06/12/2010
Géométrie et Théorie des Modèles
Vendredi 17 décembre, à l'ENS, Salle W. Programme : 11h : Emmanuel Breuillard (Orsay), Les théorèmes de Hrushovski et leurs versions quantitatives. 14h : Anand Pillay (Leeds), Around Manin-Mumford and Mordell-Lang 16h : Michel Coste (Rennes I), Diamètre géodésique d'ensembles définis par un petit nombre d'équations et inégalités quadratiques Programme des séances passées : 2006-07, 2007-08, 2008-09, 2009-10, 2010-11. Géométrie et Théorie des Modèles
Organisateurs : Zoé Chatzidakis et François Loeser.
Pour recevoir le programme par e-mail, écrivez à : Francois.Loeser_at_ens.fr.
Pour les personnes ne connaissant pas du tout de théorie des modèles, des notes introduisant les notions de base (formules, ensembles définissables, théorème de compacité, etc.) sont disponibles ici. Ces personnes peuvent aussi consulter les premiers chapitres du livre Model Theory and Algebraic Geometry, E. Bouscaren ed., Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1696, Berlin 1998.
Les notes de quelques-uns des exposés sont disponibles.
PROCHAINE SEANCE
La notion de sous-groups approximatif, introduite récemment par T. Tao, permet de comprendre les parties finies A d'un groupe dont la taille de l'ensemble des produits AA est beaucoup plus petite que |A|^2. Cette notion et les méthodes combinatoires utilisées pour l'étudier ont été couronnées de succès par le rôle qu'elles jouent dans la théorie spectrale des graphes (graphes expanseurs) d'une part et pour les applications arithmétiques qui en découlent (crible de Bourgain-Gamburd-Sarnak). Récemment, en connection avec la théorie des modèles et la stabilité, Hrushovski s'est intéressé au problème de la classification des groupes approximatifs et a réussi à obtenir plusieurs résultats remarquables dans cette direction. Entre autres, une classification des sous-groupes approximatifs des groupes linéaires, ainsi qu'une version améliorée du fameux théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Dans cet exposé je présenterai ces travaux ainsi qu'une autre approche (travail en commun avec Ben Green et Terence Tao) qui permet de retrouver certains de ces résultats et d'en donner des bornes précises, lesquelles sont souvent cruciales pour les applications.
I will discuss relationships between Manin-Mumford and Mordell-Lang over function fields in all characteristics. Of course these are “known theorems” but the subtext is the search for a direct or transparent proof of function field Mordell-Lang in positive characteristic (or at least a proof avoiding the appeal to Zariski geometries).
Les bornes sur des invariants topologiques d'ensembles algébriques réels ou semi-algébriques (en fonction du degré des polynômes définissant ces ensembles, de leur nombre et du nombre de variables) sont habituellement exponentielles en le nombre de variables (Petrovskii, Oleinik, Thom, Milnor,...). C'est aussi le cas pour la borne sur l'invariant métrique qu'est le diamètre géodésique, obtenue par D'Acunto et Kurdyka. Le cas quadratique révèle un comportement différent : A. Barvinok a donné une borne sur la somme des nombres de Betti qui est polynomiale en le nombre de variables. L'exposé vise à établir une borne également polynomiale en le nombre de variables pour le diamètre géodésique dans le cas quadratique. On passera en revue les méthodes de Barvinok (utilisation de la linéarité du gradient) et de D'Acunto et Kurdyka (methode des vallées et crêtes). Travail commun avec Seydou Moussa (Niamey).
SEANCE SUIVANTE
Vendredi 11 février 2011, à l'ENS, Salle W. Orateurs prévus : Charles Favre (Polytechnique), Ofer Gabber (IHES), Dugald Macpherson (Leeds).
SEANCES ULTERIEURES
Autres dates déjà prévues : 18 mars et 8 avril.
Adresses des lieux de rencontre
Amphithéâtre Rataud ou Galois. Il est situé dans le nouveau bâtiment, au niveau -1 : traverser ou contourner le bâtiment principal de l'ENS ; l'entrée est à droite de l'entrée principale du nouveau bâtiment ; pour ouvrir la porte vitrée il faut appuyer sur le bouton ; descendre l'escalier, la salle est devant vous sur la gauche.
Salle Henri Cartan. Contourner le bâtiment principal sur la droite, pour entrer dans l'ancien bâtiment de la bibliothèque de mathématiques (voir photo), et descendre au niveau -2, dans le couloir Rouge.
Salle R. Contourner le bâtiment principal sur la droite, pour entrer dans l'ancien bâtiment de la bibliothèque de mathématiques (voir photo), et descendre au niveau -2, dans le couloirRouge.
Salle W. Entrer dans le bâtiment principal, suivre le couloir de droite jusqu'à l'escalier B dans le coin sud-est ; monter au 3ème (= dernier) étage par l'escalier principal, puis suivre les flèches Toits du DMA : prendre le couloir, au bout du couloir tourner à droite et monter encore un étage. La salle W se trouve sur votre gauche.
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