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21/11/2010

Produit scalaire

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire

Produit scalaire

En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ouscalaire). Elle permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et aux espaces vectoriels complexes.

Comme il existe deux grandes manières de définir les vecteurs, soit par une approche purement algébrique (cf espace vectoriel), soit par une approche géométrique à l'aide des bipoints(ou couple ordonné de points, cf Vecteur), il existe de même deux manières de présenter le produit scalaire : une manière algébrique, (objet de l'article Espace préhilbertien) et une manière géométrique, à l'aide de bipoints.

L'objectif de cet article est de présenter le produit scalaire de manière géométrique dans un espace euclidien traditionnel et de montrer comment cette notion peut s'étendre à tout espace vectoriel.

Aperçu des applications du produit scalaire [modifier]

Le produit scalaire possède de multiples applications. En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan. Ce domaine est le sujet de cet article. Dans le cas de la dimension finie quelconque, il dispose de nombreuses applications algébriques : il permet de classifier les quadriques, offre des outils pour la réduction d'endomorphismes ou encore est à la base de multiples techniques statistiques comme la méthode des moindres carrés ou l'analyse en composantes principales. En géométrie, il confère à l'espace vectoriel une structure d'espace métrique disposant de nombreuses propriétés comme la complétude. Ces applications sont traitées dans les articles Espace euclidien et Espace hermitien. Le produit scalaire est aussi utilisé dans des espaces de dimension infinie, il permet alors de résoudre des équations aux dérivées partielles. La théorie devient plus subtile et de nombreux résultats, vrais en dimension finie, prennent une autre forme. Cet aspect du produit scalaire est traité dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert.

Enfin, l'article géométrie euclidienne propose une synthèse de l'histoire, des implications et applications du produit scalaire en dimension finie.

Fragments d'histoire [modifier]

Élément important de calcul en géométrie euclidienne, le produit scalaire apparaît cependant assez tard dans l'histoire des mathématiques. On en trouve trace chez Hamilton en 1843 lorsqu'il crée le corps des quaternions. Peano le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donnent le nom de produit intérieur ou produit scalaire. C'est sous cette forme qu'il apparaît par la suite. Sa qualité de forme bilinéaire symétrique sera ensuite exploitée en algèbre linéaire et, de propriété, deviendra définition.

La notation du produit scalaire à l'aide d'un point ou d'une croix provient de Josiah Willard Gibbs, dans les années 1880.

Pourtant, selon le site Earliest known uses of some of the mathematical words, l'expression produit scalaire apparait pour la première fois dans une publication scientifique dans un livre de William Kingdon Clifford daté de 1878. Cette paternité est néanmoins remise en cause par M. J Crowe pour qui Clifford est une transition entre l'algèbre des quaternions décrite par Hamilton et la formalisation des espaces vectoriels.

Définitions et premières propriétés [modifier]

Dans cette section, on considèrera un espace traditionnel tel qu'il est défini par Euclide : plan ou espace formé de points dans lequel les notions de distance et d'angle sont connues. On sait aussi calculer le cosinus de tout angle géométrique. Sont également utilisables le théorème de Pythagore, celui d'Al-Kashi et le théorème de Thalès. La construction géométrique des vecteurs dans un tel espace est détaillée dans l'article Vecteur.

Soient deux vecteurs représentés par des bipoints de mêmes origines (O, A) et (O, B). De tels représentants existent quel que soit le choix des vecteurs. Dans le reste de l'article, la longueur du bipoint (O, A) est notée OA ou parfois |OA|, c'est donc un nombre réel positif.

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et représentés par des bipoints OA et OB est le nombre défini par OA⋅OB⋅cos(θ)

Définition :

Etant donnés des points O, A et B, on considère les vecteurs représentés par les bipoints OA et OB.

Lorsque ces vecteurs sont non nuls le produit scalaire est le nombre réel OA·OB·cos(θ) où θ représente l'angle orienté AOB.

Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul.

Dans tous les cas, on note ce produit scalaire : $overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OB}$

Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition prend la forme suivante :

$overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OB} = OA times OB times cos(widehat{AOB})$

Ici cos désigne la fonction mathématique cosinus et $widehat{AOB}$ représente l'angle géométrique de sommet O dessiné par les points A, O et B.

