Le triangle de Reuleaux

Le 4 janvier 2010, par Serge Cantat

Chargé de Recherche à l'Université Rennes 1 (page web)

Le triangle de Reuleaux est une figure de géométrie plane élémentaire, mais intrigante, qui peut être présentée à des élèves de collège. Elle jouit de propriétés remarquables, qui sont parfois difficiles à établir et à généraliser.

Le triangle de Reuleaux

L’objet de ce mois-ci concerne la géométrie de certaines parties du plan. Commençons par la plus simple, le disque, représenté ci-dessous en jaune. Le diamètre du disque n’a pas d’importance dans ce qui suit, et nous choisirons nos unités de mesure pour qu’il soit égal à 1 Ce disque jaune est donc l’ensemble des points du plan situés à une distance du centre inférieure à 12 ; la courbe qui borde ce disque est un cercle de diamètre 1

La position exacte du centre n’a pas non plus d’importance pour la propriété suivante. Prenons deux droites parallèles qui ne coupent pas le disque et qui sont situées de part et d’autre du disque ; rapprochons-les de celui-ci, en les gardant toujours parallèles à la direction qu’elles avaient initialement, jusqu’à ce qu’elles viennent chacune toucher le disque en un point. L’écart entre les deux droites est alors égal au diamètre du disque, ceci quelques soient les droites initialement choisies. On dit que le disque et le cercle sont de largeur constante. Ce que nous allons voir, c’est qu’il existe beaucoup d’autres parties du plan de largeur constante.

Le premier exemple est le triangle de Reuleaux. Pour le définir, le plus simple est de partir d’un triangle équilatéral dont nous noterons A B etC les trois sommets. L’équilatéralité signifie que les distances AB BC et CA entre les sommets sont égales, et nous supposerons que cette distance entre sommets vaut 1 Ainsi, le cercle de centre A et de rayon 1 passe par les sommets B et C De même, le cercle de centre B et de rayon 1 passe par C et A et le cercle de centre C et de rayon 1 passe par A et B Traçons ces trois cercles. Ils bordent trois disques de rayon1 Le triangle de Reuleaux est l’intersection de ces trois disques ; ce n’est donc pas un triangle au sens usuel. Comme on le voit sur la figure présentée ci-dessous, le triangle de Reuleaux s’obtient en ajoutant trois lunules au triangle équilatéral ABC dont nous sommes partis.

Pour tracer un triangle de Reuleaux avec un compas, il n’est pas utile de suivre pas à pas la construction précédente. Écartez votre compas d’une unité, puis choisissez un point A dans le plan où vous plantez votre compas. Tracez un grand arc de cercle C1 Plantez alors votre compas en un point B situé sur cet arc C1 près de l’une des extrémités de celui-ci, et tracez maintenant un deuxième arc de cercle C2 en sorte que C2passe par A et vienne couper l’arc C1 en un point C Plantez maintenant votre compas au point C et tracer l’arc de cercle passant par A et BVous voyez surgir le triangle de Reuleaux. Si vous désirez faire apparaître le triangle équilatéral évoqué ci-dessus, il suffit de relier les sommetsA B et C avec une règle.

Les figures présentées ici ont été réalisées en suivant ce canevas à l’aide du matériel de CM1 de ma fille ainée.

Comme annoncé plus haut, la propriété remarquable du triangle de Reuleaux s’énonce ainsi : le triangle de Reuleaux est de largeur constante. En effet, lorsque deux droites parallèles viennent toucher le triangle de Reuleaux en se rapprochant de part et d’autre, l’une d’entre elles le touche en l’un des sommets A B ou C et la seconde le touche en un point de l’arc de cercle opposé ; ainsi, l’écart entre les deux droites est égal à 1 le rayon du cercle. Reformulons cette propriété : si l’on découpe un triangle de Reuleaux dans une plaque de granit et qu’on vient le serrer avec une clé anglaise, l’écart de la clé anglaise ne dépend pas de la position du triangle de Reuleaux. Autrement dit, une fois serrée, on peut tourner la pièce de granit sans changer l’écart de la clé et, ce faisant, la pièce reste en permanence en contact avec les bords de l’ustensile. Ou encore, si vous faites rouler le triangle de granit entre deux règles parallèles situées à une distance unité l’une de l’autre, le triangle de Reuleaux touchera en permanence le bord des deux règles.

Convexes de largeur constante

Nous voyons donc qu’il y a au moins deux parties du plan qui sont de largeur constante, le disque et le triangle de Reuleaux. Peut-on en construire d’autres ? La réponse est oui, mais avant de continuer il convient d’exclure certaines constructions sans intérêt. Si l’on évide un petit trou dans un triangle de Reuleaux ou dans un disque, on crée une nouvelle partie du plan dont la largeur est constante, mais pour la raison idiote qu’aucune modification n’a été effectuée au bord, là où la clé anglaise vient serrer la pièce de granit étudiée.

