊥ et F 6= H). On a alors u(x − u(x) bu u(bu) ) = 0, donc H = ker(u) ⊕ Cbu. On v´erifie alors que u(x) = hu(bu)bu, xi pour x ∈ ker(u) puis pour x ∈ Cbu. C’est donc vrai pout tout x, et la proposition est v´erifi´ee avec au = u(bu)bu. Applications : Si F est un sous-espace vectoriel de H, (F ⊥) ⊥ = F Si H est un espace de Hilbert, H ∗ = {Appl.lin.ctn u : H → C} est isomorphe `a H. Le produit hermitien est donn´e par hhu, vii = hau, bv i. On a aussi (H ∗ ) ∗ ' H. Crit`ere de fermeture F ⊂ H est ferm´e si et seulement si il existe u : H −→ K continue telle que F = ker(u). L’existence de u continue entraˆıne ´evidemment la fermeture de F. Inversement, si F est ferm´e, l’application de projections sur F ⊥ fournit le u recherch´e. Crit`ere de densit´e F ⊂ H est un sous espace dense, si et seulement si F ⊥ = {0} Exemple fondamental : Pour n ∈ Z, les en(t) = e int de L 2 (S 1 , C) engendrent l’espace des polynˆomes trigonom´etriques. Cet espace sera dense ssi R 1 0 f (t)e intdt = 0 pour tout n ∈ Z entraˆıne f = 0 p.p. Le th´eor`eme de F´ejer (cf. appendice du poly) affirme la densit´e (pour la norme C 0 ) des polynˆomes trigonom´etriques dans C 0 (S 1 , C). Donc si R 1 0 f (t)e intdt = 0 pour tout n, R 1 0 f (t)g(t)dt = 0 pour tout g dans C 0 et donc par densit´e de C 0 (S 1 , C) dans L 2 (S 1 , C) (pour la norme L 2 , cette fois), cela sera encore vrai pour tout g dans L 2 , et finalement f = 0. Plus g´en´eralement les e iλnt forment un ensemble dense dans L 2 ([0, 1], C) si et seulement si R 1 0 f (t)e iλntdt = 0 pour tout n entraˆıne f = 0 p.p. La th´eorie des fonctions holomorphes (cf. amphis 8,9) fournira un crit`ere efficace pour r´epondre `a cette question (th´eor`eme de M¨untz-Szasz). Le th´eor`eme de Hahn-Banach est une cons´equence des pr´ec´edents et s’utilise dans un cadre plus g´en´eral. Th´eor`eme de Hahn-Banach Soit F un sous espace d’un espace de Hilbert. Si x0 ∈/ F alors il existe une forme lin´eaire continue u telle que u(F) = 0 et u(x0) = 1 D´emonstration. Soit W = F ⊥ = (F) ⊥. On a PW (x0) 6= 0 car x0 ∈/ F. Soit a = PW (x0) |PW (x0)| 2 Alors < a, x0 >= 1 et < a, x >= 0 pour x ∈ F. Repr´esentation de Riesz pour les formes hermitiennes Definition (Th´eor`eme) On dit qu’une forme sesquilin´eaire B(u, v) est continue sur H si il existe une constante C telle que ∀u, v ∈ H |B(u, v)| ≤ Ckukkvk Remarque : Si B est hermitienne, il suffit de v´erifier que B(u, u) ≤ Ckuk 2 . Cela r´esulte ais´ement de la formule de polarisation. On a alors : Th´eor`eme de repr´esentation de Riesz (cas hermitien) Soit B une forme sesquilin´eaire continue. Il existe alors une application lin´eaire unique L : H −→ H, continue, telle que B(u, v) = hLu, vi D´emonstration . Cons´equence : Existence de l’adjoint Si u : H −→ K est continue, il existe u ∗ : K −→ H continue telle que ∀x ∈ H, ∀y ∈ K, hu(x), yi = hx, u ∗ (y)i II. Bases Hilbertiennes D´efinition des bases Hilbertienne La famille (en)n≥1 est une base Hilbertienne ssi 1. ∀i, j,hei , eji = δ j i 2. L n Cen est dense dans E Attention, en dimension infinie une base Hilbertienne n’est pas une base au sens alg´ebrique..... ( un espace complet n’a pas de base alg´ebrique