Dans le cas où les deux vecteurs sont égaux, la notation suivante est utilisée :

$overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OA} = overrightarrow{OA}^2 = OA^2$

La valeur du produit scalaire correspond alors à l'aire d'un carré de côté OA.

Définition :

La norme euclidienne d'un vecteur représenté par un bipoint AB est la distance qui sépare A de B. En général, elle est notée $scriptstyle left| overrightarrow {AB} right|$ .

Elle est égale à la racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même.

$left| overrightarrow {AB} right| = sqrt[]{overrightarrow {AB}cdotoverrightarrow {AB}}$

Une inégalité évidente est vérifiée par le produit scalaire ainsi défini :

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient O, A et B trois points du plan, la valeur absolue du produit scalaire des deux vecteurs d'extrémités O, A et O, B est toujours inférieure ou égale au produit des normes des deux vecteurs. Cette majoration s'écrit :

$left|overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OB} right| leqslant left| overrightarrow{OA} right| times left| overrightarrow{OB} right|$

L'égalité a lieu si et seulement si les trois points sont alignés. Cette majoration provient du fait que la fonction cosinus prend ses valeurs dans l'intervalle d'extrémité 1 et -1. Pour que l'égalité ait lieu, il faut et il suffit que le cosinus ait pour valeur soit 1 soit -1, c'est-à-dire que l'angle soit nul ou plat. Ce qui signifie bien que les trois points sont alignés. Une fois encore, cette inégalité est l'objet de l'article Inégalité de Cauchy-Schwarz, l'article suppose encore une formalisation algébrique différente de celle choisie ici.

Propriétés géométriques [modifier]

Projeté [modifier]

Travail d'une force résistante

La définition précédente suppose connue la définition de la fonction cosinus. Il est possible d'éviter de faire appel à cette fonction.

Soit A, B et C trois points distincts, la trigonométrie du triangle rectangle permet de calculer le produit scalaire grâce à une projection orthogonale. En effet, si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), le produit scalaire est alors en valeur absolue égal au produit des distances AH et AB. Si Ase trouve entre H et B, le produit scalaire est négatif et positif sinon. On remarque que si H est confondu avec A, alors le produit scalaire est nul.

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = overline{AB} times overline{AH} = AB times AH$

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = overline{AB} times overline{AH} = -AB times AH$

Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : Le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. Dans la seconde illustration, ce travail est égal à - AB × AH.

Théorème d'Al-Kashi [modifier]

Article détaillé : Théorème d'Al-Kashi.

Le théorème d'Al-Kashi est une généralisation de celui de Pythagore. Il se démontre de manière analogue, par une méthode de découpage des aires.

Il existe une manière plus générale d'exprimer le théorème de Pythagore. Elle traite le cas d'un triangle quelconque. Avec les notations de la figure de droite, ce résultat, nommé théorème d'Al-Kashi s'exprime de la manière suivante :

$c^2 = a^2+b^2-2abcosgamma,$ ou encore $quad abcosgamma = dfrac 12 left( a^2 + b^2 - c^2right)$

La démonstration se trouve dans l'article détaillé. Ce résultat s'exprime en termes de produit scalaire :

Théorème d'Al-Kashi

Soient A, B et C trois points quelconques, alors la formule suivante est toujours vérifiée :

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = dfrac12 left(overrightarrow{AB}^2 + overrightarrow{AC}^2 - overrightarrow{BC}^2 right)$

Le caractère plus général de cette formulation permet d'expliciter et de démontrer simplement les propriétés algébriques du produit scalaire. Le théorème de la médiane est un cas particulier explicité dans l'article à ce sujet.

Produit scalaire comme une aire [modifier]

Définition du produit scalaire par les aires.

L'expression par le produit scalaire du théorème d'Al-Kashi suggère une formulation du produit scalaire en termes d'aire. Le produit scalaire, en utilisant les notations du paragraphe sur le projeté, correspond à l'aire du rectangle de base AH et de hauteur AB.