Avant de continuer nous allons donc introduire une définition utile. Nous dirons qu’une partie D du plan est convexe si elle satisfait la propriété suivante : quelque soit la paire de points A et B situés dans D la totalité du segment joignant A à B est contenue dans D

Le triangle de Reuleaux est convexe ; si on le perce, il ne l’est plus. D’autres exemples sont fournis sur la figure ci-contre. La partie jaune à gauche est convexe, tandis que la partie orange H en forme de haricot, ne l’est pas. La plus petite partie convexe qui contient H s’obtient en ajoutant la portion jaune bordée par H d’un côté et par un segment de l’autre ; la droite contenant ce segment vient toucher le bord de H en deux points distincts. Ce fait, à lui seul, montre que H ne peut pas être de largeur constante car si l’on serre H avec une clé anglaise dont un côté touche le bord de H en deux points, alors on ne peut plus tourner H sans agrandir l’écart de la clé.

Ainsi, lorsque D est une partie du plan de largeur constante alors, après avoir boucher les trous éventuels de D on obtient une partie convexe qui reste de largeur constante. De plus, le bord de cette partie ne contient aucun segment ; autrement dit, les droites parallèles qui viennent enserrer D de part et d’autre touchent chacune D en exactement un point.

L’étude des parties du plan de largeur constante se ramène donc à l’étude de celles qui sont convexes.

Pour les parties convexes du plan, on dispose d’une caractérisation moins poétique de de la propriété largeur constante à l’aide de plaques d’égouts. La forme d’une plaque d’égouts doit être telle qu’elle ne peut jamais tomber dans le trou qu’elle vient boucher. Si le trou a la forme d’un triangle de Reuleaux, d’un disque, ou de toute autre courbe de largeur constante, alors la plaque qui vient l’obstruer ne peut tomber : quel que soit l’orientation de la plaque, elle touchera les bords du trou sans pouvoir chuter sur la tête de l’ouvrier travaillant au fond. A l’inverse, la plaque verte ci-dessous n’est pas de largeur constante et, de fait, en tournant d’un quart de tour et en basculant, elle tomberait dans les égouts, son grand côté à la verticale et son petit côté à l’horizontal .

Il s’agit maintenant de construire de nouvelles parties convexes du plan qui sont de largeur constante, égale à 1 pour fixer les idées. Construire la partie ou la courbe qui l’encercle constituent le même problème. Nous chercherons donc à construire de telles courbes, et parlerons decourbes de largeur constante.

C’est encore le mécanicien Franz Reuleaux [1] qui nous apporte des exemples. On peut tout d’abord répéter une construction similaire en remplaçant le triangle équilatéral ABC utilisé ci-dessus par un polygone régulier ayant un nombre impair de côtés. Plutôt que de se livrer à un cours sur la construction de polygones réguliers, contentons nous de contempler un film délicieusement vintage.

On peut aussi reprendre la construction au compas que nous avons décrite en la généralisant au p’tit bonheur la chance. Pour cela on part d’un point A0 et l’on trace un petit arc de cercle C1 centré en A0 dont l’on note A1 et A2 les extrémités. On trace ensuite un arc de cercle centré en A1partant de A0 et s’approchant de A2 et un arc de cercle centré en A2 partant de A0 et s’approchant de A1 Deux nouvelles extrémités apparaissent et l’on répète le procédé à partir de celles-ci. En traçant un nombre impair d’arcs de cercles on peut ainsi tracer une courbe qui est la frontière d’une partie convexe de largeur constante. La figure ci-dessous illustre ce procédé. [2]

Nous disposons donc maintenant de nombreuses parties du plan qui sont de largeur constante. On peut déjà se féliciter : l’architecture en a profité, les pièces de monnaie, et les moteurs aussi. Le lecteur en verra apparaître au fil des illustrations de ce texte. Mon but maintenant est de mener le lecteur à un joli problème de mathématique encore ouvert de nos jours, et pour cela mieux vaut passer directement à la suite.

Buffon et Didon

Les courbes de largeur constante donnée ont un périmètre fixé ! Ainsi, le triangle de Reuleaux, comme toute courbe de largeur constante égale à 1, a le même périmètre que le disque de diamètre unité, il vaut  Le film vintage mentionné ci-dessus illustre ceci aux alentours d’une minute et vingt seconde. Cette propriété remarquable peut être démontrée en faisant appel à un autre objet mathématique célèbre, l’aiguille de Buffon. Le problème de l’aiguille de Buffon est le suivant. Traçons des droites parallèles sur le sol en les espaçant régulièrement de sorte que la distance entre deux droites consécutives est constamment égale à une distance L fixée. Prenons maintenant une aiguille de longueur l plus petite que L ; ainsi, lorsque l’aiguille repose sur le plan, elle coupe au plus une des droites que nous avons tracées. Le problème proposé par Buffon en 1733 est le suivant : quelle est la probabilité que l’aiguille, lancée au hasard sur le plan, coupe l’une des droites tracées ? La réponse est

