Algèbre sur un corps : Mathématique

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10/03/2011

Algèbre sur un corps

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps

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En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A , + , . , × ) telle que :

(A, +, ·) est un espace vectoriel sur K,
la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
la loi × est distributive par rapport à la loi + .
pour tout (a, b) dans K² et pour tout (x, y) dans A², (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Définitions[modifier]

Soient K un corps commutatif et A un espace vectoriel sur K muni de plus d'une opération binaire (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A. On dit que A est une algèbre sur K si cette opération binaire est distributive par rapport à + et bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

$(x + y) z = x z + y z~,$
$x ( y + z) = x y + x z~,$
$(a x) (b y) = (a b) (x y)~.$

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Deux algèbres A et B sur K sont isomorphes s'il existe une bijection $f:Ato B$ telle que

$forall x,yin A,~forall ain K,~f(xy) = f(x) f(y)text{ et }f(x+ay) = f(x) + af(y)~.$
Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Article détaillé : algèbre sur un anneau.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et alèbres unifères

Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne x est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une

algèbre associative sur un corps (article détaillé).

Une algèbre est dite unifère si elle admet un élément neutre 1 pour la multiplication x. Une algèbre est dite commutative, si la loi de composition interne x est commutative.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps[modifier]

Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel¹.

Si $a=(a_i)_{iin I}$ est une base de A, il existe alors une unique famille $(c_{i,j}^k)_{i,j,k in I}$ d'éléments du corps K tels que :

$displaystyle a_itimes a_j=sum_{kin I} c_{i,j}^k a_k$ .

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que $(c_{i,j}^k)_{i,j,k in I}$ sont les constantes de structure¹ de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations $a_itimes a_j=sum_{kin I} c_{i,j}^k a_k$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A¹.

Exemples d'algèbres de dimension finie[modifier]

Algèbres associatives et commutatives

L'ensemble des nombres complexes $(mathbb C, +,cdot, times)$ est une $mathbb R$ - algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2.

Une base de l'algèbre $mathbb C$ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier ( $mathbf F_p=mathbf Z / pmathbf Z$ ), donc son ordre est $p n$ .

Par exemple le corps fini $mathbf F_4$ est une algèbre de dimension 2 sur le corps $mathbf F_2=mathbf Z / 2mathbf Z$ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative². Sa table de multiplication dans une base (1, $x$ ) est de la forme :

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type dépendant de la base choisie).

Algèbres associatives et non commutatives

L'ensemble des matrices carrées d'ordre $ngeqslant2$ à valeur dans $mathbb R$ , $left(mathcal M_n(mathbb R), +,cdot, times right)$ est une $mathbb R$ - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension $n 2$ .
L'ensemble des quaternions $(mathbb H, +,cdot, times)$ est une $mathbb R$ - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
L'ensemble des biquaternions $(mathbb B, +,cdot, times)$ est une $mathbb C$ -algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre $left(mathcal M_2(mathbb C), +,cdot, times right)$ des matrices matrices carrées d'ordre 2 à valeur dans $mathbb C$ .

Algèbre unifère non associative

L'ensemble des octonions $(mathbb O, +,cdot, times)$ est une $mathbb R$ - algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

L'espace euclidien $mathbb R^3$ muni du produit vectoriel $(mathbb R^3, +,cdot, wedge)$ est une $mathbb R$ - algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ( $vec{u}$ , $vec{v}$ , $vec{w}$ ) est :

L'ensemble des matrices carrées d'ordre $ngeqslant2$ à valeur dans $mathbb R$ , muni du crochet de Lie : $[M, N] = M N - N M$ , $left(mathcal M_n(mathbb R), +,cdot, [,] right)$ est une $mathbb R$ - algèbre non associative, nonunifère et non commutative de dimension $n 2$ . Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple[modifier]

L'ensemble des quaternions $(mathbb H, +,cdot, times)$ n'est pas une $mathbb C$ -algèbre car la multiplication $times$ n'est pas $mathbb C$ -bilinéaire : $icdot (jtimes k)neq jtimes (icdot k)$ .

Voir aussi[modifier]

Notes et références[modifier]

↑ ^a, b et c N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.

Sommaire

[masquer]

$1times 1=1$ ,	$1times i=i$ ,
$itimes 1=i$ ,	$itimes i=-1$

$1times 1=1$ ,	$1times a=a$ ,
$atimes 1=a$ ,	$atimes a=1+a$

$1times 1=1$ ,	$1times x=x$ ,
$xtimes 1=x$ ,	$x 2 = a 1 + b x$

$vec{u}wedgevec{u} =vec{0}$ ,	$vec{u}wedgevec{v} =vec{w}$ ,	$vec{u}wedgevec{w} =-vec{v}$ ,
$vec{v}wedgevec{u} =-vec{w}$ ,	$vec{v}wedgevec{v} =vec{0}$ ,	$vec{v}wedgevec{w} =vec{u}$ ,
$vec{w}wedgevec{u} =vec{v}$ ,	$vec{w}wedgevec{v} =-vec{u}$ ,	$vec{w}wedgevec{w} =vec{0}$ ,

[enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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