Algèbre multilinéaire

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En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie desespaces vectoriels, l’algèbre multilinéaire est bâtie sur le concept d’un tenseur et développe la théorie des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend un certain nombre d'espaces et l'exposé de leurs relations.

Sommaire

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• 1 Historique de l’approche vers l’algèbre multilinéaire
• 2 Conclusion sur l’approche abstraite
• 3 Contenu de l’algèbre multilinéaire
• 4 Du point de vue des applications

Historique de l’approche vers l’algèbre multilinéaire[modifier]

L'algèbre multilinéaire a des racines variées plongeant dans ce qui a été appelé au XIXe siècle l’analyse tensorielle ou le « calcul tensoriel des champs tensoriels ». Elle s’est développée à partir de l’utilisation des tenseurs dans la géométrie différentielle, la relativité générale et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, l’étude des tenseurs est reformulée plus abstraitement. Le traité du groupe Bourbaki, l’Algèbre multilinéaire, est particulièrement influent — en fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé là.

Une des raisons de cette nouvelle formulation est une nouvelle aire d’application, l’algèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 40 donne une incitation additionnelle au développement d’un traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit de deux espaces topologiques utilise le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel que celui d’un tore, que les groupes homologiques peuvent être calculés directement de cette façon (voirthéorème de Künneth). Les phénomènes topologiques, assez subtils, sont à la source d’une nouvelle réflexion sur les concepts fondamentaux du calcul tensoriel.

Le matériel à organiser est dense, incluant des idées allant jusqu’à Hermann Günther Grassmann, les idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à lacohomologie de De Rham, ainsi qu’à des notions plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel.

La description qui résulte du travail de Bourbaki, plutôt abstraite, rejette entièrement l'approche vectorielle (utilisée par exemple dans la construction des quaternions), c’est-à-dire, dans le cas général, la relation entre les espaces tensoriels et les groupes de Lie. Les mathématiciens de Bourbaki suivent au lieu de cela une approche nouvelle basée sur la théorie des catégories, dans laquelle l’approche du groupe de Lie est vue comme une description secondaire. Puisque cela mène à un traitement beaucoup plus propre, il n’y aura probablement plus de retour en arrière en termes mathématiques. (Strictement, l’approche de la propriété universelle fut invoquée ; ceci est un peu plus général que la théorie des catégories, et la relation entre les deux moyens alternatifs peut aussi être clarifiée, en même temps.)

En effet, ce qui a été fait est presque précisément pour expliquer que les espaces tensoriels sont les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfère aucune intuition géométrique.

Le bienfait de cette formalisation est qu’en réexprimant des problèmes en termes d’algèbre multilinéaire, il y a une « meilleure solution » claire et bien définie : les contraintes que la solution exercent sont exactement celles dont on a besoin en pratique. En général il n’y a pas de besoin d’invoquer une quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou recours pour coordonner des systèmes. Dans le jargon catégoriel-théorique, tout est entièrement naturel.

Conclusion sur l’approche abstraite[modifier]

En principe l’approche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via l’approche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. D’autre part la notion de naturel est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point en point sur une variété, mais lacovariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à la formulation propre de la relativité générale.

Quelques décennies plus tard le point de vue plutôt abstrait venant de la théorie des catégories fut noué avec l’approche qui avait été développée dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). D’une façon cela amena la théorie à pleins bords, reliant une fois encore le contenu des points de vue anciens et nouveaux.

Contenu de l’algèbre multilinéaire[modifier]

Le contenu de l’algèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à travers les ans. Voici d’autres pages qui y sont centralement pertinentes :

• Espace dual
• Opérateur bilinéaire
• Produit intérieur
• Application multilinéaire
• Déterminant
• Règle de Cramer
• Delta de Kronecker
• Contraction tensorielle
• Tenseur mixte
• Symbole de Levi-Civita
• Algèbre tensorielle
• Algèbre symétrique
• Produit extérieur, Puissance extérieure
• Algèbre de Grassmann
• Dérivée extérieure
• Notation d'Einstein
• Tenseur symétrique
• Tenseur métrique

Du point de vue des applications[modifier]

Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de l’algèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises :

• Tenseur dyadique
• Notation bra-ket
• algèbre géométrique
• Algèbre de Clifford
• Pseudoscalaire
• Pseudovecteur
• Spineur
• Produit extérieur
• Nombre hypercomplexe
• Courbure

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire

Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice positive • Matrice définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram •Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz

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[Enrouler] v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan •Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale •Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable •Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan •Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_multilin%C3%A9a...

Endomorphisme

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En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou un homomorphisme) d'un objet mathématique sur lui même. Ainsi, par exemple, un endomorphisme d'espace vectoriel Eest une application linéaire f : E → E et un endomorphisme de groupe G est un homomorphisme f : G → G, etc. En général, nous pouvons parler d'endomorphisme de n'importe quellecatégorie.

