Merveilleux Pappus

Merveilleux Pappus

 

Introduction

          Depuis l'Antiquité les hommes pensent que la géomètrie est une science essentielle pour notre compréhension de l'univers, car dans cet univers les éléments géométriques abondent.

         En effet les corps célestes sont sphériques, les orbites sont elliptiques, les rayons lumineux non perturbés sont rectilignes, les galaxies ont souvent la forme de spirales, les déplacements des étoiles sur la voute céleste sont des cercles parfaits, et tout à l'avenant.

         De plus, autre mystère très étonnant de l'univers, la plupart des êtres vivants qui le peuplent ont une configuration presque parfaitement symétrique, en commençant par le plus important d'entre eux : l'homme.

Le premier miracle de la Géométrie

          Aussi est il normal de penser que la progression de notre connaissance est conditionnée par celle que nous pouvons avoir en géomètrie et Platon, qui le pressentit , la mettait en tête de toutes les connaissances. Voilà pourquoi il écrivit au fronton de son Académie " Nul n'entre ici s'il n'est géomètre ". Plus tard la communion d'efforts des premiers chercheurs de ces temps reculés a été synthétisée par Euclide dans ses fameux Eléments. Il y a rappelé toutes les connaissances géomètriques de son temps.

          Mais surtout il a montré que cet ensemble prodigieux de résultats repose sur un tout petit nombre de principes qu'il a appelés des "axiomes". Et finalement , en dehors des considérations d'appartenance, d'ordre et de continuité, il apparaît que ces axiomes se ramènent exclusivement à trois relations: le parallélisme, l'isomètrie et l'orthogonalité. C'est à proprement parler un miracle, le premier miracle de la géométrie.

Le second miracle de la Géomètrie.

          Puis un jour l'homme s'est aperçu que le parallelisme vient d'un cécité particulière de notre nature humaine, semblable à celle qui nous empêche par exemple de déceler les ultra violets dans les couleurs. Cette cécité géométrique nous empêche de voir une droite particulière du plan que nous avons appelée droite de l'infini.

          Dès que celle ci fut découverte, la distinction plane entre droites sécantes et droites parallèles tomba, et tout couple de droites eut désormais un point d'intersection. Ce fut une simplification considérable. Et il en fut de même avec l'orthogonalite. Elle cessa elle aussi d'avoir son statut particulier et les angles droits devinrent des angles comme les autres.

          La géométrie d'Euclide, avec tous ses axiomes, apparut dés lors comme un cas particulier de cette nouvelle géométrie beaucoup plus simple, qui prit le nom de Géométrie projective. Ce fut le second miracle de la géomètrie.

Le troisième miracle de la Géométrie

         Cette géométrie regroupa de nombreux résultats qui avaient jusque là paru distincts. Parmi les théorèmes qui échappèrent à ce regroupement émergent deux thèorèmes fondamentaux qui portent le nom de Pappus et de Desargues lequel est aussi appelé: Théorème des triangles homologiques.

          Or un grand mathématicien, Federigo Enriques , écrivit dans un livre qui fait référence "Leçons de Géomètrie Projective", qu' "en se servant du théorème des triangles homologiques ..on pourrait déduire tous les théorèmes de géomètrie projective plane ". (voir page 46 de son livre ) . Et quelques temps avant un autre grand mathématicien, David Hilbert avait montré que le Théorème de Desargues peut se déduire de celui de Pappus alors que le contraire n'est pas possible.

          Il résulte alors de ces deux observations que le seul théorème de Pappus est le générateur de tous les théorèmes de géomètrie projective plane et par suite de tous les théorèmes de géométrie euclidienne puisque celle ci est contenue dans la géométrie projective, et nous avons vu par exemple qu'il démontre effectivement la belle propriété del'hexagramme mystique de Pascal, à la base de tout le contenu de ce site. C'est le troisième miracle de la géomètrie.

          Voilà la raison qui fait du théorème de Pappus un théorème tout à fait exceptionnel.

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Présentation du Théorème de Pappus.         

            C'est à la Proposition 139 du Livre VII de son oeuvre: La Collection Mathématique, que le mathématicien Pappus, dans les premiers siècles de notre ère, énonce le théorème qui porte désormais son nom. Depuis cet exposé, il y a bien longtemps, la figure traditionnellement attachée à ce théorème est la suivante.