Considérons le produit scalaire dans un plan orienté, de x vers y dans la figure de droite. Le produit scalaire des vecteurs x et y est égal à l'aire orientée du parallélogramme construit grâce aux vecteurs y et x_r. Le vecteur x_r est l'image du vecteur x par une rotation d'angle droit direct. Cette approche est celle de Peano. Pour ce faire, il utilise un outil appelé déterminant, et utilise la formulation suivante du produit scalaire, par construction géométrique, équivalente à celle de l'article :

$x cdot y = det(y cdot x_r);$

Sur le dessin, les parallélogrammes ont été déformés en rectangle de même aire par la propriété de cisaillement. L'aire verte correspond à un produit scalaire positif et l'aire rose à un produit scalaire négatif.

Cette forme géométrique possède un avantage certain, elle permet d'établir les propriétés algébriques du produit scalaire. Ces propriétés sont utiles, à la fois pour établir une expression analytique utile à la résolution de nombreux problèmes et pour établir une nouvelle formulation à la fois plus générale et plus opérationnelle.

Orthogonalité, colinéarité et angle [modifier]

De telles définitions du produit scalaire donnent des outils intéressants pour vérifier une orthogonalité, une colinéarité ou déterminer un angle géométrique.

Orthogonalité : les vecteurs $overrightarrow{OA}$ et $overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux si l'un ou l'autre des vecteurs est nul ou si l'angle géométrique AOB est droit. En termes de produit scalaire, cela se traduit par une seule condition $overrightarrow{OA}$ et $overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux si et seulement si $overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}=0$

Colinéarité : les vecteurs $overrightarrow{OA}$ et $overrightarrow{OB}$ sont colinéaires si et seulement si les points O, A et B sont sur une même droite. En termes de produit scalaire, cela se traduit par $overrightarrow{OA}$ et $overrightarrow{OB}$ sont colinéaires si et seulement si $|overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}|=OAtimes OB$

Angle géométrique : Si $overrightarrow{OA}$ et $overrightarrow{OB}$ sont deux vecteurs non nuls, l'angle géométrique AOB est déterminé par l'égalité $cos (widehat{AOB}) = dfrac{overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}}{OAtimes OB}$

Propriétés algébriques [modifier]

Pour une raison de simplicité, d'autres notations sont utilisées. Les vecteurs ne sont plus notés comme des bipoints, comme par exemple $scriptstyleoverrightarrow{AB}$ mais simplement avec une lettre : $scriptstylevec{v}$ . Le produit scalaire est alors toujours noté par un point : $scriptstylevec u cdot vec v$ . Il arrive aussi que les vecteurs soient notés sans flèches, pour éviter la confusion entre le produit d'un scalaire par un vecteur et le produit scalaire entre deux vecteurs, le produit scalaire est alors noté (u, v) ou encore $leftlangle u | v rightrangle$ . Une convention, pas toujours suivie consiste à choisir des lettres grecques pour les scalaires, permettant ainsi d'éviter des confusions. Dans la suite de l'article, la convention suivie est celle du vecteur surmonté d'une flèche et du produit scalaire noté par un point.

Le terme de produit scalaire suggère l'existence d'une opération qui, à deux vecteurs, associe un scalaire. Dans un espace vectoriel, les scalaires sont les coefficients par lesquels on a le droit de multiplier les vecteurs. Dans une approche élémentaire, ces scalaires sont des réels. Le fait d'appeler cette opération un produit suggère l'existence de propriétés que l'on attend généralement d'un produit (commutativité, distributivité par rapport à l'addition...).

Symétrie [modifier]

Symétrie de l'application bilinéaire

La symétrie est une propriété qui s'applique aux fonctions de deux variables prises dans un même ensemble. Soit un ensemble E et une fonction f définie dans E×E. Elle est dite symétrique si et seulement si :

$forall (x,y) in E^2 quad f(x,y) = f(y,x)$

Le cadre de cette définition est celui du produit scalaire, qui à deux vecteurs associe un nombre.