Étant donné un objet X d'une catégorie C et deux endomorphismes f et g de X (donc de type X → X), la composée de g par f notée  est aussi un endomorphisme de X (elle a aussi le type X → X). Comme l'application identité de X est aussi un endomorphisme de X, nous voyons que l'ensemble de tous les endomorphismes de X forme un monoïde, noté End_C(X) ou simplement End(X) si la catégorie est connue.

Dans de nombreuses situations, il est possible d'additionner les endomorphismes, et avec la composition des applications, les endomorphismes d'un objet donné forment un anneau, appelé l'anneau des endomorphismes de l'objet. Cela est possible, par exemple, dans les catégories des groupes abéliens, des modules, et des espaces vectoriels et plus généralement dans toutes les catégories pré-additives.

Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Endomorphisme

Les mots et les maths B. Hauchecorne Essai (broché). Paru en 07/2003 Livre

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Réduction des endomorphismes Rached Mneimné Etude (broché). Paru en 04/2006

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  La réduite de Jordan et les tableaux de Young constituent le thème principal de l'ouvrage. La maîtrise de cette réduction est acquise par un retour attentif et critique sur les fondements, depuis les valeurs propres jusqu'à la géométrie des classes de similitude. L'apparente complexité du cas nilpotent est rapportée ainsi à la combinatoire élémentaire des tableaux de Young. Le chemin est alors libre vers l'apprentissage des représentations de l'algèbre de Lie des matrices d'ordre deux de trace nulle, véritable génome de la théorie des représentations des algèbres Lie semi-simples. Les liens subtils entre la réduction de Jordan et les sl_2-triplets sont alors mis à contribution pour comprendre la structure des algèbres de Lie semi-simples, leurs sous-algèbres de Cartan et les systèmes de racines qui leur sont associés. Les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres de Lie sont examinées et apparaissent alors comme un développement naturel de la réduction simultanée.

Introduction à la théorie des groupes de Lie classique Rached Mneimné, Frédéric Testard (donnée non spécifiée). Paru en 10/1997 Livre

Introduction à la théorie des groupes de Lie classiqueRached Mneimné, Frédéric Testard

• (donnée non spécifiée). Paru en 10/1997
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Statistique théorique et appliquée , T2 Inférence statistique Pierre Dagnelie Etude (broché) Livre

Statistique théorique et appliquée , T2 Inférence statistiquePierre Dagnelie

• Etude (broché)
• Nouveauté à paraître, indisponible à ce jour. Date de sortie :  février 2011
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  La statistique peut être définie comme étant l´ensemble des méthodes qui ont pour but de recueillir et d´analyser des données, souvent numériques, relatives à des groupes d´individus ou d´objets. Elle joue un rôle essentiel dans de très nombreuses disciplines. Tel est le cas, entre autres, pour les sciences du vivant : biologie, agronomie (au sens le plus large), écologie, etc. Les deux tomes de Statistique théorique et appliquée ont précisément pour objectif de permettre aux scientifiques de disciplines très variées, en particulier les sciences du vivant, d´utiliser au mieux les méthodes statistiques classiques, sans en négliger ni les fondements ni les limites. Le tome 1 constitue un exposé général, relativement élémentaire, de la théorie statistique. Seules les démonstrations les plus simples y sont données, de nombreuses propriétés étant introduites intuitivement. Quant au tome 2, il présente un vaste ensemble de méthodes statistiques, toujours illustrées par des exemples numériques concrets, issus de situations réelles. Les deux volumes se terminent par une série de tables et par divers index : index bibliographique (plus de 900 références bibliographiques pour ce seul tome 2), index des traductions anglaises, index des matières et index des symboles. Ils sont complétés par des exercices, accompagnés de leurs solutions, et par diverses autres informations qui sont disponibles par l´intermédiaire d´un site web (). L´utilisation des deux volumes, tantôt comme manuels, tantôt comme ouvrages de référence est précisée dans un mode d´emploi. Ce mode d´emploi définit notamment différents plans de lecture ou niveaux d´étude. Ce tome 2 commence par diverses notions préliminaires, qui ont trait au choix de l´une ou l´autre méthode statistique, aux conditions d´application de ces méthodes, au contrôle de ces conditions, et aux transformations de variables qui peuvent éventuellement être appliquées (chapitres 1 à 4). Les trois parties suivantes sont alors consacrées respectivement aux méthodes d´inférence statistique relatives aux données qualitatives (chapitres 5 et 6), aux méthodes relatives aux moyennes et à la dispersion, y compris l´analyse de la variance (chapitres 7 à 12), et aux méthodes relatives à la corrélation et la régression, y compris les modèles linéaires et l´analyse de la covariance (chapitres 13 à 17). De nouveaux remaniements ont été réalisés lors de la publication de la deuxième édition en 2006-2007. Il en est de même pour cette troisième édition. Il s´agit essentiellement d´une actualisation du texte et de la documentation, et de l´introduction d´un certain nombre de nouveaux développements.

 

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