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08/12/2010

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiques

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiquesGilles Dowek

Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires.
Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

Mathématicien, logicien et informaticien, Gilles Dowek est chercheur et professeur à l'Ecole polytechnique. Auteur de plusieurs ouvrages de vulgarisation dont, au Pommier, deux «Petites Pommes du savoir» et un volume de la collection «le collège de la cité», il a obtenu en 2000 le Prix d'Alembert des lycéens de la Société Mathématique de France.
De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques

Le récit de l'histoire des mathématiques commence souvent en Grèce au Ve siècle avant notre ère, quand Pythagore, d'un côté, Thaïes et Anaximandre, de l'autre, ont fondé les deux principales branches des mathématiques antiques : l'arithmétique et la géométrie. La fondation de l'arithmétique et de la géométrie constitue, certes, une révolution majeure dans l'histoire des mathématiques. Cependant, le récit ainsi commencé occulte une période importante que l'on peut appeler la «préhistoire» des mathématiques. Les hommes n'ont, en effet, pas attendu le Ve siècle avant notre ère pour tenter de résoudre les problèmes mathématiques, surtout les problèmes mathématiques concrets, qui se posaient à eux.

Les comptables et les arpenteurs

L'une des plus anciennes traces d'activité «mathématique» consiste en une tablette trouvée en Mésopotamie qui date de 2500 avant notre ère. Elle présente le calcul du nombre de per sonnes auxquelles on peut donner 7 mesures de grain, en puisant dans un grenier qui en contient 1152000. Sans surprise, le résultat, 164571 personnes, s'obtient en divisant 1152000 par 7. Les comptables mésopotamiens savaient donc faire des divi sions, bien avant la «naissance» de l'arithmétique. Il est même vraisemblable, quoiqu'il soit difficile d'avoir des certitudes en ce domaine, que l'écriture ait été inventée précisément pour tenir des livres de comptes et que les chiffres soient, de ce fait, anté rieurs aux lettres. Même si certains ont du mal à l'admettre, nous devons probablement l'ensemble de la culture écrite à la bien peu romantique profession de comptable.

Extrait du livre :
Deux mille ans de calcul

Après l'adoption de la méthode axiomatique, le raisonnement a souvent été présenté comme l'unique outil à utiliser pour résoudre un problème mathématique. Dans le discours qu'ils ont tenu sur leur science, les mathématiciens n'ont quasiment plus accordé de place au calcul. Le calcul n'a pourtant pas disparu de la pratique mathématique : à toutes les époques, les mathématiciens ont proposé de nouveaux algorithmes pour résoudre systématiquement certains types de problèmes. L'histoire des mathématiques a donc sa part lumineuse, celle des conjectures, des théorèmes et des démonstrations, et sa part d'ombre, celle des algorithmes.

Ce chapitre est consacré à trois moments de cette histoire. Ces trois moments, qui se situent à des époques différentes, nous amèneront à discuter différentes questions.

Le premier nous amènera à nous interroger sur la manière dont peut se résoudre l'apparente contradiction entre le discours sur les mathématiques, qui accorde peu de place au calcul, et la pratique mathématique, qui lui en donne une si grande, ainsi que sur la façon dont la transition entre la préhistoire des mathématiques et les mathématiques grecques a pu s'opérer. Le deuxième nous amènera à nous interroger sur la part relative des héritages mésopotamiens et grecs dans les mathématiques médiévales. Le dernier, enfin, nous fera réfléchir sur la raison pour laquelle, alors que la géométrie de l'Antiquité était centrée sur un petit nombre de figures géométriques - le triangle, le cercle, la parabole... -, de nombreuses nouvelles figures géométriques - la chaînette, la roulette... - sont apparues au XVIIe siècle.

Dans la jungle des nombres premiers

Dans la jungle des nombres premiersJ. Derbyshire

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En 1859, le jeune mathématicien Bernhard Riemann utilise une hypothèse lui permettant de déterminer la quantité des nombres premiers inférieurs à une certaine valeur. Cette «hypothèse de Riemann» deviendra l'une des plus grandes énigmes mathématiques de tous les temps. Des bataillons de mathématiciens s'y sont attelés depuis, d'autant que l'Institut Clay, aux Etats-Unis, offre un million de dollars à qui démontrera sa validité (ou à qui la réfutera). Cet ouvrage passionnant, à la fois distrayant et sérieux, décrit le contexte historique (dans les chapitres pairs) et fournit les outils mathématiques (les chapitres impairs) pour comprendre la nature de l'hypothèse de Riemann et les enjeux de sa résolution : c'est ainsi que les systèmes de cryptographie moderne sont fondés sur l'hypothèse de Riemann, ainsi que certaines propriétés physiques du noyau atomique ! Une véritable plongée dans l'enfer des nombres premiers pour tous les passionnés des mathématiques.