Comme la longueur du segment [B, C] est celle du segment [C, B], le théorème d'Al-Kashi établit la symétrie du produit scalaire :

Symétrie du produit scalaire

Le produit scalaire défini sur un espace vectoriel E est symétrique, c'est-à-dire que la proposition suivante est toujours vérifiée :

$forall (vec x, vec y) in E^2 quad vec x cdot vec y = vec y cdot vec x$

Bilinéarité [modifier]

Compatibilité de l'addition

Le produit scalaire dans un espace vectoriel E est compatible à droite avec l'addition. Cette propriété signifie que le produit scalaire d'un vecteur par une somme de deux vecteurs est égal à la somme des deux produits scalaires :

$forall (vec x, vec y, vec y,') in E^3 quad vec x cdot (vec y + vec y,') = vec x cdot vec y + vec x cdot vec y,'$

La figure de gauche illustre cette compatibilité. Elle est la conséquence du fait que la translation laisse invariante l'aire d'une surface. Une applicationde cette nature, laissant invariant les angles, les longueurs et par voie de conséquence les surfaces est appelée isométrie. Le rectangle vert a pour surface le produit scalaire de $scriptstyle vec{x}$ avec $scriptstyle vec{y}$ , le rectangle bleu a pour surface le produit scalaire de $scriptstyle vec{x}$ avec $scriptstyle vec{y,'}$ . La somme des deux surfaces est bien égale à la surface du rectangle orange qui est le produit scalaire de $scriptstyle vec{x}$ avec $scriptstyle vec{y} + vec{y,'}$ . En effet, la translation laisse invariante la surface. L'égalité recherchée est bien vérifiée.

La symétrie du produit scalaire ainsi que la compatibilité à droite démontre la compatibilité à gauche de l'addition :

$forall (vec x, vec x,', vec y) in E^3 quad (vec x + vec x,') cdot vec y = vec x cdot vec y + vec x,' cdot vec y$

Compatibilité de la multiplication

Il est de même possible de parler de compatibilité à droite pour le produit par un scalaire. Cette propriété prend la forme suivante :

$forall (vec x, vec y,) in E^2 ; forall lambda in mathbb R quad vec x cdot (lambda vec y,) = lambda (vec x cdot vec y,)$

Le point désigne ici à la fois la multiplication par un scalaire et le produit scalaire. L'usage des flèches ainsi que des lettres grecques pour désigner des nombres permet d'éviter l'ambigüité.

Cette compatibilité est une conséquence du théorème de Thalès. La figure de droite illustre cette propriété. Le rectangle violet possède une hauteur égale à celle du triangle vert, et sa base est égale à OD. Les deux triangles OAB et OCD sont semblables il est donc possible d' appliquer le théorème de Thalès, il démontre que comme OC = λ⋅OA, alors OD = λ⋅OB. Sa surface est donc bien multipliée par λ.

Comme précédemment, la symétrie possède pour conséquence la compatibilité à gauche :

$forall (vec x, vec y,) in E^2 ; forall lambda in mathbb R quad (lambda vec x,) cdot vec y = lambda (vec x cdot vec y,)$

Ainsi, l'application, pour un $scriptstyle vec{x}$ qui au vecteur $scriptstyle vec{y}$ associe le nombre $scriptstyle vec{x} cdot vec{y}$ vérifie la propriété suivante :

$forall (vec x, vec y, vec y,') in E^3 ; forall (lambda, lambda') in mathbb R^2 quad vec x cdot (lambda vec y + lambda' vec y,') = lambda(vec x cdot vec y,) + lambda'(vec x cdot vec y,')$

On dit alors que l'application produit scalaire est linéaire à droite, elle est de même linéaire à gauche. Une telle application est dite bilinéaire. L'application a pour valeurs des nombres, on parle alors de forme.

Bilinéarité : le produit scalaire est une forme bilinéaire.

Caractère défini positif [modifier]

Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal à l'aire d'un carré de côté la longueur d'un de ses représentants. En conséquence, le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est toujours positif. Cette valeur est nulle si et seulement si le vecteur est nul car seul le vecteur nul possède un représentant de longueur nulle. On en déduit la définition et la proposition suivantes :

Une forme à deux variables est dite définie positive si et seulement si pour tout vecteur non nul x, l'image de (x,x) est strictement positive.