d´enombrable). Proposition Si (en)n≥1 est une base Hibertienne de H, tout x ∈ H s’´ecrit de mani`ere unique x = P n xnen avec xn ∈ C. De plus kxk 2 = P n kxnk 2 (formule de Parseval). Si (en)n≥1 est une base Hilbertienne, on a la d´ecomposition en s´erie convergente (mais pas absolument convergente) x = X n < x, en > en et kxk 2 = X n kxnk 2 = X n |hx, eni|2 (Formule de Parseval) Existence des bases Hilbertiennes On dit qu’un espace est s´eparable s’il poss`ede un sous ensemble d´enombrable dense. Th´eor`eme d’existence d’une base Hilbertienne. Tout espace de Hilbert s´eparable poss`ede une base Hilbertienne. D´emonstration : Proc´ed´e de Gram-Schmidt Soit (xn)n≥1 une suite dense dans H, et Fn le s.e.v. engendr´e par x1, ..., xn. Quitte `a renum´eroter, on peut supposer dim(Fn) = n et donc Fj de codimension un dans Fj+1. Soit en un g´en´erateur de F ⊥ n−1 ∩ Fn. Alors (en) est une base Hilbertienne. Les espaces ` 2 (N), L 2 (R, C), L 2 (S 1 , C), H k , bref tous les espaces que l’on rencontre habituellement .... sont s´eparables. Le r´esultat pr´ec´edent nous dit que les espace de Hilbert s´eparables se ressemblent tous, c’est-`a-dire qu’ils sont tous isomorphes. Proposition Un espace de Hilbert s´eparable est isomorphe `a ` 2 (N) D´emonstration En effet un tel isomorphisme est fourni par les coordonn´ees dans une base Hilbertienne (en)n≥1, i.e. l’application de ` 2 (N) dans H donn´ee par (xn)n≥1 −→ X +∞ n=1 xnen La formule de Parseval dit que c’est une isom´etrie. D´esormais tous les espaces de Hilbert seront suppos´es s´eparables Corollaire 1 Si H est de dimension infinie, sa boule unit´e B = {x ∈ H | kxk ≤ 1} n’est pas compacte. En effet la suite (en)n≥1 n’a pas de sous-suite convergente (car ken. − emk = 2). Corollaire 2 Si H est de dimension infinie, il n’existe pas de mesure non triviale sur H, invariante par translation En effet, B(0, 1) contient une infinit´e de boules de rayon 1/4, les B(ej/2, 1/4), donc µ(B(0, 1/4)) = 0, et comme H est r´eunion d´enombrable de boules de rayon 1/4, µ(H) ≡ 0. Mais alors pour tout sous ensemble A de H, µ(A) ≤ µ(H) = 0, donc µ est identiquement nulle. Remarque : Il existe malgr´e tout des mesures int´eressantes en dimension infinie : la mesure de Wiener permet de mesurer certaines parties de C 0 ([0, 1], R). Elle est li´ee au mouvement Brownien. Exemple Fondamental : S´erie de Fourier L 2 Ici n ∈ Z, H = L 2 (S 1 , C), < f , g >= R S1 f (t)g(t)dt. On prend en(t) = √ 1 2π exp(−int) et on a bien < en, em >= δ n m. Dans ce cas, xn =< x, en >= √ 1 2π R S1 f (t) exp(−int)dt sont les coefficients de Fourier. La densit´e de l’espace engendr´e par les ep, entraˆıne D´ecomposition en s´erie de Fourier L 2 Pour f dans L 2 (S 1 ), la s´erie de Fourier de f converge en moyenne quadratique : limq→∞ R 2π 0 |f (t) − Pq n=−q cn(f )e −int| 2dt −→ 0 On a l’´egalit´e de Parseval : 1 2π R 2π 0 |f (t)| 2dt = P n∈Z |cn(f )| 2 Inversement si an est une suite telle que P n a 2 n < +∞, la s´erie de Fourier P n ane int converge (en norme L 2 !) dans L 2 (S 1 ). Une bonne th´eorie des s´eries de Fourier • Comme en th´eorie de l’int´egration (et d’ailleurs, grˆace `a cette th´eorie) on a une th´eorie de s´eries de