2lL

Ainsi, lorsque l’espace entre les droites parallèles est fixé à L=1 cette probabilité vaut (2)l Si l’on fait un grand nombre de lancers de l’aiguille sur le plan, le nombre des lancers pour lesquels l’aiguille intersecte l’une des droites du quadrillage sera donc approximativement égal à

2(longueur de l'aiguille)(nombre de lancers)

Ou encore, si l’on lance notre aiguille N fois et que l’on note I le nombre total d’intersections observées, alors

longueur de l'aiguille2IN

l’égalité devenant exacte dans la limite d’un nombre infini de lancers. Ceci vaut en fait pour n’importe quelle courbe Z Supposons en effet qu’on veuille calculer la longueur d’une courbe Z tracée dans un plan. Prenons du fil de fer et tordons-le pour qu’il épouse la forme de la courbe ZAllons ensuite nous placer au-dessus d’un parquet dont les lattes sont toutes de largeur 1 Lançons le fil de fer sur le parquet et considérons le nombre de points d’intersection total entre la courbe en fil de fer et les droites qui bordent les lattes. Si la courbe Z est un segment de longueur inférieure à 1 nous observons à chaque fois 0 ou 1 intersection. Mais pour une courbe Z plus longue ou plus tordue, plusieurs points d’intersection peuvent être obtenus. Maintenant, effectuons N lancers et faisons la somme I de toutes les intersections observées. Alors, lorsque N tend vers l’infini, le rapport (2)(IN) tend vers la longueur de la courbe Z

Avec un peu d’imagination, nous pouvons maintenant inverser le lancer. La courbe Z est maintenant tracée au sol, immobile. C’est le plancher qu’on va lancer. Si cela vous inquiète, pensez à une grande feuille de papier calque rayée de droites parallèles faisant des bandes de largeur unité. Nous pouvons lancer le calque sur la courbe Z aléatoirement un grand nombre N de fois. Notons encore I le nombre total d’intersections observées entre les droites tracées sur le calque et la courbe Z Quand le nombre de lancers devient très grand, le rapport IN s’approche de(2) (Longueur de Z). [3]

Nous pouvons maintenant démontrer la propriété des courbes de largeur constante annoncée. Prenons une courbe de largeur constante égale à1 Lançons la sur un plan qui a été rayé de droites parallèles espacées d’une unité. Une fois sur le plan, la courbe ne peut être située dans une bande entre deux des droites sans toucher aucune de ces droites, car sinon sa largeur serait inférieure à la largeur de la bande, donc inférieure (strictement) à 1 Seuls deux cas peuvent donc se produire. Ou bien la courbe coupe une droite en deux points : elle est à cheval entre les deux bandes situées de part et d’autre de la droite. Ou bien la courbe est contenue dans une bande, mais touche les deux droites qui la délimitent. Ainsi, dans tous les cas, le nombre de points d’intersection de la courbe avec les droites tracées dans le plan est égal à 2 ; ceci quelque soit le lancer effectué. Si l’on effectue N lancers, le nombre total d’intersections est donc égal à 2N La formule de Buffon fournit alors

longueur d'une courbe de largeur constante 1 =22=

On retrouve le périmètre du disque de diamètre 1 (donc de rayon 12) : toutes les courbes de largeur constante égale à 1 partagent le même périmètre  De même, le périmètre des courbes de largeur constante L est égal à L

Ceci, plus la solution du problème de Didon [4] nous apprend que le cercle est la courbe de largeur constante donnée qui enclôt l’aire la plus grande. Les triangles de Reuleaux admettent une caractérisation opposée :

Théorème de Blaschke et Lebesgue

Les courbes de largeur constante donnée qui entourent une aire minimale sont les triangles de Reuleaux.

Cette caractérisation des triangles de Reuleaux est dûe à Wilhelm Blaschke et Henri Lebesgue, elle date des années 1910, et est difficile à établir.

Nous pouvons maintenant contempler un joli film issu du site russe déjà cité par Étienne Ghys dans son article sur la machine à marcher. Il illustre élégamment les remarques précédentes et décrit

• une autre construction de courbes de largeur constante ;
• un moteur d’automobile utilisant le triangle de Reuleaux ;
• un mécanisme utilisé pour les projecteurs cinématographiques.

Hexagones de Julius Pál

Si je n’ose présenter ici une preuve de la caractérisation des triangles de Reuleaux dûe à Blaschke et Lebesgue, je ne peux m’empêcher d’expliquer une jolie construction qui permet de comparer toute courbe de largeur constante à des triangles de Reuleaux qui lui sont proches et qui peut donc être utilisée pour démontrer le théorème de Blaschke et Lebesgue. Cette construction est dûe à un mathématicien hongrois, Julius Pál.