Le produit scalaire est une forme définie positive.

Bilan : produit scalaire réel [modifier]

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel sur les nombres réels.

Les propriétés algébriques vues dans le cas de la dimension 2 ou 3 sont suffisantes pour définir un produit scalaire dans un espace vectoriel réel quelconque.

Soit $mathbf{E}$ un espace vectoriel réel.

On dit qu'une application $φ$ :

$mathbf{E} times mathbf{E} to R$

$(x,y) mapsto (x|y)$

est un produit scalaire si elle est :

bilinéaire : $φ$ est linéaire relativement à chaque argument (l'autre étant fixé).
symétrique : $forall (x,y) in mathbf{E}^2 quad (y|x) = (x|y)$
positive : $forall x in mathbf{E} quad (x|x) geqslant 0$
définie : $(x|x)=0 Rightarrow x=0,$

Il est naturel de se poser la question réciproque : Est-il possible de définir une géométrie à l'aide d'un espace vectoriel et d'un produit scalaire ? La longueur est alors donnée par la norme, et l'angle θ entre deux vecteurs $scriptstyle vec x$ et $scriptstyle vec y$ par la formule :

$theta = arccosleft(dfrac {vec x cdot vec y}{| vec x| cdot | vec y |}right)$

Une telle géométrie vérifie les inégalités triangulaires et de Cauchy-Schwarz, le théorème de Thalès, de Pythagore, ses isométries sont les rotations et les symétries.

Espace euclidien [modifier]

Article détaillé : Espace euclidien.

Un espace euclidien est un espace vectoriel sur $R$ , de dimension finie et muni d'un produit scalaire.

Un tel espace possède de nombreuses propriétés à la fois algébriques et géométriques. Le produit scalaire met en évidence des applications linéaires particulières aux propriétés multiples. Elles permettent, entre autres, de définir de nombreuses structures additionnelles, souvent elles aussi euclidiennes. Elle offre un cadre géométrique qui permet de généraliser bon nombre de résultats vrais sur les nombres réels. Il devient ainsi possible d'appliquer des résultats de l'analyse réelle à la géométrie différentielle.

Expression analytique [modifier]

Base orthonormale [modifier]

Article détaillé : Base orthonormale.

Dans un espace vectoriel de dimension deux ou trois, les propriétés algébriques permettent l'expression du produit scalaire à l'aide d'un système de coordonnées. Elle est plus simple si la base est choisie orthonormale, c'est-à-dire si ses vecteurs sont tous de norme égale à un et s'ils sont tous orthogonaux deux à deux. Par exemple en dimension trois, si la base orthonormale est notée ( $scriptstyle vec{e}_1$ , $scriptstyle vec{e}_2$ , $scriptstyle vec{e}_3$ ), si les deux vecteurs $scriptstyle vec{x}$ et $scriptstyle vec{y}$ ont pour coordonnées respectives : (x₁, x₂, x₃) et (y₁, y₂, y₃), on obtient alors la formule :

$vec x cdot vec y = x_1 cdot y_1 + x_2 cdot y_2 + x_3 cdot y_3$

Elle s'obtient à partir du développement des deux vecteurs dans la base :

$vec x cdot vec y = (x_1vec e_1 + x_2vec e_2 + x_3vec e_3) cdot (y_1vec e_1 + y_2vec e_2 + y_3vec e_3)$

Avec les propriété de bilinéarité et de symétrie, on montre que :

$vec x cdot vec y = x_1 cdot y_1vec e_1 cdot vec e_1 + x_2 cdot y_2vec e_2 cdot vec e_2 + x_3 cdot y_3vec e_3 cdot vec e_3 + (x_1 cdot y_2 + x_2 cdot y_1)vec e_1 cdot vec e_2 + (x_1 cdot y_3 + x_3 cdot y_1)vec e_1 cdot vec e_3 + (x_2 cdot y_3 + x_3 cdot y_2)vec e_2 cdot vec e_3$

Or $scriptstyle vec e_i cdot vec e_i$ est égal à un car la base est normée et si i est différent de j alors $scriptstyle vec e_i cdot vec e_j$ est nul car la base est orthogonale.