Dans cette figure où  A'B'C' et A"B"C" sont donnés,  on construit les intersections A de B"C' et B'C" B de C"A' et C'A" C de A"B' et A'B"

et l'énoncé du Thèorème de Pappus est alors:

Si les points A',B',C' sont alignés, de même que A",B",C" alors il en est de même de A,B,C

          On voit comme ce thèorème est d'une grande élégance car il minimalise les hypothèses nécessaires, et il ne fait intervenir que des alignements de points. Mais il est dommage que nous lui conservions encore dans sa représentation graphique la disposition qui fut adoptée par Pappus à l'origine.

          En effet cette disposition suggère ce que l'on pourrait appeler une symétrie binaire avec une figure en quelques sorte symétrique autour de ABC qui semble jouer un rôle privilégié.

          Or en fait la particularité du Théorème de Pappus est une symétrie ternaire, où la droite ABC ne joue pas un rôle différent de celui des deux autres droites A'B'C' et A"B"C", et où les neuf droites de la figure n'ont pas la répartition 3+2+2+2 , suggérée par la représentation ci dessus ( les trois droites en gras, et leurs six liaisons) mais la répartition bien plus symétrique 3+3+3 de la figure ci dessous, où les notations sont absolument les mêmes que dans la première figure et où seule la disposition adoptée est différente.

 

        La différence est que dans cette représentation on voit très bien la symétrie ternaire. On peut alors dire:

- des trois alignements de points ABC, A'B'C', A"B"C", deux d'entre eux impliquent le troisième, défini sans ambiguïté par les deux premiers.

mais on peut dire aussi

- des trois convergences de droites abc, a'b'c', a"b"c", deux d'entre elles impliquent la troisième, définie sans ambiguïté par les deux premières .

 

Les deux Thèrèmes de Pappus

        On obtient alors deux théorèmes que les Géomètres appellent duaux l'un de l'autre . Donnons leur énoncés en convenant par exemple d'appeler droite PQ la droite qui passerait par les deux points P et Q, et d'appeler point pq le point qui serait l'intersection des deux droites p et q.

Théorème 1: Soient B,B',B",C,C',C" six points d'un plan. Si les droites B'C', BC" et B"C sont concourantes, de même que les droites B"C", B'C et BC' alors les droites BC, B"C' et B'C" sont aussi concourantes.

Théorème 2: Soient b,b',b",c,c',c" six droites d'un plan. Si les points b'c', bc" et b"c sont alignés, de même que les points b"c",b'c et bc' alors les points bc,b"c' et b'c" sont aussi alignés.

ce dernier théorème est justement le Théorème de Pappus ou non seulement A,B,C sont présentés comme des intersections de droites mais aussi A',B',C' et A",B",C" ce qui rétablit les rôles symétriques de ces trois alignements.

passons ensuite à sa démonstration 

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Desargues par Pappus

       Maintenant que nous connaissons le Théorème de Pappus, utilisons le par exemple pour démontrer le Théorème de Desargues, puisque d'après D Hilbert c'est possible, alors que le contraire ne l'est pas. La figure est dessinée ci dessous et on y a coloré en jaune les deux triangles particuliers qui donnent aussi l'appellation de Triangles homologiques à ce théorème.

 

La démonstration de Desargues , donnée autrefois par Hilbert, se fait alors en appliquant trois fois Pappus:

                

 

 

Interprétation spatiale de Desargues

           Il est bien regrettable que le théorème fondamental ne soit pas celui de Desargues car son interprétation spatiale est très simple. En effet il est tout simplement la projection plane de la figure constituée par cinq plans quelconques de l'espace (au sens projectif bien entendu, c'est à dire sans possibilité de parallélismes)

          Si on appelle O le point d'intersection de trois quelconques d'entre eux, alors les deux autres se coupent suivant une droite d, et ces deux plans coupent les trois premiers suivant deux triangles ABC et A'B'C' qui sont dits homologiques, et dont les cotés correspondants se coupent évidemment sur la droite d, c'est à dire sont alignés, ce qui constitue justement l'information apportée par le théorème de Desargues.

          On réalise l'intérèt qu'il y aurait à avoir une interprétation semblable pour le Théorème de Pappus dont la démonstration serait ainsi libérée de tout théorème plan "antérieur", comme le Théorème de Ménélaüs qui est généralement utilisé.