Pour la comprendre, commençons par un problème de nature différente qui tracasse pas mal de familles les dimanches d’été : pendant que grand-père se fait roussir la barbe au-dessus du barbecue, papa essaie de placer au milieu de la pelouse la table de jardin qu’il vient d’acheter. Au bout d’un quart d’heure de jurons, il rentre se servir un pastis en hurlant qu’à cause de cette satanée pelouse sa table ne sera jamais stable. Et pourtant. Pourtant, il suffit d’opérer comme suit. Plaçons la table au hasard sur la pelouse ; si elle est bancale, c’est que deux pieds de la table situés en diagonale sont sur le sol, tandis que chacun des deux autres pieds est soit sur le sol, soit décolé, suivant qu’on appuie ici ou là ; il y a donc deux diagonales distinctes, la diagonale d’appui et la diagonale bancale. Tournons maintenant la table progressivement d’un quart de tour. La position finale des diagonales a été inversée, la diagonale d’appui est devenue bancale et la diagonale bancale a maintenant les deux pieds sur terre. Ainsi, au cours de la rotation de la table d’un quart de tour, il y a au moins une position où les deux diagonales échangent leur rôle ; à ce moment là, les quatre pieds de la table touchent le sol simultanément et la table n’est plus bancale (en revanche, elle peut être légèrement penchée suivant l’inclinaison de la pelouse).

Appliquons ce principe de démonstration pour nos courbes de largueur constante. Nous allons montrer que toute courbe de largeur constante est inscrite dans un hexagone régulier dont les côtés sont tous tangents à la courbe. Chaque côté de l’hexagone touche donc la courbe en un unique point. Les hexagones réguliers sont ceux pour lesquels tous les côtés ont même longueur et tous les angles aux sommets sont égaux ; ces deniers valent 120 (soit un tiers de tour). Voici un tel hexagone, avec un triangle de Reuleaux inscrit à l’intérieur pour décorer.

Voici maintenant un hexagone régulier, à gauche et, à droite, un hexagone obtenu en faisant coulisser deux côtés parallèles de l’hexagone précédent. De la sorte, nous n’avons changé ni les angles aux sommets ni l’écart entre les côtés opposés ; pourtant, le nouvel hexagone n’est pas régulier.

Donnons nous une courbe P de largeur constante égale à 1 Choisissons deux droites parallèles L et L venant toucher la courbe en deux points opposés ; elles sont donc séparées l’une de l’autre d’une unité. Ce choix étant fait, il existe deux paires de droites qui font un angle de120 avec les deux premières et viennent enserrer la courbe P en des points opposés ; la distance entre ces droites est encore égale à 1 carP est de largeur constante. A priori, l’hexagone formé par ces 6 droites n’est pas régulier car, pour qu’il le soit, il faut que ses 6 côtés aient même longueur, ce qui n’est pas automatique. C’est toutefois un hexagone très spécial : les angles aux sommets valent bien 120 et l’écart entre deux côtés parallèles quelconques est égal à 1 Notons A B C D E et F les sommets successifs de cet hexagone (voir la figure ci-dessous).

On remarque alors que cet hexagone est régulier dès que la longueur AB est égale à la longueur DE Si ce n’est pas le cas, on peut donc supposer que AB est strictement plus grand (ou plus petit) que DE Faisons maintenant tourner progressivement cette construction en conservant l’appellation des sommets : la courbe P est fixe, mais les deux droites parallèles L et L font un demi tour, si bien que les six sommets tournent autour de P Une fois le demi tour complètement effectué, les sommets A et B ont été échangés avec les sommets D et E Si la longueur initiale AB est plus grande (ou plus petite) que DE c’est le contraire qui se produit après ce demi tour ; il y a donc bien un instant au cours de la rotation pour lequel AB=DE et pour cet instant l’hexagone ABCDEF est régulier, ce qu’il fallait démontrer.

La figure suivante représente une courbe de largeur constante (elle borde l’union des zones oranges et jaune), un hexagone régulier dans lequel elle est inscrite, et un triangle de Reuleaux qui lui est proche (il entoure la partie jaune et les trois portions vertes). Le lecteur curieux pourra consulter le chapitre 7 du livre [5] pour voir comment cette figure montre que les triangles de Reuleaux entourent une aire minimale.

Solides de Meissner

Quel est l’analogue du triangle de Reuleaux pour les solides convexes, c’est-à-dire pour les parties convexes de l’espace de dimension 3 ? Il s’agit d’abord de savoir comment transposer la propriété « de largeur constante » en dimension 3 Nous dirons donc qu’un solide S est de largeur constante si la largeur entre deux plans parallèles quelconques qui viennent serrer le solide est constante. Pour visualiser cette définition, il suffit de penser à une presse constituée de deux plaques reliées par un pas de vis : posons le solide S sur la plaque inférieure et manœuvrons la presse pour que la plaque supérieure vienne serrer le solide ; S est de largeur constante si la hauteur de la plaque supérieure ne doit pas dépendre de la position du solide S

Prenons une courbe de largeur constante qui possède un axe de symétrie, par exemple le triangle de Reuleaux, ou la pièce de fifty pence représentée ci-dessous, puis faisons tourner la courbe dans l’espace autour de son axe. Le solide entouré par cette surface est de largeur constante.

