SPIRALE CONIQUE DE PAPPUS Conical spiral of Pappus, Pappussche konische Spirale

SPIRALE CONIQUE DE PAPPUS 
Conical spiral of Pappus, Pappussche konische Spirale

Courbe étudiée par Pappus, Pascal en 1779, et Chasles en 1843. 
Pappus : mathématicien d'Alexandrie (IVe siècle avant J.C.).

  
 

La spirale conique de Pappus est la trajectoire d'un point se déplaçant uniformément sur une droite passant par un point O, cette droite tournant uniformément autour d'un axe Oz en conservant un angle a avec Oz. 
Elle est donc intersection du cône de révolution  (C) :  avec l’hélicoïde droit : . 
Si l’on développe le cône (C) sur un plan, le point M devenant le point de coordonnées polaires , la spirale de Pappus devient la spirale d’Archimède : , autrement dit, la spirale de Pappus est un enroulement conique de spirale d’Archimède.

La projection sur xOy est aussi une spirale d’Archimède, qui coïncide avec la spirale de Pappus pour .

La spirale de Pappus est la podaire de l'hélice circulaire par rapport à un point de son axe, c'est à dire le lieu des projetés de ce point sur les plans osculateurs à l'hélice.

La trace sur xOy de sa tangente est la spirale de Galilée : . 
La trace sur xOy de la droite orthogonale à la courbe et incluse dans le plan tangent au cône est le cercle de centre O et de rayon .

Il ne faut pas la confondre avec l'hélice conique : la spirale conique de Pappus est à la spirale d'Archimède, ce que l'hélice conique est à la spirale logarithmique !

Gravure de wentzel Jamnitzer  Perspectiva corporum regularium

Source : http://www.mathcurve.com/courbes3d/spiraleconic/pappus.sh...

Équation sphérique : . 
Équation cylindrique : . 
Paramétrisation cartésienne : .