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21/11/2015

Nombres premiers jumeaux

Nombres premiers jumeaux

 
 

En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. Hormis pour le couple (2, 3), cet écart entre nombres premiers de 2 est le plus petit possible. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.

Au 25 décembre 2011, les plus grands nombres premiers jumeaux connus, découverts dans le cadre du projet de calcul distribué PrimeGrid, sont 3 756 801 695 685 × 2666 669 ± 1 ; ils possèdent 200 700 chiffres en écriture décimale.

Selon la conjecture des nombres premiers jumeaux, il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ; les observations numériques et des raisonnements heuristiquesjustifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.

 

 

Définition[modifier | modifier le code]

Soient p et q deux nombres premiers. On dit que (p, q) forme un couple de nombres premiers jumeaux si q = p + 2.

Liste des premiers nombres premiers jumeaux[modifier | modifier le code]

L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :

(3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31)
(41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109)
(137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199)
(227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311, 313)
(347, 349) (419 , 421) (431 , 433) (461 , 463) (521 , 523)
(569 , 571) (599 , 601) (617 , 619) (641 , 643) (659 , 661)
(809 , 811) (821 , 823) (827 , 829) (857 , 859) (881 , 883)

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le couple (2, 3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs.
  • Si l'on omet le couple (2, 3), la plus petite distance possible entre deux nombres premiers est 2 ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairsconsécutifs.
  • Tout couple de nombres premiers jumeaux, à l'exception du couple (3, 5), est de la forme (6n – 1, 6n + 1) pour un certain entier n. En effet, tout triplet d'entiers consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; l'entier qui se trouve entre les deux nombres premiers jumeaux est à la fois ce multiple de 2 et ce multiple de 3, car cela ne peut pas être l'un des nombres premiers.
  • Pour tout entier m ≥ 2, le couple (m, m + 2) est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si 4[(m - 1)! + 1] + m est divisible par m(m + 2). Cette caractérisation des nombres premiers jumeaux, remarquée par P. A. Clement en 19491, résulte du théorème de Wilson.
  • Alors que la série des inverses des nombres premiers est divergente, la série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente (vers un nombre appelé constante de Brun). Cette propriété fut démontrée par Viggo Brun en 19192.

Records[modifier | modifier le code]

Le 15 janvier 2007, les deux projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux connu à l'époque, de 58 711 chiffres en écriture décimale. Le découvreur était le Français Éric Vautier3.

Le 25 décembre 2011, le couple record3 est 3 756 801 695 685 × 2666 669 ± 1 ; les deux nombres possèdent 200 700 chiffres.

Conjecture des nombres premiers jumeaux[modifier | modifier le code]

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux:

Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi premier.

Cette conjecture partage avec l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach le numéro 8 des problèmes de Hilbert, énoncés par ce dernier en 1900. Bien que la plupart des chercheurs en théorie des nombres pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.

En 1849, Alphonse de Polignac émit une conjecture plus générale : la conjecture de Polignac :

Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières.

dont le cas n = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la première conjecture de Hardy-Littlewood (cf. infra), qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire du théorème des nombres premiers.

La conjecture des nombres premiers jumeaux est un cas particulier de la conjecture de Schinzel.

Résultats partiels[modifier | modifier le code]

En 1940, Paul Erdős démontra l'existence d'une constante positive c < 1 pour laquelle l'ensemble des nombres premiers p tels que p'p < c ln(p) est infini, où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.

Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Helmut Maier montra que c peut être choisi inférieur à 1/4. En 2005, Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım démontrèrent que c peut être choisi arbitrairement petit.

Par ailleurs, en 1966, Chen Jingrun démontra l'existence d'une infinité de « nombres premiers de Chen », c'est-à-dire de nombres premiers p tels que p + 2 soit premier ou semi-premier (un nombre semi-premier est le produit de deux nombres premiers). Son approche est celle de la théorie des cribles, qu'il a utilisée pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach (voir Théorème de Chen).

À partir de 2009, à la suite de la découverte d'une optimisation du crible d'Eratosthène, Zhang Yitang établit qu'il existe une infinité de nombres premiers consécutifs dont l'écart est inférieur à 70 000 000, résultat qui constitue une forme faible de la conjecture des nombres premiers jumeaux. Début 2013, le projet Polymath, un projet de mathématiques collaboratives mené par Tim Gowers et Terence Tao, a proposé de réduire progressivement cet écart N = 70 millions pour le faire tendre vers 2 : en septembre 2013 l'écart a été réduit à N = 4 6804,5. En novembre 2013, une amélioration significative de ces résultats est annoncée indépendamment par James Maynard (en) et Terence Tao6 : non seulement l'écart entre deux nombres premiers consécutifs est inférieur ou égal à 600 infiniment souvent, mais un résultat équivalent est valable pour m nombres premiers consécutifs, quel que soit m ≥ 2. Une nouvelle amélioration est annoncée par le projet Polymath (section Polymath8) début 2014 : d'une part, l'écart serait inférieur à 270 infiniment souvent, d'autre part, en admettant une version généralisée de la conjecture d'Elliott-Halberstam, l'écart serait alors inférieur ou égal à 67.