Histoire des nombres

Histoire des nombresCollectif

Essai (broché). Paru en 08/2007

Qu’est-ce qu’un nombre ?Une quantité ?Dans quelles conditions et pourquoi sont-ils apparus ?Nombres entiers, premiers, réels, imaginaires, ils structurent le quotidien des hommes et répondent au désir profondément humain de rationaliser le réel. Qu’il s’agisse du négoce des marchands vénitiens ou des sondages politiques dans les campagnes présidentielles, le nombre a été et reste au centre de l’activité humaine.Du rôle des scribes mésopotamiens dans la naissance du concept de nombre à la révolution arithmétique du Moyen Âge, du théorème de Fermat à l’avènement de la technologique numérique, l’Histoire des nombres est avant tout l’histoire des hommes.

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La beauté des mathématiques

La beauté des mathématiquesDavid Ruelle

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Depuis l’Antiquité, et aujourd’hui encore, les mathématiques sont, à bien des égards, essentielles pour qui veut comprendre la nature des choses.

Est-il possible de pénétrer le monde mathématique sans études longues et arides ? Oui. Car ce qui importe, ce n’est pas de maîtriser cette science en profondeur, mais de comprendre comment l’esprit humain, et plus particulièrement le cerveau du mathématicien, se mesure à la réalité mathématique.

Un livre à la fois impertinent et distrayant, qui offre un voyage au cœur du monde des mathématiques et donne des aperçus très personnels sur quelques-uns des penseurs qui l’ont exploré.

David Ruelle, auteur de Hasard et Chaos, est membre de l’Académie des sciences et professeur de physique théorique à l’Institut des hautes études scientifiques de Bures-sur-Yvette. Ses travaux en physique mathématique, sur la théorie du chaos et sur les systèmes dynamiques lui ont valu une notoriété internationale.

Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé

Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existéAmir D. Aczel

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Le 10 décembre 1934 à midi, dans un café situé au 63 boulevard Saint- Germain à Paris, là où aujourd’hui est installé un fast-food, André Weil, l’un des plus talentueux mathématiciens de cette époque a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui. A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg, Nancy, Rennes et Clermont- Ferrand, à eux six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques et un immense élan à l’école française.
C’est à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève à l’Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas Bourbaki en s’inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée, en Algérie, en Italie avant de devenir gouverneur militaire de Lyon.
Le premier groupe de cette société secrète est composé outre d’André Weil, d’Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera. Dans les années quarante le groupe s’enrichira de l’arrivée de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie Alexandre Grothendieck qui dans les années 90 partit vivre en ermite dans les forêts pyrénéennes.
Et aujourd’hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n’a pas seulement fait progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss à formaliser le structuralisme et a même inspiré les membres de l’Oulipo dans leur recherche. Voici son étonnante et passionnante histoire.

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'oméga

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'omégaGrégory Chaitin

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Que diriez-vous d'une balade mathématique au fin fond d'une forêt de chiffres, mêlant histoire et philosophie, physique et biologie, et qui mènerait au plus fascinant de tous, le nombre Oméga, «sorte de cauchemar pour la raison pure» ? Concentré des propriétés les plus étranges que peuvent avoir certains nombres réels, Ω est définissable, mais non calculable, incompressible et aléatoire. D'une certaine manière, il réunit les propriétés les plus extrêmes que peut posséder un réel définissable !

C'est dans les années 1970 que les mathématiques se sont enrichies de ce nombre étrange. Gregory Chaitin, son découvreur, entreprend ici de nous familiariser avec sa surprenante complexité, tout en la resituant dans l'histoire des mathématiques. Éclairant d'un jour nouveau les fameux théorèmes de Godel sur l'incomplétude des mathématiques, Ω et les théorèmes associés à la complexité algorithmique font désormais partie du bagage de tout mathématicien, logicien, informaticien ou philosophe des sciences.

Trouver un nombre non calculable qui ait une définition naturelle n'est pas un exercice facile, l'expliquer en le vulgarisant l'est encore moins. C'est là le grand mérite de cet ouvrage, unique en son genre, dont l'ambition est de rendre accessible les mathématiques pures.

GREGORY CHAITIN est un mathématicien et informaticien américain d'origine argentine. Figure internationale dans le monde des sciences, docteur honoris causa en 1995 de l'université du Maine et professeur honoraire depuis 2002 de l'université de Buenos Aires, il travaille à New York pour l'IBM Thomas J. Watson Research Center.

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Mathématiques et physique

Mathématiques et physiqueBernard Diu

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« Le livre de la nature est écrit dans la langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est humainement impossible d’en comprendre le moindre mot. » Ce célèbre aphorisme de Galilée a scellé l’alliance des mathématiques et de la physique. Et pourtant, trois siècles plus tard, Einstein se montrait plus sceptique.

Dans ce livre, Bernard Diu montre que, en effet, si les mathématiques sont un instrument indispensable de la physique, elles n’en constituent pas le fondement. En multipliant les exemples, il marque la différence entre la mathématique du mathématicien et celle du physicien.

Un livre de nature à remettre en question l’enseignement de la physique dans nos écoles et des sciences en général, soumis à l’hégémonie des mathématiques.

Bernard Diu est professeur émérite à l’université Denis-Diderot-Paris-VII et chercheur au laboratoire de physique théorique des hautes énergies du Campus Jussieu. Il a publié Les atomes existent-ils vraiment ?, Traité de physique à l’usage des profanes, Les théories meurent aussi, et, avec Bénédicte Leclercq, La Physique mot à mot.

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