Une autre construction consiste à généraliser celle du triangle de Reuleaux. Prenons donc un tétraèdre régulier. C’est une pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Les quatre sommets A B C et D sont donc tous à la même distance (disons d’une unité) les uns des autres. La sphère de centre A et de rayon 1 passe ainsi par B C et D L’intersection des quatre sphères de centre 1 centrées aux sommets forme un solide parfois appelé tétraèdre de Reuleaux. Le malheur, c’est qu’il n’est pas de largeur constante. Le bonheur, c’est qu’on peut modifier légèrement la construction pour qu’il le devienne. L’idée est dûe à Ernst Meissner et Friedrich Schilling : prenons l’un des côtés T du tétraèdre initial et prolongeons un peu les deux faces contenant ce côté. Elles viennent alors intersecter le tétraèdre de Reuleaux sur deux arcs de cercles C1 et C2 Retirons la partie située entre C1 et C2 et remplaçons-la par le nouveau morceau obtenu en faisant tourner l’arc de cercleC1 jusqu’à l’arc de cercle C2 autour de l’axe T On répète alors cette opération trois fois, soit avec trois côtés T T et T" qui bordent une face du tétraèdre soit avec trois côtés partant d’un même sommet. Nous obtenons deux solides différents, les deux solides de Meissner, qui sont de largeur constante. Pour contempler l’un de ces solides, le mieux est de se rendre sur la page créée par Cristof Weber, de l’université de Zurich.

Le problème ouvert que j’ai mentionné plus haut s’énonce ainsi :

Question

Les solides de largeur constante donnée dont le volume est minimum sont-ils exactement les solides de Meissner ?

Apparemment, la réponse n’est pas connue.

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Notes

[1] Franz Reuleaux (1829-1905) est un mécanicien allemand du dix-neuvième siècle réputé qui a contribué à de nombreuses avancées en mécanique, cinématique, et ingénierie. Il fût parfois critiqué, paraît-il, pour avoir une approche un peu trop mathématique de la mécanique... L’ université Cornell, aux Etats-Unis, a créé un bâtiment en son honneur et lui dédie plusieurs sites web : site de la bibliothèque ; site du laboratoire de mathématique .

[2] Cette construction est un progrès véritable, puisqu’on peut

• passer à la limite en utilisant une infinité d’arcs de cercles pour construire de nouvelles courbes de largeur constante ;
• démontrer que toute courbe de largeur constante (égale à 1) peut être approchée par des courbes ainsi formées par des morceaux de cercles de rayon 1

[3] La formule de Cauchy et Crofton dit essentiellement la même chose : la somme (ou plutôt l’intégrale), sur l’ensemble des droites affines du plan, du nombre de points d’intersection entre les droites et une courbe Z fixée est égale à (une constante fixe fois) la longueur de la courbe. Il faut intégrer par rapport à une mesure sur l’espace des droites qui est invariante par rotations et translations ; le choix de la mesure détermine la constante.

[4] Voir le billet de Benoît Kloeckner sur l’inégalité isopérimétrique

[5] H. G. Eggleston : Convexity, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 47, (1958), Cambridge University Press

 

Source : http://images.math.cnrs.fr/Le-triangle-de-Reuleaux.html

Louis Bachelier

11 mars 1870 - 28 avril 1946

Le 15 octobre 2006, par Laurent Carraro et Pierre Crépel

(Cet article, écrit en 2006, est issu de la version papier d’Images des mathématiques.)

Incroyable destinée, pour un mathématicien contemporain, que celle de Bachelier, qui fut d’abord déconsidéré, qui obtint son premier poste fixe à l’université (de Besançon) à 57 ans, et ne devint célèbre que 20 ans après sa mort.

LOUIS Bachelier naquit au Havre, dans une famille habituée aux affaires bancaires et commerciales. Il fit des études sans éclat, puis soutint son doctorat sous la direction de Poincaré le 29 mars 1900, avec seulement la mention “honorable”, sous le titre “Théorie de la spéculation”. Ce travail, qui a pour objet l’application du calcul des probabilités aux opérations de la Bourse, est suivi de nombreux autres notes, mémoires et ouvrages originaux sur les probabilités, rédigés malgré la situation très précaire de leur auteur.

La thèse de Bachelier contient, et cela de trois façons différentes, la première théorie mathématique du mouvement brownien (cinq ans avant Einstein). Ainsi, en utilisant une terminologie moderne, le mouvement brownien est vu tour à tour comme le processus à accroissements indépendants et homogènes dont les trajectoires sont continues, comme le processus à temps continu limite de marches au hasard symétriques, et enfin comme le processus de Markov dont l’équation “forward” de Kolmogorov est l’équation de la chaleur. Bachelier procède à une étude “fine” des trajectoires du mouvement brownien trente ans avant Paul Lévy, à l’aide du principe de réflexion, de la propriété de Markov forte.

