02/12/2010
Algèbre enveloppante
Algèbre enveloppante
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En mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante U(L) d'une algèbre de Lie L. Il s'agit une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de L. Si A est une algèbre associative sur un corps K, on peut facilement la munir d'une structure d'algèbre de Lie, en posant [x,y]=xy-yx. On note l'algèbre de Lie ainsi obtenue AL. La construction d'une algèbre enveloppante répond au problème réciproque : à partir d'une algèbre de Lie, on construit une algèbre associative dont le commutateur correspond au crochet dont on était parti. Soit L une algèbre de Lie sur un corps K. Soit T(L) l'algèbre tensorielle de L. On construit U(L) à partir de T(L) en imposant les relations . Plus formellement, on note I l'idéal bilatère engendré par les . U(L) est alors le quotient de T(L) par l'idéal I. L'injection canonique de L dans T(L) fournit alors un morphisme . On peut caractériser l'algèbre enveloppante de L par la propriété universelle suivante : U(L) est l'unique algèbre assocative telle que pour toute K-algèbre associative A et tout morphisme d'algèbre de Lie , il existe un unique morphisme d'algèbre associative tel que .Construction [modifier]
Propriété universelle [modifier]
Autres propriétés [modifier]
21:30 Publié dans Algèbre enveloppante | Lien permanent | Commentaires (0) | | del.icio.us | | Digg | Facebook