Algèbre sur un corps : Mathématique

D	L	M	M	J	V	S
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30

« Algèbre | Page d'accueil | Méthodix algèbre , 250 méthodes 250 exercices corrigés Xavier Merlin Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 05/1998 Livre »

10/03/2011

Algèbre sur un corps

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_sur_un_corps

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A , + , . , × ) telle que :

(A, +, ·) est un espace vectoriel sur K,
la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
la loi × est distributive par rapport à la loi + .
pour tout (a, b) dans K² et pour tout (x, y) dans A², (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Définitions[modifier]

Soient K un corps commutatif et A un espace vectoriel sur K muni de plus d'une opération binaire (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A. On dit que A est une algèbre sur K si cette opération binaire est distributive par rapport à + et bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

$(x + y) z = x z + y z~,$
$x ( y + z) = x y + x z~,$
$(a x) (b y) = (a b) (x y)~.$

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Deux algèbres A et B sur K sont isomorphes s'il existe une bijection $f:Ato B$ telle que

$forall x,yin A,~forall ain K,~f(xy) = f(x) f(y)text{ et }f(x+ay) = f(x) + af(y)~.$
Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Article détaillé : algèbre sur un anneau.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et alèbres unifères

Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne x est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une

algèbre associative sur un corps (article détaillé).

Une algèbre est dite unifère si elle admet un élément neutre 1 pour la multiplication x. Une algèbre est dite commutative, si la loi de composition interne x est commutative.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps[modifier]

Tout espace vectoriel admet une base. Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel¹.

Si $a=(a_i)_{iin I}$ est une base de A, il existe alors une unique famille $(c_{i,j}^k)_{i,j,k in I}$ d'éléments du corps K tels que :

$displaystyle a_itimes a_j=sum_{kin I} c_{i,j}^k a_k$ .

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que $(c_{i,j}^k)_{i,j,k in I}$ sont les constantes de structure¹ de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations $a_itimes a_j=sum_{kin I} c_{i,j}^k a_k$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A¹.

Exemples d'algèbres de dimension finie[modifier]

Algèbres associatives et commutatives

L'ensemble des nombres complexes $(mathbb C, +,cdot, times)$ est une $mathbb R$ - algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2.

Une base de l'algèbre $mathbb C$ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier ( $mathbf F_p=mathbf Z / pmathbf Z$ ), donc son ordre est $p n$ .

Par exemple le corps fini $mathbf F_4$ est une algèbre de dimension 2 sur le corps $mathbf F_2=mathbf Z / 2mathbf Z$ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative². Sa table de multiplication dans une base (1, $x$ ) est de la forme :

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type dépendant de la base choisie).

Algèbres associatives et non commutatives

L'ensemble des matrices carrées d'ordre $ngeqslant2$ à valeur dans $mathbb R$ , $left(mathcal M_n(mathbb R), +,cdot, times right)$ est une $mathbb R$ - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension $n 2$ .
L'ensemble des quaternions $(mathbb H, +,cdot, times)$ est une $mathbb R$ - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
L'ensemble des biquaternions $(mathbb B, +,cdot, times)$ est une $mathbb C$ -algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre $left(mathcal M_2(mathbb C), +,cdot, times right)$ des matrices matrices carrées d'ordre 2 à valeur dans $mathbb C$ .

Algèbre unifère non associative

L'ensemble des octonions $(mathbb O, +,cdot, times)$ est une $mathbb R$ - algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

L'espace euclidien $mathbb R^3$ muni du produit vectoriel $(mathbb R^3, +,cdot, wedge)$ est une $mathbb R$ - algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ( $vec{u}$ , $vec{v}$ , $vec{w}$ ) est :

L'ensemble des matrices carrées d'ordre $ngeqslant2$ à valeur dans $mathbb R$ , muni du crochet de Lie : $[M, N] = M N - N M$ , $left(mathcal M_n(mathbb R), +,cdot, [,] right)$ est une $mathbb R$ - algèbre non associative, nonunifère et non commutative de dimension $n 2$ . Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple[modifier]

L'ensemble des quaternions $(mathbb H, +,cdot, times)$ n'est pas une $mathbb C$ -algèbre car la multiplication $times$ n'est pas $mathbb C$ -bilinéaire : $icdot (jtimes k)neq jtimes (icdot k)$ .

Voir aussi[modifier]

Notes et références[modifier]

↑ ^a, b et c N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
↑ N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.

Sommaire

[masquer]

$1times 1=1$ ,	$1times i=i$ ,
$itimes 1=i$ ,	$itimes i=-1$

$1times 1=1$ ,	$1times a=a$ ,
$atimes 1=a$ ,	$atimes a=1+a$

$1times 1=1$ ,	$1times x=x$ ,
$xtimes 1=x$ ,	$x 2 = a 1 + b x$

$vec{u}wedgevec{u} =vec{0}$ ,	$vec{u}wedgevec{v} =vec{w}$ ,	$vec{u}wedgevec{w} =-vec{v}$ ,
$vec{v}wedgevec{u} =-vec{w}$ ,	$vec{v}wedgevec{v} =vec{0}$ ,	$vec{v}wedgevec{w} =vec{u}$ ,
$vec{w}wedgevec{u} =vec{v}$ ,	$vec{w}wedgevec{v} =-vec{u}$ ,	$vec{w}wedgevec{w} =vec{0}$ ,

[enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

Les commentaires sont fermés.

Mathématique

Cours, définitions, Vidéos, théorèmes, exercices, corrigés, livres sur les mathématiques, Livres Rares, Livres anciens de mathématiques

Recherchez sur le site (cours, livres, Agregation, etc.)

Liens utiles

Rechercher

CODE PROMO

Liens mathématiques divers

Livres en pdf

Cours

Documents Mathématiques

Novembre 2024

Notes récentes

Archives

Catégories

Derniers weblogs mis à jour

Liens Sites Amis

10/03/2011

Algèbre sur un corps

Algèbre sur un corps

Définitions[modifier]

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps[modifier]

Exemples d'algèbres de dimension finie[modifier]

Contre-exemple[modifier]

Voir aussi[modifier]

Notes et références[modifier]

Sommaire