On peut interpréter cette thèse comme le confluent de deux traditions apparemment très éloignées :

• La première, qui sert de ligne directrice mathématique à son auteur, est celle de la physique mathématique française de J. Fourier, de G. Lamé et évidemment de H. Poincaré. Bachelier tire d’ailleurs explicitement ses analogies (tel le rayonnement de la probabilité) de ces idées.
• La seconde, ce sont les modèles de raisonnement tacites des spéculateurs en Bourse qu’on trouve, sous des expressions certes moins formalisées, dans la seconde moitié du XIXe siècle. Ainsi un ouvrage de Jules Regnault de 1863 renferme-t-il déjà, en termes plus “littéraires”, le cadre conceptuel de l’application du calcul des probabilités aux opérations de Bourse, notamment le fait que “l’écart pris sur un grand nombre d’opérations est en raison directe de la racine carrée du temps”.

Bachelier a été méprisé, fort peu lu et encore moins compris, et il en a beaucoup souffert : Gevrey et P. Lévy ont cru (à tort) qu’il s’était grossièrement trompé ; seul Kolmogorov a reconnu la profondeur de ses travaux, dans les années trente. Or, non seulement, sa thèse était remarquable, mais ses recherches ultérieures l’étaient quelquefois encore davantage et passèrent à peu près inaperçues, malgré un certain soutien de Poincaré.

Par exemple, son mémoire de 1906 donne-t-il les définitions de grandes classes de processus aléatoires apparus par la suite : processus à accroissements indépendants, processus de Markov, processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Ces définitions apparaissent comme conséquences d’une théorie plus générale : celle des équations différentielles stochastiques que Bachelier développe ici, sans toute la rigueur à laquelle nous sommes habitués maintenant, à l’aide d’un vocabulaire issu des jeux de hasard. Deux fonctions jouent un rôle central dans son mémoire, la première, appelée espérance relative à une partie est le terme de “drift” de l’équation différentielle stochastique, alors que la seconde, appelée fonction d’instabilité relative à une partie, est évidemment le coefficient de diffusion de cette même équation. Bachelier raisonne plutôt en trajectoire : ses équations définissent bien un mouvement, en cela il fait penser à Langevin (1908), puis à Itō et Lévy, plus tard. L. Bachelier a en outre introduit une théorie intéressante de la “probabilité inverse” et de la “probabilité des causes”, c’est-à-dire de l’estimation statistique, qu’il a d’ailleurs reprise dans un traité de calcul des probabilités, aussi clair que remarquable, publié en 1912.

N.B. Pour toutes précisions, voir Courtault Jean-Michel & Kabanov Youri (dir.), Louis Bachelier. Aux origines de la finance mathématiqueBesançon, Presses de l’Université de Franc-Comtoises, 2002.

Références

Bachelier, L. (1900), Théorie de la spéculation, Annales de l’Ecole Normale Supérieure, 17, p. 21-86

Bachelier, L. (1906), Théorie des probabilités continues, Journal de mathématiques pures et appliquées, 2, p. 259-327

Bachelier, L. (1912), Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris

Gobet, E. (2004), Les mathématiques appliquées au coeur de la finance, Images des mathématiques.

Regnault, J. (1863), Calcul des chances et philosophie de la Bourse, Mallet-Bachelier, Paris

 

Source : http://images.math.cnrs.fr/Louis-Bachelier.html

Mandelbulb

Le 16 janvier 2010, par Jos Leys

Mathematical Imagery (page web)

... ou la quête de l’ensemble Mandelbrot en trois dimensions.

IL y a un mois, on voyait apparaître un peu partout sur internet des images d’une nouvelle famille d’ensembles fractals. C’est un groupe d’amateurs, enthousiastes d’images fractales, qui en ont fait la découverte en collaborant dans un forum. Une discussion en ligne sur le sujet du « vrai Mandelbrot 3D » a démarré en septembre et avait plus de 500 contributions vers la fin de novembre. Des dizaines de personnes ont participé en faisant des suggestions de modifications sur les formules et sur les techniques de visualisations, mais on doit attribuer l’idée pour le Mandelbulb, le « bulbe Mandelbrot » à Daniel White etPaul Nylander.

De quoi s’agit-il ?

De nombreux lecteurs connaissent probablement l’image de gauche qui est l’ensemble Mandelbrot en 2D. Pour chaque nombre complexe c, on considère la transformation du plan complexe définie par zz2+c. Partant de z0=0, on itère cette transformation, c’est-à-dire qu’on construit la suite zn avec zn+1=z2n+c. L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des c qui sont tels que la suite zn ne tend pas vers l’infini quand l’entier n tend vers l’infini.

Prendre le carré du nombre complexe z revient à doubler l’argument et à élever au carré lemodule. On ajoute ensuite c. On obtient un nouveau point et on répète les mêmes opérations. Certains points vont rester près de l’origine, même après beaucoup d’itérations, et d’autres s’envolent vers l’infini. L’ensemble de Mandelbrot est donc la figure formée par les points c tels que l’origine 0 ne s’envole pas dans ce processus.

La figure est fractale : même élargie à l’extrême on voit des détails époustouflants (voir par exemple ce film, extrait de Dimensions, où on peut aussi voir l’effet de prendre le carré d’un nombre complexe sur une photo).

