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26/07/2010

Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien


Agrégation : leçon 126 en Maths Générales

E désigne un espace vectoriel de dimension fini muni d'un produit scalaire et de la norme associée. 


I. Endomorphismes normaux

Rappel
Soit fin mathcal{L}(E),;exists !;f^*inmathcal{L}(E)/forallquad(x,y)in E^2
<f(x),y>=<x,f^*(y)> f^* est appelé l'adjoint de f
Soit B une base de E si Mat_B(f)=M alors Mat_B(f^*)=^tM

Proposition 1 ([M]p357-358)
* Ker(f^*)=(Im(f))^{perp} et Im(f^*)=(Ker(f))^{perp}
* F sev de EF stable par f alors F^{perp} stable par f^*

Définition 2
finmathcal{L}(E) est dit normal si f^* circ f = f circ f^*
Min M_n({mathbb R}) est dit normal si ^tMM = M^tM

Proposition 3 ([G]p254)
f in mathcal{L}(E) normal ssi |f(x)| = |f^*(x)|

Théorème 4 ([C]p159)
f in mathcal{L}(E) normal ssi il existe une base B de E orthonormée telle que f soit presque diagonale dans cette base. 
begin{pmatrix}lambda_1& & & & & &ddots& & & & & &lambda_r& & & & & &boxed{rm{A_1}}& &  & & & &ddots& & & & & &boxed{rm {A_s }}end{pmatrix}Avec lambda_i in mathbb{R}
Et rm{A_i} = begin{pmatrix}a_i&-b_ib_1&a_iend{pmatrix} (a_i,b_i)inmathbb{R}^2


Lemme 5 ([C]p157)
Si f endomorphisme normal, et si F sous espace de E stable par f alors F^{perp} stable par f.



II. Endomorphismes symétriques

Définition 6
* f est dit symétrique ou autoadjoint si f^*=f
* f est dit antisymétrique si f^*=-f

Exemple :
Si finmathcal{L}(E)fof^* est symétrique. 

Remarque :
Si f symétrique, alors f est normal. 
mathcal{L}(E)=Sym(E)oplusAA(E) avec 
Sym(E)=lbrace finmathcal{L}(E),f^*=frbrace et AA(E)=lbrace finmathcal{L}(E),f^*=-frbrace

Proposition 7 ([G]p240)
finmathcal{L}(E) autoadjoint ssi la matrice de f dans une quelconque base orthonormée est symétrique.


Définition 8
S_n(mathbb{R})=lbrace Min M_n(mathbb{R}),:^tM=Mrbrace
Min S_n(mathbb{R}) est dite positive si forall Xquad^tXMXge 0
On note S_n^+(mathbb{R}) l'ensemble des telles matrices. 
Min S_n^+(mathbb{R}) est dite définie positive si forall; Xneq 0quad^tXMX>0
On note S_n^{++}(mathbb{R}) l'ensemble des telles matrices.


Exemple :
forall;Min M_n(mathbb{R})quad ^tMMinS_n^+(mathbb{R})
forall;Min GL_n(mathbb{R})quad ^tMMin S_n^{++}(mathbb{R})

Proposition 9 ([M]p359)
Soit psi:fin Sym(E)rightarrow psi_fin BL_S(E) tel que psi_f(x,y)=<f(x),y>
psi est un isomorphisme d'espaces vectoriels de Sym(E) vers BL_S(E) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques.


Théorème 10 ([G]p240)
Si fin Sym(E) alors il existe une base orthonormée B de E, formée de vecteurs propres pour f
Si Min S_n(mathbb{R}),exists; Cin M_n(mathbb{R}),; C orthogonale telle que :
^tCMC=^{-1}CMC soit diagonale


Corollaire 11 ([G]p241)
Si Min S_n^{++}(mathbb{R})Nin S_n^+(mathbb{R}) alors il existe Pin GL_n(mathbb{R}) telle que
^tPMP=I_nmbox{ et } ^tPNP soit diagonale


Application :
Si Phi est une forme quadratique, il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de Phi est diagonale. 

Remarque :
On pourrait aussi réduire les endomorphismes antisymétriques par le Théorème 4. 


III. Endomorphismes orthogonaux

Définition 12
fin mathcal{L}(E) est orthogonal si et seulement si il vérifie l'une de ces quatre propositions équivalentes. 
* fcirc f^*=f^*circ f=Id_E
* forall (x,y)in E^2;<f(x),f(y)>=<x,y>
* forall ; xin E |f(x)| = |x|
* l'image par f d'une base orthonormée est une base orthonormée. 

On note O(E) l'ensemble des endomorphismes de E qui sont aussi appelés isométries de E.


Remarque :
* O(E) est un sous groupe de GL(E)
* Si fin O(E)f est normal. 
* Min M_n(mathbb{R}) est dite orthogonale si ^tMM=I_n

Exemples :
* Les symétries orthogonales sont des isométries. 
* Les matrices de permutations sont des isométries. 
* Les projections orthogonales ne sont pas des isométries. 

Proposition 13 ([G]p252-253)
fin mathcal{L}(E) est une isométrie ssi la matrice de f dans toute base orthonormale est une matrice orthogonale.


