Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers

Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers

 

Théorie des nombres -- Nombres premiers
Théorie des nombres -- Factorisation

 

 

  Un nombre entier p positif supérieur strict à 1 est dit premier s'il n'admet que 2 diviseurs positifs : 1 et p (remarquons que 1 n'est pas premier). Dans le cas contraire, cet entier est dit composé.
Ex : 7 est premier. 24 est composé : 2 divise 24.

  Tout entier positif n>1 s'écrit comme produit de nombres premiers, et cette écriture est unique : on dit que l'on réalise ainsi sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Ex : 24=2³×3.

 

  C'est à Euclide que l'on doit la première démonstration de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers : s'il en existait juste un nombre fini p₁,...,p_r, on pose m=p₁...p_r+1, et q un facteur premier de m. Alors q n'est pas égal à un des p_i, car si p_i divise m, alors, puisque p_i divise le produit p₁...p_r, p_i divise 1, ce qui est absurde. Donc q est un nombre premier différent de p₁,...,p_r, ce qui contredit qu'il n'en existe qu'un nombre fini. Par le crible d'Erathostène, on peut écrire tous les nombres premiers inférieurs à une certaine quantité.

 

  Les nombres premiers sont redevenus récemment un sujet fort à la mode, en particulier pour leur utilisation dans la cryptographie RSA.

Consulter aussi...

    •Biographie de Euclide

 

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Source : http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&...