Fourier  parfaite  : toute fonction L 2 est somme de sa s´erie de Fourier, toute s´erie de Fourier convergent quadratiquement a pour somme une fonction L 2 (`a condition d’utiliser la bonne norme pour la convergence). • Ce n’est pas le cas pour la norme C 0 : on ne sait pas d´ecrire simplement les fonctions qui sont limites uniformes de leur s´erie de Fourier (certaines fonctions continues ne le sont pas-voir plus loin). • Cela n’empˆeche pas que toute fonction continue soit limite uniforme de polynˆomes trigonom´etriques (mais pas n´ecessairement sa s´erie de Fourier), d’apr`es le th´eor`eme de F´ejer. • On peut montrer facilement que si f est de classe C 1 , la s´erie de Fourier converge uniform´ement vers f . Divers types de Convergence des S´eries de Fourier La question de la convergence ponctuelle (ou uniforme) de la s´erie de Fourier de f vers f date de Dirichlet (1829). Attention, l’´enonc´e pr´ec´edent n’affirme a priori aucune convergence ponctuelle, mais par  Cauchy pr´ecis´e  dans L 2 , une suite qui converge L 2 a une sous-suite convergeant p.p. (donc on peut trouver une suite de sommes partielles convergeant p.p. ). Un r´esultat c´el`ebre et difficile de Carleson (1966) affirme que pour une fonction L 2 , la suite elle-mˆeme PN −N cn(f )e int converge p.p. vers f (t). D’apr`es Kahane et Katznelson (1965), ´etant donn´e un ensemble quelconque de mesure nulle sur S 1 , il existe une fonction continue dont la s´erie de Fourier ne converge pas sur E. D’apr`es Kolmogorov, si f est suppos´ee int´egrable (et non de carr´e int´egrable) la s´erie de Fourier peut diverger partout.... Bases orthogonales de polynomes Soit < f , g >= R R f (t)g(t)e − t 2 2 dt. Les polynˆomes forment un sous-espace dense de L 2 (R, e − t 2 2 dt). On peut construire une base orthogonale de polynˆomes en appliquant l’orthogonalisation de Gram-Schmidt `a la famille (t n )n≥1. Ce sont les polynˆomes d’Hermite. A une constante de ` normalisation pr`es, on a Hn(x) = (−1)n e x 2/2 d n dx n (e −x 2/2 ) De mˆeme pour le produit hermitien < f , g >= R +∞ 0 f (t)g(t)e −tdt on obtient comme base orthogonale les polynˆomes de Laguerre Ln(x) = e x n! d n dx n (e −x x n ) D´ecomposition en polynˆomes de Laguerre D´ecomposition en polynˆomes de Laguerre de cos(5x) exp(x) D´ecomposition en Ondelettes de Haar. On note ϕ = 1[0,1/2[ − 1[1/2,1[ et ϕn,k (x) = 2nϕ(2n x − k) o`u 1A d´esigne la fonction caract´eristique de l’intervalle A et n, k ∈ N. La fonction constante 1 et les ϕn,k pour 0 ≤ k < 2n , forment un syst`eme orthonormal de l’espace de Hilbert L 2 ([0, 1]). Les ondelettes de Haar ϕ5,3(bleu), ϕ3,2(rouge) D´ecomposition en ondelettes de Haar de cos avec 25 coefficients. 09 D´ecomposition en ondelettes de Haar de cos(5x) exp(x) D´ecomposition en Fourier et en ondelettes de Haar de x 2 avec 16 coefficients. Convergence faible On dit que la suite (xn)n≥1 converge faiblement vers x∞ si pour tout vecteur v ∈ H, hxn, vi converge vers hx∞, vi. La convergence faible peut se voir comme une convergence  coordonn´ee par coordonn´ee . Mais elle ne d´epend pas du choix de la base Hilbertienne. Proposition : compacit´e faible de la boule unit´e Si H est de