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21/11/2010

Sommation par parties

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d'Abel

Sommation par parties

(Redirigé depuis Lemme d'Abel)

La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel ou lemme d'Abel.

Sommaire

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Énoncé [modifier]

Soient deux suites $(a_n)_{ninN}$ et $(b_n)_{ninN}$ . Si l'on pose

$forall NinN, S_N = sum_{n=0}^N a_n b_n~text{et}~forall ninN, B_n = sum_{k=0}^n b_k~,$

alors

$forall NinN, S_N = a_N B_N - sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)~.$

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Démonstration

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de $S N$ .

Similitude avec l'intégration par parties [modifier]

La formule de l'intégration s'écrit : $int_a^b f(x) g'(x),dx = left[ f(x) g(x) right]_{a}^{b} - int_a^b f'(x) g(x),dx$
Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( $g' ,$ devient $g ,$ ) et à dériver l'autre ( $f ,$ devient $f' ,$ ).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans le domaine discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( $b_n ,$ devient $B_n ,$ ) et l'autre est différenciée ( $a_n ,$ devient $a_{n+1} - a_n ,$ ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications [modifier]

On se place par la suite dans le cas où $a_N b_N rightarrow 0$ , car sinon on sait que $(S_N),$ est grossièrement divergente.

Si $(B_n) ,$ est bornée par un réel M et que $sum_{nge0}(a_{n+1} - a_n)$ est une série absolument convergente, alors la série $(S_N),$ est convergente.

$|S_N| le |a_N B_N| + sum_{n=0}^{N-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n|$

La somme de la série vérifie par ailleurs l'inégalité : $S = sum_{n=0}^infty a_n b_n le M sum_{n=0}^infty |a_{n+1}-a_n|$

Exemples [modifier]

$a_n = frac{1}{n+1}$ et $b_n = (-1)^n ,$
$|B_n| le 1$ et $|a_{n+1}-a_n| = frac{1}{(n+1)(n+2)} le frac{1}{n^2}$
On sait que la série $sum_0^infty frac{1}{n^2}$ converge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
$S = 1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + ...$ converge.
NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.
$a_n = frac{1}{n}$ et $b_n = sin(n) ,$
(Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
Comme précédemment $sum_{n=1}^infty (frac{1}{n+1} - frac{1}{n})$ converge absolument, et $sum_{k=1}^n sin(k)$ est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
Par conséquent $sum_{n=1}^infty frac{sin(n)}{n}$ converge.
La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.