Invitation à l'algèbre , Théorie des groupes, des anneaux, des corps et des modules Alain Jeanneret, Daniel Lines Etude (broché). Paru en 05/2008 Livre

Invitation à l'algèbre , Théorie des groupes, des anneaux, des corps et des modulesAlain Jeanneret, Daniel Lines

• Etude (broché). Paru en 05/2008
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  Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques qui désirent approfondir leurs connaissances en algèbre. Nous supposons qu'ils ont déjà acquis les éléments de base de l'arithmétique des nombres entiers et de l'algèbre linéaire. 
  Dans les trois premières parties, nous exposons les concepts fondamentaux de la théorie des groupes, des anneaux et des corps commutatifs. Nous illustrons les notions introduites par de nombreux exemples et applications issus de la géométrie ou de l’arithmétique : groupes de symétries des polyèdres réguliers et groupe des déplacements de l’espace euclidien, factorisation en éléments premiers dans l’anneau des polynômes et des entiers de Gauss, constructions à la règle et au compas. 
  Les deux parties suivantes s’adressent à des étudiants plus avancés et développent la théorie de Galois, qui traite de la résolubilité par radicaux des équations polynomiales, ainsi que celle des modules sur un anneau commutatif. Cette dernière s’applique en particulier à la classification des groupes abéliens et des endomorphismes d’espace vectoriel. 
  Cet ouvrage sera utile aux étudiants préparant la licence ou la maîtrise de mathématiques, les concours du CAPES ou de l’Agrégation ainsi qu’aux enseignants qui pourront l’utiliser comme base pour un cours. 
  Alain Jeanneret est professeur de mathématiques à l’université de Berne. 
  Daniel Lines a été professeur de mathématiques à l’université de Bourgogne.

  Table des matières : 
  1 Préliminaires 
  1.1 Rappels de théorie des ensembles 
  1.2 Lois internes et groupes 
  1.3 Anneaux 
  1.4 Corps 
  1.5 Quaternions 
  1.6 Exercices

  I Théorie des groupes 
  2 Généralités sur les groupes I 
  2.1 Définitions 
  2.2 Homomorphismes de groupes 
  2.3 Groupes quotients 
  2.4 Exercices 
  3 Exemples de détermination de groupes 
  3.1 Groupes d’ordres inférieurs à huit 
  3.2 Groupe des unités de Z/n 
  3.3 Exercices 
  4 Généralités sur les groupes II 
  4.1 Théorèmes d’isomorphie 
  4.2 Centre d’un groupe 
  4.3 Commutateurs 
  4.4 Groupes résolubles 
  4.5 Produits directs 
  4.6 Produits semi-directs 
  4.7 Exercices 
  5 Groupes de permutations et groupes de symétries des polyèdres 
  5.1 Groupes symétriques 
  5.2 Groupes alternés 
  5.3 Groupes de symétries des polyèdres réguliers 
  5.4 Exercices 
  6 Actions de groupes 
  6.1 Définitions 
  6.2 Applications à la théorie des groupes 
  6.3 Dénombrements d’objets coloriés 
  6.4 Théorème de Sylow 
  6.5 Exercices 
  7 Groupes de matrices et groupes d’isométries de l’espace euclidien 
  7.1 Groupes linéaires 
  7.2 Groupes orthogonaux et unitaires 
  7.3 Groupes d’isométries de l’espace euclidien 
  7.4 Exercices

  II Théorie des anneaux 
  8 Généralités sur les anneaux 
  8.1 Définitions 
  8.2 Anneaux de polynômes à une variable 
  8.3 Anneaux de polynômes à plusieurs variables 
  8.4 Exercices 
  9 Arithmétique dans les anneaux 
  9.1 Anneaux euclidiens et principaux 
  9.2 Anneaux factoriels 
  9.3 Arithmétique de l’anneau des entiers de Gauss 
  9.4 Le Grand théorème de Fermat 
  9.5 Factorialité des anneaux de polynômes 
  9.6 Exercices

  III Théorie des corps 
  10 Extensions de corps 
  10.1 Définitions 
  10.2 Éléments algébriques et transcendants 
  10.3 Polynômes cyclotomiques 
  10.4 Corps des racines d’un polynôme 
  10.5 Corps finis 
  10.6 Exercices 
  11 Constructions à la règle et au compas 
  11.1 Lien avec les extensions de corps 
  11.2 Applications 
  11.3 Exercices

  IV Théorie de Galois 
  12 Groupe de Galois et extensions galoisiennes 
  12.1 Groupe de Galois 
  12.2 Extensions galoisiennes 
  12.3 Réalisation de groupes comme groupes de Galois 
  12.4 Groupes de Galois des extensions de corps finis 
  12.5 Démonstration de la formule du sous-corps fixe 
  12.6 Exercices 
  13 Résolution des équations par radicaux 
  13.1 L’Équation XI' — a = 0 
  13.2 Équations résolubles par radicaux 
  13.3 Équations non résolubles par radicaux 
  13.4 Exercices

  V Théorie des modules 
  14 Généralités sur les modules 
  14.1 Définitions 
  14.2 Sous-modules d’un module libre 
  14.3 Démonstration du théorème de la forme normale 
  14.4 Exercices 
  15 Classification des modules sur un anneau principal 
  15.1 Décomposition d’un module selon ses facteurs invariants 
  15.2 Décomposition primaire d’un module 
  15.3 Démonstration de l’invariance des idéaux élémentaires 
  15.4 Exercices 
  16 Module associé à un endomorphisme d’espace vectoriel 359 16.1 Facteurs invariants du module associé à un endomorphisme 360 16.2 Décomposition primaire du module associé à un endomorphisme et blocs de Jordan 
  16.3 Exercices 
  Glossaire 
  Bibliographie 
  Index