Écriture matricielle [modifier]

Article détaillé : Matrice (mathématiques).

Il existe une manière simple d'exprimer le produit scalaire, à l'aide de matrices. Les deux vecteurs $scriptstyle vec{x}$ et $scriptstyle vec{y}$ du paragraphe précédent prennent alors la forme suivante :

$vec x leftrightarrow X = begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{pmatrix}, qquad vec y leftrightarrow Y = begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 end{pmatrix}$

Les matrices X et Y représentent les deux vecteurs. À l'aide de l'opération transposée et de la multiplication des matrices, on obtient l'égalité :

$vec x cdot vec y = {}^tX cdot Y = begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 end{pmatrix} = x_1 cdot y_1 + x_2 cdot y_2 + x_3 cdot y_3$

Base quelconque [modifier]

Si la base ( $scriptstyle vec{b}_1$ , $scriptstyle vec{b}_2$ , $scriptstyle vec{b}_3$ ) est choisie quelconque, l'expression du produit scalaire est plus complexe. Notons (φ₁, φ₂, φ₃) et (ψ₁, ψ₂, ψ₃) les coordonnées des vecteurs $scriptstyle vec{x}$ et $scriptstyle vec{y}$ dans cette nouvelle base. On a alors l'égalité :

$vec x cdot vec y = {}^tPhi cdot M cdot Psi quad text {avec} quad$ $vec x leftrightarrow Phi = begin{pmatrix} varphi_1 \ varphi_2 \ varphi_3 end{pmatrix}, quad vec y leftrightarrow Psi = begin{pmatrix} psi_1 \ psi_2 \ psi_3 end{pmatrix}, quad M = begin{pmatrix} vec b_1 cdot vec b_1 & vec b_1 cdot vec b_2 & vec b_1 cdot vec b_3 \ vec b_2 cdot vec b_1 & vec b_2 cdot vec b_2 & vec b_2 cdot vec b_3 \ vec b_3 cdot vec b_1 & vec b_3 cdot vec b_2 & vec b_3 cdot vec b_3 end{pmatrix}$

La matrice M est appelée la matrice de Gram du produit scalaire dans la base ( $scriptstyle vec{b}_1$ , $scriptstyle vec{b}_2$ , $scriptstyle vec{b}_3$ ). Elle possède de nombreuses propriétés, elle est symétrique suivant une diagonale, elle est donc diagonalisable, ses valeurs propres sont toutes strictement positives. Une telle matrice est dite matrice définie positive.

On montre que la donnée d'une matrice définie positive et d'une base dans un espace vectoriel réel de dimension n permettent de définir un produit scalaire de manière unique.

Généralisation aux espaces vectoriels complexes [modifier]

Produit scalaire hermitien [modifier]

Pour adapter la définition du produit scalaire réel aux espaces vectoriels complexes, nous avons besoin de la notion de « semi-linéarité » :

Une application f d'un espace vectoriel complexe $mathbf{E}quad$ dans $mathbb{C}$ est dite semi-linéaire si elle vérifie :

$forall (x,y) in mathbf{E}^2 quad f(x+y) = f(x) + f(y)$
$forall x in mathbf{E}, foralllambda in mathbb{C} quad f(lambda x) = overline{lambda}f(x)$

Soit donc maintenant $mathbf{E}$ un espace vectoriel complexe.

On dit qu'une application $φ$ :

$mathbf{E} times mathbf{E} to mathbb{C}$

$(x,y) mapsto (x|y)$

est un produit scalaire hermitien à gauche (ou simplement un produit scalaire) si elle est :

sesquilinéaire à gauche : c'est-à-dire

linéaire relativement au second argument (le premier étant fixé)
semi-linéaire relativement au premier argument (le second étant fixé)

symétrique hermitienne : $forall (x,y) in mathbf{E}^2 quad (y|x) = overline{(x|y)}$
positive : $forall x in mathbf{E} quad (x|x) inmathbb R_+$
définie : $(x|x)=0 Rightarrow x=0$

Remarque : la convention de linéarité à droite, semi-linéarité à gauche n'est pas universelle, certains auteurs utilisent la convention inverse. Dans un espace vectoriel complexe, muni d'un tel produit scalaire, sont encore vérifiés le théorème de Pythagore, l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'inégalité triangulaire.