          A défaut d'avoir trouvé cette démonstration dans les ouvrages mathématiques que j'ai consultés, en voici une de mon cru, que je remplacerai volontiers par toute autre meilleure qui me sera proposée.

 

Interprétation spatiale de Pappus

          Soient dans l'espace trois droites d,d',d" dont aucune n'est coplanaire avec une autre.

          Soit M1 un point de d. La droite d1d'intersection des plans P(M1,d') et P(M1,d"), existe toujours par hypothèse et rencontre par construction les trois droites d,d',d". Soient M1,M1',M1" ces points de rencontre.

          Soit M2 un autre point de d, et d2 la droite pareillement construite qui rencontre les trois droites d,d',d". Soient M2,M2' ,M2" ces points de rencontre. Quels que soient M1 et M2 les droites d1 et d2 ne sont jamais sécantes sinon les points M1,M1',M1",M2,M2',M2" seraient coplanaires c'est à dire aussi les droites d,d',d" ce qui est contraire à l'hypothèse.

          Soit M3 un autre point de d, et d3 la droite pareillement construite qui rencontre les trois droites d,d',d". Soient M3,M3' ,M3" ces points de rencontre. 
- Les plans M3,M2,M1,M3',M3" et M3',M2',M1',M1,M1" se coupent suivant la droite M1M3' 
- Les plans M3',M2',M1',M1,M1" et M3",M2",M1",M2,M2' se coupent suivant la droite M1"M2' 
- Les plans M3",M2",M1",M2,M2' et M3,M2,M1,M3',M3" se coupent suivant la droite M2M3" 
Ces trois droites se coupent donc en le point d'intersection de ces trois plans. Soit I ce point.         

On peut ainsi de proche en proche construire toute une infinité de droites dont jamais deux ne sont sécantes et qui s'appuient chacune sur les trois droites d,d',d". Nous appellerons R1 ce réseau de droites.               Mais la figure ainsi formée fait apparaître une symétrie des trois droites non coplanaires d,d',d" sur lesquelles s'appuient d1,d2,d3, et des trois droites non coplanaires d1,d2,d3 sur lesquelles s'appuient d,d',d". Il en résulte l'interchangeabilité de d,d',d" et de d1,d2,d3 dans le développement précédent. Par suite on peut aussi ,de proche en proche, construire toute une infinité de droites dont jamais deux ne sont sécantes et qui s'appuient chacune sur les trois droites d1,d2,d3. Nous appellerons R2 ce second réseau de droites.              Soit (S) l'ensemble des points qui appartiennent aux droites des réseaux R1 et R2. Les neuf points M que nous venons de voir appartiennent donc à (S). Par chacun d'eux, comme on l'a vu, passe une et une seule droite du réseau R1, et une et une seule droite du réseau R2.        Par raison de symétrie il en est aussi de même pour tous les points de (S) . Cet ensemble de points porte le nom d'Hyperboloïde.

               Considérons alors la projection plane de ces points M à partir d'un centre de projection O pour le moment arbitraire. Dans cette projection plane les droites concourantes M1M3',M1"M2',M2M3" continuent à concourir au point que nous avons appelé I. Ensuite choisissons pour O un point situé sur une droite OJ du réseau R1 . Cette droite rencontre donc d,d',d", c'est à dire que vues de O ces trois droites, à savoir M1M2, M2'M3',M1"M3" sont vues concourantes en J.

          Mais alors l'appartenance de O à une droite du réseau R1 implique que O est situé sur (S) et donc que par O il passe aussi une droite du réseau R2, c'est à dire une droite OK qui rencontre d1,d2,d3. Par suite il en résulte qu'on voit aussi , à partir de O, ces trois droites ,à savoir M1M1",M2M2',M3'M3" concourir en K.

          Comme nous l'avons vu en commençant, ces deux convergences de droites qui en impliquent une troisième sont une des formes du Théorème de Pappus, ce que nous voulions justement démontrer. Quant à la figure d'accompagnement, avec ses neuf droites, on choisira à son gré, selon la remarque faite au début de cette page, l'une des deux suivantes:

   

 

Conclusion 
          Cette démonstration est certes exacte, mais elle n'est pourtant pas satisfaisante car elle pêche par l'argumentation insuffisante: " Par raison de symétrie il en est aussi de même pour tous les points de (S) " . 
           Aussi toute proposition d'amélioration sera-t-elle la bienvenue.

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Source : http://hexamys.free.fr/pappus.htm