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21/11/2010

Conjecture de Dubner

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Dubner

Conjecture de Dubner

Si un p-jumeau est un nombre premier ayant un jumeau, alors tout nombre pair supérieur à 4208 est la somme de deux p-jumeaux.¹

Cette conjecture a été vérifiée par logiciel pour tous les nombres pairs jusqu'à $4 times 10^{11}$

Si cette conjecture était démontrée, cela prouverait à la fois la conjecture de Goldbach (tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers) et la conjecture des nombres premiers jumeaux (il existe une infinité de nombres premiers jumeaux).

Sommaire

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Généralisation [modifier]

L'intérêt de la conjecture de Dubner par rapport à la conjecture de Goldbach, c'est qu'elle est plus exigeante, dans la mesure où les nombres premiers jumeaux sont plus rares que les nombres premiers.

Si on considère comme miraculeuse la conjecture de Goldbach, la conjecture de Dubner l'est encore plus.

En généralisant encore, voici quatre nouvelles conjectures dérivées, encore plus exigeantes :

Nommons min-jumeau le plus petit d'une paire de nombres premiers jumeaux, et max-jumeau le plus grand d'une paire de nombres premiers jumeaux.

Tout nombre pair (assez grand) est la somme de deux min-jumeaux.
Tout nombre pair (assez grand) est la somme de deux max-jumeaux.
Tout nombre pair (assez grand) est la somme d'un min-jumeau et d'un max-jumeau, avec min-jumeau>max-jumeau.
Tout nombre pair (assez grand) est la somme d'un min-jumeau et d'un max-jumeau, avec min-jumeau<max-jumeau.

Sources [modifier]

Harvey Dubner, "Twin Prime Conjectures", Journal of Recreational Mathematics, Vol.30(3), 1999-2000
Jean-Paul Delahaye, "Nombres premiers inévitables et pyramidaux", Pour la science n°296, juin 2002, pages 98 à 102