Espace préhilbertien [modifier]

Article détaillé : Espace préhilbertien.

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel réel ou complexe, généralement de dimension infinie, que l'on a muni d'un produit scalaire. La définition du produit scalaire quitte alors le champ de la géométrie traditionnelle.

Exemples [modifier]

Dans l'espace $R ^n$ , on définit le produit scalaire canonique : $big( (x_1,...,x_n) | (y_1,...,y_n)big) = x_1y_1 + cdots + x_ny_n$ .

Dans l'espace $mathbb C^n$ , on définit le produit scalaire canonique : $big( (z_1,...,z_n) | (w_1,...,w_n)big) = bar{z_1}w_1 + cdots + bar{z_n}w_n$ .

Soit $E$ le $R$ -espace vectoriel des fonctions continues de l'intervalle $[a,, b]$ dans $R$ .

L'application $phi : E times E to R , (f,,g) mapsto int_{a}^{b} f.g$ est un produit scalaire sur

E

Soit $E=C([a,, b],mathbb{C})$ le $mathbb{C}$ -espace vectoriel des fonctions continues de l'intervalle $[a,, b]$ dans $mathbb{C}$ ,

L'application : $phi : E times E rightarrow mathbb{C} , (f, g) mapsto (f|g) = int_{a}^{b} bar{f}.g$ est un produit scalaire sur $E$ .

Remarque : Si , au lieu de travailler sur des fonctions continues, on travaille sur des fonctions continues par morceaux, la forme bilinéaire construite est bien positive mais n'est pas définie : (f|f) = 0 implique que f est nulle sauf sur un nombre fini de points.

Espace hermitien [modifier]

Article détaillé : Espace hermitien.

Un espace hermitien est un espace vectoriel défini sur les nombres complexes, de dimension finie et disposant d'un produit hermitien, correspondant à une généralisation du cas réel. Le terme de produit scalaire est aussi utilisé dans ce contexte. Les résultats et propriétés des espaces euclidiens se traduisent souvent simplement dans cet espace.

Espace de Hilbert [modifier]

Article détaillé : Espace de Hilbert.

Un espace de Hilbert peut être réel ou complexe. Il correspond exactement aux deux cas précédents, à la différence que la dimension n'est pas nécessairement finie. Si la théorie et les démonstrations sont différentes de la situation en dimension finie, certains résultats se généralisent. Une hypothèse topologique est néanmoins souvent nécessaire, celle de lacomplétude de l'espace métrique associé. Pour cette raison, un espace de Hilbert est par définition complet.

Cet espace est utilisé pour résoudre des problèmes d'analyse fonctionnelle, particulièrement des équations aux dérivées partielles.

Voir aussi [modifier]

Sources [modifier]

Rudolf Bkouche, D'où vient le produit scalaire ?, site de l'ENS

[Dérouler] v · d · m Opérations binaires

[Dérouler] v · d · m Algèbre linéaire générale

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Produit scalaire

Produit scalaire

Sommaire

Aperçu des applications du produit scalaire [modifier]

Fragments d'histoire [modifier]

Définitions et premières propriétés [modifier]

Propriétés géométriques [modifier]

Projeté [modifier]

Théorème d'Al-Kashi [modifier]

Produit scalaire comme une aire [modifier]

Orthogonalité, colinéarité et angle [modifier]

Propriétés algébriques [modifier]

Symétrie [modifier]

Bilinéarité [modifier]

Caractère défini positif [modifier]

Bilan : produit scalaire réel [modifier]

Espace euclidien [modifier]

Expression analytique [modifier]

Base orthonormale [modifier]

Écriture matricielle [modifier]

Base quelconque [modifier]

Généralisation aux espaces vectoriels complexes [modifier]

Produit scalaire hermitien [modifier]

Espace préhilbertien [modifier]

Exemples [modifier]

Espace hermitien [modifier]

Espace de Hilbert [modifier]

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

Sources [modifier]