Remarque :
Si fin O(E) on a (det(f))^2=1
On note SO(E)=lbrace fin O(E),; det(f)=1rbrace qui est un sous groupe distingué de O(E)
On définit de même SO_n(mathbb{R})=lbrace Min O_n(mathbb{R}),mbox{det }M=1rbrace

Proposition 14
O(E) et SO(E) sont des sous groupes compacts de GL(E)


Proposition 15 ([G]p252-253)
Si fin O(E) il existe B une base orthonormée telle que 
Mat_B(f)=begin{pmatrix}I_p& & & & &-I_q& & & & &boxed{R_1}& &  & & &ddots& & & & &boxed{R_s}end{pmatrix}Avec (p,q,s)in mathbb{N}^3/quad p+q+2s=n
Ri=begin{pmatrix} cos(theta_i)&-sin(theta_i)sin(theta_i)&cos(theta_i) end{pmatrix}
0<theta_1le ldotsle theta_s<pi


Remarque :
q pair Leftrightarrow quad fin SO(E)

Application :
SO_n(mathbb{R}) est connexe par arcs. 


IV. Le groupe orthogonal

Théorème 16 ([MT]p18-19) - Décomposition polaire
Soit phi:(O,S)in O_n(mathbb{R})times S_n^{++}(mathbb{R})rightarrow OSin GL_n(mathbb{R}) est un homéomorphisme.


Application ([A]p138-140) :
* O_n(mathbb{R}) sous groupe compact de GL_n(mathbb{R})
* SO_n(mathbb{R}) sous groupe compact maximal de SL_n(mathbb{R})
* forall; Min M_n(mathbb{R}) d(M,O_n(mathbb{R})) = | sqrt{^tMM}-I_n |

Corollaire 17
forall M in GL_n(mathbb{R}),; exists (Omega_1,Omega_2)in(O_n(mathbb{R}))^2 et D diagonale à valeurs propres réelles positives telles que M=Omega_1 DOmega_2


Proposition 18 ([C]p?) - Décomposition d'Iwasawa
Si Min GL_n(mathbb{R}) alors il existe un unique couple (O,T) avec O orthogonale et T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que: M=OT


Proposition 19 ([B]2.7.5 et 8.2.5.2)
Soit G un sous groupe compact de GL_n(mathbb{R}), il existe une structure euclidienne G-invariante sur mathbb{R}^n


Définition 18
fin mathcal{L}(E) une symétrie orthogonale. 
Si dim(ker(f-Id_E))=n-1 f est appelé réflexion. 
Si dim(ker(f-Id_E))=n-2 f est appelé renversement.


Proposition 20 ([P]p142)
* Z(O_n(mathbb{R}))=lbrace pm I_nrbrace
* Si n pair Z(SO_n(mathbb{R}))=lbrace pm I_nrbrace
* Si n impair Z(SO_n(mathbb{R}))=lbrace I_nrbrace


Proposition 21 ([P]p143)
fin O(E) est le produit d'au plus n réflexions.


Corollaire 22
fin SO(E) est le produit d'un nombre pair de réflexions.


Proposition 23 ([P]p143)
Pour nge3quad SO(E) est engendré par les renversements.


Application ([P]p148) :
SO_3(mathbb{R}) est simple. 

Proposition 24 (([P]p150))
Soit mathbb{P} SO_n(mathbb{R})=SO_n(mathbb{R})/Z(SO_n(mathbb{R}))
Alors pour n=3 et nge 5 mathbb{P} SO_n(mathbb{R}) est simple.


Proposition 25 ([P]p152)
Tout automorphisme de SO_3(mathbb{R}) est intérieur.


Remarque [P] :
* SO_n(mathbb{R}) est le groupe dérivé de O_n(mathbb{R}) et si n>2 c'est aussi celui de SO_n(mathbb{R})
* D(SO_2(mathbb{R}))=lbrace I_2rbrace
* Min O_2(mathbb{R}) alors M=begin{pmatrix}a&-bb&aend{pmatrix} ou M=begin{pmatrix}-a&bb&aend{pmatrix} avec a^2+b^2=1
* SO_2(mathbb{R}) est commutatif est isomorphe à mathbb{R}/2pimathbb Z
* On peut noter que le groupe O_3(mathbb{R}) est composé de : 
I_3-I_3, les rotations et les produits de 3 réflexions. 

Proposition 26 ([MT]p125-127)
* SO_3(mathbb{R})approx mathbb P^3 mathbb{R}
* Pi_1(SO_3(mathbb{R}))approxmathbb Z/2mathbb Z


Bibliographie

[A]: M.Alessandri "Thèmes de géométrie" 
[C]: M.Cognet "Algèbre bilinéaire" 
[G]: X.Gourdon "Algèbre" 
[MT]: R.Mneimné, F.Testard "Groupes de Lie Classiques" 
[M]: D.Monasse "Cours MP-MP*
[P]: D.Perrin "Cours d'algèbre"

SOURCE : http://www.ilemaths.net/maths-agreg-endomorphismes-espace...

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