Cas le plus général d'espace topologique

Cas le plus général d'espace topologique

Source : http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node3.php3

Définition [Topologie] Une topologie sur l'ensemble  est une partie  vérifiant: 
L'ensemble vide  et  sont dans 
est stable par réunions arbitraires 
est stable par intersections finies

Un tel couple  est appelé espace topologique. Les éléments de  sont appelés les ouverts de la topologie. 
Une partie de  est dite fermée si son complémentaire est ouvert.

Exemples:
La topologie discrète sur l'ensemble  est la topologie 
La topologie grossière sur l'ensemble  est la topologie 
Sur , la topologie usuelle est l'ensemble des  tels que  ou  est cofini.

On verra aussi d'autres exemples en parties  et .

Proposition Si  est un espace topologique alors 
et  sont des fermés de 
Une intersection quelconque de fermés est un fermé 
Une union finie de fermés est un fermé 

Démonstration: Immédiat, par passage au complémentaire.

Définition [Séparation par des ouverts] On dit que la partie  et la partie  sont séparées par des ouverts s'il existe deux ouverts  et  tels que  et tels que .

 

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