Il ne faut pas se limiter au carré d’un nombre complexe. Si on itère zzp+c, avec n’importe quel nombre p, on obtiendra aussi un ensemble de Mandelbrot. Voici les ensembles avec p=3, p=4 et p=8. Sur cette dernière image, remarquez les « bulbes » qui entourent la figure. Nous les rencontrerons à nouveau dans ce qui suit.

Depuis sa découverte en 1979 par Benoît Mandelbrot, de très nombreux amateurs ont créé des images fractales basées sur la simple formule d’itération que nous avons vue. Voilà donc une chose dont on a des millions de peintures, mais aucune sculpture !

Une question est devenue comme le Graal des amateurs de fractales : existe-t-il un équivalent en trois dimensions de l’ensemble Mandelbrot ?

L’ensemble Mandelbrot consiste d’une cardioïde entourée de cercles de toutes tailles, qui à leur tour sont entourés de différentes formes, comme des spirales, qui deviennent de plus en plus petites. Il y a des vrilles où poussent des copies minuscules de l’ensemble.

En trois dimensions, on imagine donc un corps principal muni de quelques sphères, et sur les sphères des sphères plus petites, etc. Il va de soi qu’on aimerait voir des vrilles où poussent des copies minuscules de l’ensemble qui à leur tour ont des vrilles microscopiques, etc.

Il faut dire tout de suite que personne n’a encore trouvé un tel objet mais, d’autre part, on n’a pas encore démontré qu’un tel objet n’existe pas. Cela donne la motivation aux amateurs de fractales de continuer leur quête !

Le « Bristorbrot »

Comment pourrait-on essayer de trouver un tel objet ? Voici un premier effort :

Pour l’ensemble de Mandelbrot, on a besoin de nombres complexes z=a+ib, avec i2=−1. On a donc :

z2=(a+ib)2=a2−b2+i2ab

On met la partie réelle a2−b2 sur l’axe x, et la partie imaginaire 2ab sur l’axe y. En trois dimensions il nous faudrait donc un nombre « supercomplexe » comme w=a+ib+jc, pour qu’on ait quelque chose à mettre sur une troisième axe z. Appelons les trois composantes simplement xyz.

Définissons ces nombres à trois composantes. On impose que i2=−1, j2=−1, ji=i, ij=−j. La multiplication de i et j n’est donc pas commutative. Si nous calculons w2=(a+ib+jc)2, on obtient

x=a2−b2−c2

y=2ab−bc

z=2ac+bc

Si on a c=0, on se trouve dans le plan xy et on a la même expression pour le carré que pour les nombres complexes habituels. Si on a b=0, on se trouve dans le plan xz et là encore on a la même expression. On peut donc s’attendre au fait qu’une itération ww2+c, où c est aussi un tel nombre « triplex », donne un objet 3D dont les coupes avec les plans xy et xz soient des ensembles de Mandelbrot.

C’est Doug Bristor, un programmeur anglais qui a proposé ce système en 1995 : voici ce que ça donne.

Voici les coupes à travers les plans xy (à gauche) et xz (à droite) :

Ici non plus, il ne faut pas se limiter à prendre le carré de ces nombres « triplex », on peut aussi dessiner des « Bristorbrot » de plus haut degré.

Si, dans zz2+c, c est une constante, on obtient un « ensemble de Julia ». Voici en dessous un ensemble de Julia selon Bristor de troisième degré.

Le système de Bristor est un bel effort mais on ne peut pas dire qu’on ait trouvé le Saint Graal !

Dessiner des objets fractals en 3D

Avant de revenir au Mandelbulb, parlons un peu des méthodes pour visualiser de tels objets 3D. Pour les fractales 2D il suffit de faire une itération pour chaque pixel de l’image. Si le point s’éloigne de l’origine il sera en dehors de l’ensemble et il reste à décider quelle couleur on donnera à ce pixel. On pourrait simplement colorer tous les pixels « en dehors » en blanc et les pixels « dedans » en noir, mais il y a beaucoup d’autres méthodes. On déclare un pixel comme « en dehors » si son module devient plus grand qu’un nombre qu’on a choisi à l’avance. Les méthodes pour colorer les pixels sont souvent basées sur le nombre d’itérations avant que le module ne devienne assez grand pour être déclaré « en dehors ».

Pour représenter un objet 3D, on doit penser à l’image comme un plan de projection. On choisit un point de vue virtuel et on tire des rayons de ce point de vue vers chaque point du plan de projection, donc vers chaque pixel de l’image. Pour chaque rayon, il faut maintenant découvrir si le rayon rencontre l’objet fractal et, si oui, à quel endroit sur le rayon.

Le plus simple serait de bouger un point sur un rayon vers le plan de projection à petits pas, faire l’itération à chaque pas, et s’arrêter quand l’itération du point sur le rayon nous dit qu’on est « dedans ». Le problème, évidemment, c’est qu’on ne sait pas a priori où se trouve l’objet fractal et on devrait prendre des pas infinitésimaux pour ne rien manquer (rappelez-vous que notre objet pourrait avoir des vrilles très fines) et on risque de prendre un grand nombre de pas inutiles si le rayon ne coupe même pas l’objet. Cela « coûte très cher » en temps de calcul.

