Mathématiques pour scientifiques et ingénieurs Elie Belorizky Etude (broché). Paru en 07/2007

Mathématiques pour scientifiques et ingénieursElie Belorizky

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OUTILS MATHEMATIQUES À L'USAGE DES SCIENTIFIQUES ET INGÉNIEURS

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OUTILS MATHEMATIQUES À L'USAGE DES SCIENTIFIQUES ET INGÉNIEURS

Cet ouvrage répond au besoin des physiciens, scientifiques, ingénieurs... qui doivent résoudre des problèmes mathématiques dans l'analyse et l'interprétation de phénomènes physiques et de leurs applications techniques. Une première partie, assez élémentaire, traite les équations différentielles, les fonctions analytiques et l'intégration dans le plan complexe, le calcul opérationnel (transformation de Laplace), l'analyse de Fourier et la résolution de quelques équations aux dérivées partielles. Une deuxième partie, d'un niveau plus élevé, aborde les tenseurs, les polynômes orthogonaux nécessaires à la Mécanique Quantique, les fonctions de Bessel et les relations de Kramers-Krönig relatives à la réponse d'un système à une excitation.

Les techniques développées sont suffisantes pour traiter la majorité des phé­nomènes physiques fondamentaux. La qualité pédagogique permet à un non-mathématicien de s'approprier les outils, sans développement excessif, tout en conservant un minimum de rigueur. Une bibliographie générale et un index facilitent l'usage de cet ouvrage de base.

L'ouvrage sera particulièrement utile aux étudiants de licence (L2. L3), Mastère (Ml, M2) scientifiques et d'Ecoles d'ingénieurs, ainsi qu'aux ingénieurs et aux chercheurs confrontés à des calculs mathématiques.

Elie Belorizky est professeur à l'Université Joseph Fourier de Grenoble où il a été nommé après un séjour post doctoral au département de physique théorique de l'Université d'Oxford. E. Belorizky est théoricien de la matière condensée, spécialiste de la théorie du champ cristallin, de la théorie des groupes, des problèmes de magnétisme et de résonance magnétique dans les liquides. Il est conseiller scientifique auprès du Commissariat à l'Energie Atomique (CEA). Il enseigne dans tous les cycles de l'enseignement supérieur et a contribué à la création de nombreuses filières (licence, maîtrise, magistère). Il est déjà l'auteur de plusieurs ouvrages de Mécanique Quantique, de Physique Statistique et de Mathématiques.

Extrait du livre :
Analyse vectorielle

1.1. Les opérateurs différentiels 
1.1.1. Champ scalaire et champ vectoriel

Soit une région de l'espace où en chaque point M peut être attaché un nombre ou un vecteur dépendant de la position du point. On obtient ainsi, dans un repère donné, une fonction scalaire ou vectorielle des coordonnées de ce point que l'on désigne par champ scalaire ou champ vectoriel.

Par exemple, dans l'atmosphère terrestre en chaque point M on peut mesurer la température T (M) ou la pression P (M) qui sont données par des nombres. Les fonctions T (M) et P (M) sont des champs scalaires. Mais pour caractériser le vent en chaque point, il faut déterminer le vecteur vitesse V (M) et cette fonction est un champ vectoriel. De même, si l'on considère un corps solide non homogène, la masse volumique p en chaque point est une fonction scalaire de ce point et p (M) est un champ scalaire. Si le solide est en mouvement dans l'espace à un instant donné les divers points du solide ont des vitesses et des accélérations différentes et V (M) et 7 (M) sont des champs vectoriels.

En général on choisit un repère orthonormé de l'espace R3, (O,i,j,k), de sorte que la position du point M est entièrement décrite par ses composantes x, y, z : OM = xi + yj + zk.

Un champ scalaire sera décrit par une fonction scalaire ω (x, y, z) et un champ vectoriel par une fonction vectorielle A(x,y,z). Mais notons bien que les valeurs de ω (M) et A(M) sont indépendantes du choix du système de coordonnées rectangulaires. Partant des fonctions w et A on définit des opérateurs différentiels qui jouent un rôle très important :

° le gradient qui est un opérateur vectoriel agissant sur un champ scalaire ;
(...)