26/07/2010
Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien
Agrégation : leçon 126 en Maths Générales
E désigne un espace vectoriel de dimension fini muni d'un produit scalaire et de la norme associée.
I. Endomorphismes normaux
RappelSoit
est appelé l'adjoint de .
Soit une base de si alors
Proposition 1 ([M]p357-358)
et
sev de , stable par alors stable par
sev de , stable par alors stable par
Définition 2
est dit normal si
est dit normal si
est dit normal si
Proposition 3 ([G]p254)
normal ssi
Théorème 4 ([C]p159)
normal ssi il existe une base de orthonormée telle que soit presque diagonale dans cette base.
Avec
Et
Avec
Et
Lemme 5 ([C]p157)
Si endomorphisme normal, et si sous espace de stable par alors stable par .
II. Endomorphismes symétriques
Définition 6
est dit symétrique ou autoadjoint si .
est dit antisymétrique si
est dit antisymétrique si
Exemple :
Si , est symétrique.
Remarque :
Si symétrique, alors est normal.
avec
et
Proposition 7 ([G]p240)
autoadjoint ssi la matrice de dans une quelconque base orthonormée est symétrique.
Définition 8
est dite positive si
On note l'ensemble des telles matrices.
est dite définie positive si
On note l'ensemble des telles matrices.
Exemple :
Proposition 9 ([M]p359)
Soit tel que
est un isomorphisme d'espaces vectoriels de vers l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.
est un isomorphisme d'espaces vectoriels de vers l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.
Théorème 10 ([G]p240)
Si alors il existe une base orthonormée de , formée de vecteurs propres pour .
Si orthogonale telle que :
Si orthogonale telle que :
soit diagonale
Corollaire 11 ([G]p241)
Si , alors il existe telle que
soit diagonale
Application :
Si est une forme quadratique, il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de est diagonale.
Remarque :
On pourrait aussi réduire les endomorphismes antisymétriques par le Théorème 4.
III. Endomorphismes orthogonaux
Définition 12
est orthogonal si et seulement si il vérifie l'une de ces quatre propositions équivalentes.
l'image par d'une base orthonormée est une base orthonormée.
On note l'ensemble des endomorphismes de qui sont aussi appelés isométries de .
l'image par d'une base orthonormée est une base orthonormée.
On note l'ensemble des endomorphismes de qui sont aussi appelés isométries de .
Remarque :
est un sous groupe de
Si , est normal.
est dite orthogonale si
Exemples :
Les symétries orthogonales sont des isométries.
Les matrices de permutations sont des isométries.
Les projections orthogonales ne sont pas des isométries.
Proposition 13 ([G]p252-253)
est une isométrie ssi la matrice de dans toute base orthonormale est une matrice orthogonale.
Remarque :
Si on a
On note qui est un sous groupe distingué de
On définit de même
Proposition 14
et sont des sous groupes compacts de
Proposition 15 ([G]p252-253)
Si il existe une base orthonormée telle que
Avec
Avec
Remarque :
pair
Application :
est connexe par arcs.
IV. Le groupe orthogonal
Théorème 16 ([MT]p18-19) - Décomposition polaire
Soit est un homéomorphisme.
Application ([A]p138-140) :
sous groupe compact de
sous groupe compact maximal de
Corollaire 17
et diagonale à valeurs propres réelles positives telles que
Proposition 18 ([C]p?) - Décomposition d'Iwasawa
Si alors il existe un unique couple avec orthogonale et triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que:
Proposition 19 ([B]2.7.5 et 8.2.5.2)
Soit un sous groupe compact de , il existe une structure euclidienne -invariante sur
Définition 18
une symétrie orthogonale.
Si est appelé réflexion.
Si est appelé renversement.
Si est appelé réflexion.
Si est appelé renversement.
Proposition 20 ([P]p142)
Si pair
Si impair
Proposition 21 ([P]p143)
est le produit d'au plus réflexions.
Corollaire 22
est le produit d'un nombre pair de réflexions.
Proposition 23 ([P]p143)
Pour est engendré par les renversements.
Application ([P]p148) :
est simple.
Proposition 24 (([P]p150))
Soit .
Alors pour et est simple.
Alors pour et est simple.
Proposition 25 ([P]p152)
Tout automorphisme de est intérieur.
Remarque [P] :
est le groupe dérivé de et si c'est aussi celui de .
alors ou avec .
est commutatif est isomorphe à
On peut noter que le groupe est composé de :
, , les rotations et les produits de 3 réflexions.
Proposition 26 ([MT]p125-127)
Bibliographie
[A]: M.Alessandri "Thèmes de géométrie"[C]: M.Cognet "Algèbre bilinéaire"
[G]: X.Gourdon "Algèbre"
[MT]: R.Mneimné, F.Testard "Groupes de Lie Classiques"
[M]: D.Monasse "Cours MP-MP*"
[P]: D.Perrin "Cours d'algèbre"
SOURCE : http://www.ilemaths.net/maths-agreg-endomorphismes-espace...
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