Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien : Mathématique

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26/07/2010

Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien

Agrégation : leçon 126 en Maths Générales

E désigne un espace vectoriel de dimension fini muni d'un produit scalaire et de la norme associée.

I. Endomorphismes normaux

Rappel
Soit $fin mathcal{L}(E),;exists !;f^*inmathcal{L}(E)/forallquad(x,y)in E^2$
$<f(x),y>=<x,f^*(y)>$ $f^*$ est appelé l'adjoint de $f$ .
Soit $B$ une base de $E$ si $Mat_B(f)=M$ alors $Mat_B(f^*)=^tM$

Proposition 1 ([M]p357-358)

$Ker(f^*)=(Im(f))^{perp}$ et $Im(f^*)=(Ker(f))^{perp}$

$F$ sev de $E$ , $F$ stable par $f$ alors $F^{perp}$ stable par $f^*$

Définition 2

$finmathcal{L}(E)$ est dit normal si $f^* circ f = f circ f^*$
$Min M_n({mathbb R})$ est dit normal si $^tMM = M^tM$

Proposition 3 ([G]p254)

$f in mathcal{L}(E)$ normal ssi $|f(x)| = |f^*(x)|$

Théorème 4 ([C]p159)

$f in mathcal{L}(E)$ normal ssi il existe une base $B$ de $E$ orthonormée telle que $f$ soit presque diagonale dans cette base.
$begin{pmatrix}lambda_1& & & & & &ddots& & & & & &lambda_r& & & & & &boxed{rm{A_1}}& & & & & &ddots& & & & & &boxed{rm {A_s }}end{pmatrix}$ Avec $lambda_i in mathbb{R}$
Et $rm{A_i} = begin{pmatrix}a_i&-b_ib_1&a_iend{pmatrix}$ $(a_i,b_i)inmathbb{R}^2$

Lemme 5 ([C]p157)

Si $f$ endomorphisme normal, et si $F$ sous espace de $E$ stable par $f$ alors $F^{perp}$ stable par $f$ .

II. Endomorphismes symétriques

Définition 6

$f$ est dit symétrique ou autoadjoint si $f^*=f$ .

$f$ est dit antisymétrique si $f^*=-f$

Exemple :
Si $finmathcal{L}(E)$ , $fof^*$ est symétrique.

Remarque :
Si $f$ symétrique, alors $f$ est normal.
$mathcal{L}(E)=Sym(E)oplusAA(E)$ avec
$Sym(E)=lbrace finmathcal{L}(E),f^*=frbrace$ et $AA(E)=lbrace finmathcal{L}(E),f^*=-frbrace$

Proposition 7 ([G]p240)

$finmathcal{L}(E)$ autoadjoint ssi la matrice de $f$ dans une quelconque base orthonormée est symétrique.

Définition 8

$S_n(mathbb{R})=lbrace Min M_n(mathbb{R}),:^tM=Mrbrace$
$Min S_n(mathbb{R})$ est dite positive si $forall Xquad^tXMXge 0$
On note $S_n^+(mathbb{R})$ l'ensemble des telles matrices.
$Min S_n^+(mathbb{R})$ est dite définie positive si $forall; Xneq 0quad^tXMX>0$
On note $S_n^{++}(mathbb{R})$ l'ensemble des telles matrices.

Exemple :
$forall;Min M_n(mathbb{R})quad ^tMMinS_n^+(mathbb{R})$
$forall;Min GL_n(mathbb{R})quad ^tMMin S_n^{++}(mathbb{R})$

Proposition 9 ([M]p359)

Soit $psi:fin Sym(E)rightarrow psi_fin BL_S(E)$ tel que $psi_f(x,y)=<f(x),y>$
$psi$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $Sym(E)$ vers $BL_S(E)$ l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.

Théorème 10 ([G]p240)

Si $fin Sym(E)$ alors il existe une base orthonormée $B$ de $E$ , formée de vecteurs propres pour $f$ .
Si $Min S_n(mathbb{R}),exists; Cin M_n(mathbb{R}),; C$ orthogonale telle que :

$^tCMC=^{-1}CMC$ soit diagonale

Corollaire 11 ([G]p241)

Si $Min S_n^{++}(mathbb{R})$ , $Nin S_n^+(mathbb{R})$ alors il existe $Pin GL_n(mathbb{R})$ telle que

$^tPMP=I_nmbox{ et } ^tPNP$ soit diagonale

Application :
Si $Phi$ est une forme quadratique, il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de $Phi$ est diagonale.

Remarque :
On pourrait aussi réduire les endomorphismes antisymétriques par le Théorème 4.

III. Endomorphismes orthogonaux

Définition 12

$fin mathcal{L}(E)$ est orthogonal si et seulement si il vérifie l'une de ces quatre propositions équivalentes.

$fcirc f^*=f^*circ f=Id_E$

$forall (x,y)in E^2;<f(x),f(y)>=<x,y>$

$forall ; xin E |f(x)| = |x|$

l'image par $f$ d'une base orthonormée est une base orthonormée.

On note $O(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui sont aussi appelés isométries de $E$ .

Remarque :

$O(E)$ est un sous groupe de $GL(E)$

Si $fin O(E)$ , $f$ est normal.

$Min M_n(mathbb{R})$ est dite orthogonale si $^tMM=I_n$

Exemples :

Les symétries orthogonales sont des isométries.

Les matrices de permutations sont des isométries.

Les projections orthogonales ne sont pas des isométries.