dimension infinie, toute suite born´ee poss`ede une sous suite  convergeant faiblement . D´emonstration Il suffit d’extraire une suite diagonale des coordonn´ees dans une base Hilbertienne (ek )k≥1. Il est alors clair que pour chaque k, la suite n −→ hxn, ek i converge vers hx, ek i et par lin´earit´e il en est de mˆeme pour hx, vi si v est somme finie des ek . Par densit´e des sommes finies, on v´erifie sans peine qu’il en est de mˆeme pour hxn, vi quel que soit v dans E. Remarque La notion de convergence faible n’est la convergence pour aucune m´etrique. Elle d´efinit une topologie, et satisfait les propri´et´es de la convergence des suites. En particulier si une suite converge faiblement, la limite est unique. Pour la prochaine fois : revoir la compacit´e et la transform´ee de Fourier. Mercredi 16 Juin `a 15H45. Le cours sera donn´e par Etienne Ghys, ´ Membre de l’Acad´emie des Sciences Sp´ecialiste de G´eom´etrie et Dynamique Coauteur du film “Dimensions” Mercredi 16 Juin `a 15H45. Etienne Ghys, ´ “Sur la coupe des vˆetements, d’apr`es Tchebychev”. On se donne une surface S et on veut l’habiller par un tissu. Le tissu c’est un domaine du plan D (le patron de la couturi`ere), les fils sont les droites horizontales et verticales, et l’habillage c’est F : D −→ S tel que F est une isom´etrie sur les fils horizontaux et verticaux (chaˆıne et trame) mais on ne demande pas que l’orthogonalit´e des fils soit pr´eserv´ee. Quelles sont les surfaces habillables ? Combien de morceaux faut-il pour habiller une sph`ere par exemple ? Compl´etude de ` 2 (N). Si (xk )k≥1 est une suite de Cauchy de ` 2 (N), on pose xk = (xn,k )n≥1 et chacune des suites (xn,k )k≥1 est de Cauchy (car |xn,k − xn,l | 2 ≤ kxk − xlk 2 ) et donc converge vers un nombre complexe zn. On pr´etend maintenant que z = (zn)n≥1 est la limite des (xk )k≥1. En effet pour tout n, on a que Xn j=1 |xj,k − zj | 2 = lim q→∞ Xn j=1 |xj,k − xj,q| 2 ≤ lim q→∞ kxk − xqk 2 Comme le terme de droite est ind´ependant de n, on a kxk − zk 2 ≤ limq→∞ kxk − xqk 2 qui tend vers 0 avec k (car la suite (xk )k≥1 est de Cauchy) et donc (xk )k≥1 tend vers z. Retour D´emonstration du th´eor`eme de la projection. Soit une suite yn ∈ F telle que limn kx − ynk = d(x, F). La suite yn est de Cauchy en utilisant la formule de la m´ediane kyn − ymk 2 = 2(kyn − xk 2 + kym − xk 2 ) − 4(kx − yn + ym 2 k 2 ) ≤ 4(d(x, F) + ε) 2 − 4d(x, F) 2 Si le minimum est atteint en y = PF (x), on a kx − (y + tz)k 2 ≥ kx − yk 2 pour tout z ∈ F et donc 2thx − y, zi + t 2 kzk 2 ≤ 0 pour tout t, ce qui n’est possible que si hx − y, zi = 0 quel que soit z ∈ F c’est-`a-dire x − PF (x) ∈ F ⊥. Retour D´emonstration du th´eor`eme de Riesz (cas sesquilin´eaire) : D’apr`es l’ hypoth`ese de continuit´e, pour chaque u fix´e la forme lin´eaire v −→ B(u, v) est continue. Par le th´eor`eme de Riesz, il existe Lu unique tel que B(u, v) = hLu, vi. Il nous faut montrer que L est lin´eaire et continue. La lin´earit´e r´esulte imm´ediatement de l’unicit´e et de la sesquilin´earit´e de B. Pour la continuit´e, nous avons par hypoth`ese kLuk 2 = hLu, Lui = B(u, Lu) ≤ CkukkLuk On en d´eduit kLuk ≤ Ckuk et donc la continuit´e de L. Retour