13/02/2011
Espérance mathématique
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique en statistiques. Elle se note E(X) et se lit espérance de X. C'est une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire. Elle permet par exemple de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard; elle est alors égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du gain (ou de la perte). Lorsque l'espérance est égale à 0, le jeu est dit équitable. Soit une variable aléatoire de l' espace probabilisé vers (ou un espace mesurable ). Son espérance est définie par: Si est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables , et qu'elle a une fonction de masse , l'espérance prend la forme: C'est notamment le cas quand le nombre de valeurs possibles est fini, par exemple avec les probabilités . Dans ce cas l'espérance devient: Dans ce cas la famille est sommable et la convergence absolue assure que la division de la série ne dépend pas de la manière de numéroter les termes. Exemple de calcul pour la roulette française : en jouant un numéro plein, le joueur a 1 chance sur 37 (les numéros vont de 0 à 36) de repartir avec 35 fois sa mise initialenote 1. Son espérance de gain est donc : Ce résultat indique qu'en moyenne, il perd 2,7 % de sa mise à chaque partie au profit du casino. X étant une variable aléatoire réelle, une fonction f supposée régulière définit une nouvelle variable aléatoire notée f(X) dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçantk par f(k) ou x par f(x) dans les formules précédentes (théorème de transfert). Variable aléatoire continue: En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes (où ) dont l'espérance mathématique est [la valeur en θ de] la transformée de Fourier inverse de la densité de probabilité : Il s'agit de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. L'exponentielle se développe en série : ou, si la densité de probabilité est une fonction suffisamment régulière : Définition — qui signifie que est une fonction de y (en fait une variable aléatoire). L'espérance itérée vérifie Propriété — En général, l'opérateur espérance ne respecte pas les fonctions de variable aléatoire, c'est-à-dire qu'en général: Une inégalité célèbre à ce propos est l'inégalité de Jensen pour des fonctions convexes (ou concaves). On utilise souvent comme estimateur de l'espérance la moyenne empirique, qui est un estimateur: On considère fréquemment l'espérance comme le centre de la variable aléatoire, c'est-à-dire la valeur autour de laquelle se dispersent les autres valeurs. Mais ce point de vue n'est plus valable lorsque la loi est dissymétrique. Pour s'en persuader il suffit d'étudier le cas d'une loi géométrique, une loi particulièrement dissymétrique. Si X représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le chiffre 1 avec un dé cubique, on démontre que E(X) = 6 ce qui veut dire qu'il faut en moyenne 6 lancers pour obtenir le chiffre 1. Pourtant, la probabilité que 5 essais ou moins suffisent vaut près de 0,6 et la probabilité que 7 lancers ou plus soient nécessaires est de 0,33. Les valeurs de X ne se répartissent donc pas équitablement de part et d'autre de l'espérance. Dans certains cas, les indications de l'espérance mathématique ne coïncident pas avec un choix rationnel. Imaginons par exemple qu'on vous fasse la proposition suivante : si vous arrivez à faire un double six avec deux dés, vous gagnez un million d'euros, sinon vous perdez 10 000 euros. Il est probable que vous refuserez de jouer. Pourtant l'espérance de ce jeu vous est très favorable : la probabilité de tirer un double 6 est de 1/36; on obtient donc : à chaque partie vous gagnez en moyenne 18 000 euros. Le problème tient justement sur ce « en moyenne » : si les gains sont extrêmement importants, ils n'interviennent que relativement rarement, et pour avoir une garantie raisonnable de ne pas finir ruiné, il faut donc avoir suffisamment d'argent pour participer à un grand nombre de parties. Si les mises sont trop importantes pour permettre un grand nombre de parties, le critère de l'espérance mathématique n'est donc pas approprié. Ce sont ces considérations et de risque de ruine qui conduisirent, à partir de son « paradoxe de Saint Petersbourg », le mathématicien Daniel Bernoulli à introduire en 1738 l'idée d'aversion au risque qui conduit à assortir l'espérance mathématique d'une prime de risque pour son application dans les questions de choix. Plutôt que de passer par une notion de prime, on peut directement établir une fonction d'utilité, associant à tout couple {gain, probabilité} une valeur. L'espérance mathématique constitue alors la plus simple des fonctions d'utilité, appropriée dans le cas d'un joueur neutre au risque disposant de ressources au moins très grandes à défaut d'infinies. Émile Borel adopta cette notion d'utilité pour expliquer qu'un joueur ayant peu de ressources choisisse rationnellement de prendre un billet de loterie chaque semaine : la perte correspondante n'est en effet pour lui que quantitative, tandis que le gain - si gain il y a - sera qualitatif, sa vie entière en étant changée. Une chance sur un million de gagner un million peut donc valoir dans ce cas précis bien davantage qu'un euro.Espérance mathématique
Définition[modifier]
Si la loi de probabilité de admet une densité , alors:
Exemple[modifier]
Généralisation: espérance d'une fonction d'une variable aléatoire réelle[modifier]
Variable aléatoire discrète: Propriétés[modifier]
Propriétés élémentaires[modifier]
Loi de l'espérance itérée[modifier]
Espérance d'une fonctionnelle[modifier]
Estimation[modifier]
Caractère central[modifier]
En particulier, si X et 2a - X ont même loi de probabilité, c'est-à-dire si la loi de probabilité est symétrique par rapport à a, alors E(X) = a.Interprétation et applications[modifier]
Espérance mathématique et choix rationnel[modifier]
Incidence de la prime de risque[modifier]
Applications particulières (économie, assurance, finance, jeux)[modifier]
Notion d'utilité probabiliste[modifier]
Notes et références[modifier]
Notes[modifier]
Références[modifier]
Liens externes[modifier]
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