Proposition 13 ([G]p252-253)

$fin mathcal{L}(E)$ est une isométrie ssi la matrice de $f$ dans toute base orthonormale est une matrice orthogonale.

Remarque :
Si $fin O(E)$ on a $(det(f))^2=1$
On note $SO(E)=lbrace fin O(E),; det(f)=1rbrace$ qui est un sous groupe distingué de $O(E)$
On définit de même $SO_n(mathbb{R})=lbrace Min O_n(mathbb{R}),mbox{det }M=1rbrace$

Proposition 14

$O(E)$ et $SO(E)$ sont des sous groupes compacts de $GL(E)$

Proposition 15 ([G]p252-253)

Si $fin O(E)$ il existe $B$ une base orthonormée telle que
$Mat_B(f)=begin{pmatrix}I_p& & & & &-I_q& & & & &boxed{R_1}& & & & &ddots& & & & &boxed{R_s}end{pmatrix}$ Avec $(p,q,s)in mathbb{N}^3/quad p+q+2s=n$
$Ri=begin{pmatrix} cos(theta_i)&-sin(theta_i)sin(theta_i)&cos(theta_i) end{pmatrix}$
$0<theta_1le ldotsle theta_s<pi$

Remarque :
$q$ pair $Leftrightarrow quad fin SO(E)$

Application :
$SO_n(mathbb{R})$ est connexe par arcs.

IV. Le groupe orthogonal

Théorème 16 ([MT]p18-19) - Décomposition polaire

Soit $phi:(O,S)in O_n(mathbb{R})times S_n^{++}(mathbb{R})rightarrow OSin GL_n(mathbb{R})$ est un homéomorphisme.

Application ([A]p138-140) :

$O_n(mathbb{R})$ sous groupe compact de $GL_n(mathbb{R})$

$SO_n(mathbb{R})$ sous groupe compact maximal de $SL_n(mathbb{R})$

$forall; Min M_n(mathbb{R})$ $d(M,O_n(mathbb{R})) = | sqrt{^tMM}-I_n |$

Corollaire 17

$forall M in GL_n(mathbb{R}),; exists (Omega_1,Omega_2)in(O_n(mathbb{R}))^2$ et $D$ diagonale à valeurs propres réelles positives telles que $M=Omega_1 DOmega_2$

Proposition 18 ([C]p?) - Décomposition d'Iwasawa

Si $Min GL_n(mathbb{R})$ alors il existe un unique couple $(O,T)$ avec $O$ orthogonale et $T$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que: $M=OT$

Proposition 19 ([B]2.7.5 et 8.2.5.2)

Soit $G$ un sous groupe compact de $GL_n(mathbb{R})$ , il existe une structure euclidienne $G$ -invariante sur $mathbb{R}^n$

Définition 18

$fin mathcal{L}(E)$ une symétrie orthogonale.
Si $dim(ker(f-Id_E))=n-1$ $f$ est appelé réflexion.
Si $dim(ker(f-Id_E))=n-2$ $f$ est appelé renversement.

Proposition 20 ([P]p142)

$Z(O_n(mathbb{R}))=lbrace pm I_nrbrace$

Si $n$ pair $Z(SO_n(mathbb{R}))=lbrace pm I_nrbrace$

Si $n$ impair $Z(SO_n(mathbb{R}))=lbrace I_nrbrace$

Proposition 21 ([P]p143)

$fin O(E)$ est le produit d'au plus $n$ réflexions.

Corollaire 22

$fin SO(E)$ est le produit d'un nombre pair de réflexions.

Proposition 23 ([P]p143)

Pour $nge3quad SO(E)$ est engendré par les renversements.

Application ([P]p148) :
$SO_3(mathbb{R})$ est simple.

Proposition 24 (([P]p150))

Soit $mathbb{P} SO_n(mathbb{R})=SO_n(mathbb{R})/Z(SO_n(mathbb{R}))$ .
Alors pour $n=3$ et $nge 5$ $mathbb{P} SO_n(mathbb{R})$ est simple.

Proposition 25 ([P]p152)

Tout automorphisme de $SO_3(mathbb{R})$ est intérieur.

Remarque [P] :

$SO_n(mathbb{R})$ est le groupe dérivé de $O_n(mathbb{R})$ et si $n>2$ c'est aussi celui de $SO_n(mathbb{R})$ .

$D(SO_2(mathbb{R}))=lbrace I_2rbrace$

$Min O_2(mathbb{R})$ alors $M=begin{pmatrix}a&-bb&aend{pmatrix}$ ou $M=begin{pmatrix}-a&bb&aend{pmatrix}$ avec $a^2+b^2=1$ .

$SO_2(mathbb{R})$ est commutatif est isomorphe à $mathbb{R}/2pimathbb Z$

On peut noter que le groupe $O_3(mathbb{R})$ est composé de :
$I_3$ , $-I_3$ , les rotations et les produits de 3 réflexions.

Proposition 26 ([MT]p125-127)

$SO_3(mathbb{R})approx mathbb P^3 mathbb{R}$

$Pi_1(SO_3(mathbb{R}))approxmathbb Z/2mathbb Z$

Bibliographie

[A]: M.Alessandri "Thèmes de géométrie"
[C]: M.Cognet "Algèbre bilinéaire"
[G]: X.Gourdon "Algèbre"
[MT]: R.Mneimné, F.Testard "Groupes de Lie Classiques"
[M]: D.Monasse "Cours MP-MP^*"
[P]: D.Perrin "Cours d'algèbre"

SOURCE : http://www.ilemaths.net/maths-agreg-endomorphismes-espace...

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