Si par contre on connaît une estimation de la distance entre un point sur un rayon et l’objet fractal, on peut d’abord avancer avec un pas plus grand et ajuster les pas lorsqu’on s’approche de l’objet. Heureusement, on peut calculer une telle estimation, ce qui permet de dessiner les objets très rapidement. Vous trouverez les principes de deux méthodes en dépliant : la méthode « analytique » et une méthode développée parDavid Makin.

L’estimation de distance

Quand on a trouvé le point d’intersection d’un rayon avec l’objet, on doit encore colorer le pixel qui correspond à ce rayon. Heureusement, les fractales n’ont pas de couleur préférée, on peut donc choisir, mais ce sont bien des objets 3D dont la couleur va varier selon la lumière qui tombe sur ce point. Il faut aussi décider si le point est dans l’ombre ou pas. C’est pourquoi il faut savoir à quel endroit sur le rayon se trouve l’intersection, car cela va permettre de mettre en rapport la position du point et la position d’une source de lumière virtuelle. Pour faire tout cela correctement, il nous faut aussi la normale sur la surface fractale. Problème ! Les surfaces fractales n’ont pas de normale car elles sont a prioritrès irrégulières. On résout cela en trouvant quelques autres points d’intersection très près du point principal et en considérant la surface comme étant lisse localement. Avec les coordonnées de ces points on peut calculer un produit vectorielpour approximer une normale.

Cette technique de « raytracing » est assez rapide. Les images ci-dessous prennent environ une minute à calculer (taille 1000*1000 pixels) [2]. À noter qu’il est possible de programmer de tels algorithmes sur les processeurs de la carte graphique de l’ordinateur, ce qui permet de calculer ces images en une fraction d’une seconde !

Le « Mandelbulb »

Revenons sur la quête du Mandelbrot 3D.

Un point dans l’espace à trois dimensions est décrit par trois coordonnées xyz mais on peut aussi décrire la position du point par ses coordonnées sphériques. La position d’un point P à distance R de l’origine peut être décrit par deux angles t et p comme :

x=Rsin(p)cos(t)

y=Rsin(p)sin(t)

z=Rcos(p)

On obtient les angles par t=arctanxy et p=arctanzx2+y2 . [3]

Voici l’idée de Daniel White : comme le passage au carré consiste de doubler l’angle et à prendre le carré du module, on définit le « carré » d’un point en coordonnées sphériques comme

x=R2sin(2p)cos(2t), y=R2sin(2p)sin(2t), z=R2cos(2p).

ou plus généralement : x=Rqsin(qp)cos(qt), y=Rqsin(qp)sin(qt), z=Rqcos(qp). Cela permet donc d’effectuer une itérationwwq+c.

L’itération en détail

Voici ce qu’on obtient avec q=2.

Une déception ! L’objet ne ressemble même pas l’ensemble de Mandelbrot. Il est vrai qu’on repère quelques éléments fractals sur l’objet, comme les petits « arbres » sur le côté gauche mais si on veut trouver le fameux Graal, il va falloir chercher ailleurs, semble-t-il.

Mais pourquoi ne pas essayer ce que ça donne avec d’autres valeurs de q ? Essayons q=3 :

Cela va dans la bonne direction, c’est-à-dire que l’objet devient plus régulier. Alors on essaie q=4 :

En augmentant le degré il semble que de plus en plus de « bulbes » poussent sur l’objet. Prenons q=5 :

... et sautons vers q=8 :

C’est ce Mandelbulb de degré 8 qui est devenu le plus populaire mais rien ne nous empêche de dessiner le Mandelbulb de degré 16 :

Pour mieux apprécier les détails de l’objet, voici encore quelques vues de plus près :

L’animation en bas prouve que l’objet est bien fractal : c’est un zoom d’ordre 1012, ce qui veut dire que si la première image a la taille de la Terre, la dernière montre des détails d’un centième de millimètre...

Regardez aussi quelques autres images sur le site de l’auteur. On peut aussi admirer une image géante par Daniel White ici.

On n’a donc pas encore trouvé ce Saint Graal et la quête continue ; mais on a fait cette belle découverte du Mandelbulb en route. Si vous voulez participer et suivre quelles autres choses concoctent tous ces amateurs, il suffit de s’inscrire sur Fractalforums.com. Vous y serez le bienvenu !

Notes

[1] Jussi HARKONEN. On smooth fractal coloring techniques. (Master’s thesis)

[2] Les images de cet article ont été calculées avec le logiciel Ultrafractal sur un ordinateur à double cœur.

[3] Dans les algorithmes des logiciels, on utilise la fonction atan2(x,y) qui est équivalente à arctanxy, mais qui prend en compte les signes de x et yafin de mettre le résultat dans le bon quadrant.

 

Source : http://images.math.cnrs.fr/Mandelbulb.html

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