Le résultat de Zhang a été publié dans les Annals of Mathematics8. Dans un premier temps il a été difficile de trouver des relecteurs acceptant d'évaluer le travail9.

La conjecture de Hardy-Littlewood[modifier | modifier le code]

Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de première10 conjecture de Hardy-Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème des nombres premiers. Soit π2(x) le nombre de nombres premiers px tels que p + 2 soit aussi premier.

On note C2 le nombre obtenu de la façon suivante :

C_2 = prod_{pge 3} frac{p(p-2)}{(p-1)^2} approx 0,66016ldots11

(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3). C2 est appelé constante des nombres premiers jumeaux12 ou constante de Shah et Wilson13.

Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :

pi_2(x) sim 2 C_2 int_2^x {{rm d}t over (ln t)^2}

(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).

Comme le second membre a une limite infinie quand x tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini.

Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood14utilisée dans les recherches sur la conjecture de Goldbach.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) P. A. Clement, « Congruences for sets of primes », American Mathematical Monthly, vol. 56,‎ , p. 23-25 (lire en ligne [archive])
  2. Viggo Brun, « La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les dénominateurs sont « nombres premiers jumeaux » est convergente ou finie », Bulletin des Sciences Mathématiques, vol. 43,‎ , p. 100-104 et 124-128
  3. a et b (en) « Twin Primes » [archive], sur Top Twenty
  4. L'union fait la force des mathématiciens [archive], Le Monde, 24/06/2013.
  5. (en) Bounded gaps between primes [archive].
  6. (en) Polymath8b: Bounded intervals with many primes, after Maynard [archive], sur le blog de Terence Tao.
  7. (en) Annonce de ce résultat [archive] sur le blog de Gil Kalai (en)
  8. Y. Zhang, « Bounded gaps between primes », Annals of Mathematics, 179 (2014), p. 1121–1174
  9. John Friedlander, « Prime Numbers: A Much Needed Gap Is Finally Found », Notices of the American Mathematical Society, vol. 62, no 6,‎ (lire en ligne [archive]).
  10. Il existe une seconde conjecture de Hardy-Littlewood
  11. suite A005597 de l'OEIS des décimales de cette constante.
  12. (en) Eric W. Weisstein, « Twin Primes Constant [archive] », MathWorld
  13. François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983, p. 30 [archive]
  14. (en) Eric W. Weisstein, « Twin Prime Conjecture [archive] », MathWorld

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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23/11/2013

La distribution des nombres premiers - 1

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21/11/2010

Nombres premiers jumeaux

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_des_nombres_premi...

Nombres premiers jumeaux

En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. Hormis pour la paire (23), cette distance de 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 55 et 711 et 13.

Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2195000±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid1.

La conjecture des nombres premiers jumeaux stipule qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ; les observations numériques et des raisonnements heuristiquesjustifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.

Sommaire

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Définition [modifier]

Soit (p,q) un couple de nombres entiers tel que p et q soient tous les deux des nombres premiers et p < q. On dit que (p,q) forme un couple de nombres premiers jumeaux si q = p + 2.

Liste des premiers nombres premiers jumeaux [modifier]

L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :

(35) (57) (1113) (1719) (2931)
(4143) (5961) (7173) (101103) (107109)
(137139) (149151) (179181) (191193) (197199)
(227229) (239241) (269271) (281283) (311313)
(347, 349) (419 , 421) (431 , 433) (461 , 463) (521 , 523)
(569 , 571) (599 , 601) (617 , 619) (641 , 643) (659 , 661)
(809 , 811) (821 , 823) (827 , 829) (857 , 859) (881 , 883)

Quelques propriétés [modifier]

  • Le couple (2,3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs.
  • En omettant le couple (2,3), 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.
  • Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple (3,5)) est de la forme (6n − 1,6n + 1) pour un certain entier n. En effet, toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; ces deux multiples sont confondus entre les deux nombres premiers jumeaux.
  • Il est possible de démontrer que, pour tout entier m ge 2, le couple (m,m + 2) est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si 4[(m-1)! + 1] + m equiv 0 mod m(m+2). Cette caractérisation modulaire et factorielle des nombres premiers jumeaux a été découverte par P. A. Clement en19492.
  • La série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente vers la constante de Brun, au contraire de la série des inverses de nombres premiers. Cette propriété fut démontrée par Viggo Brun en 19193.

Record [modifier]

Le 15 janvier 2007, deux projets de calcul distribué, Twin Prime Search et PrimeGrid, ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux actuellement connu (c’est-à-dire en janvier 2007). Le découvreur est le français Éric Vautier1.

Le couple record est 2003663613 × 2195000±1 ; les deux nombres possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale.

Conjecture des nombres premiers jumeaux [modifier]

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux:

Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi premier.

Bien que la plupart des chercheurs en théorie des nombres pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.

En 1849Alphonse de Polignac émit une conjecture plus générale : la conjecture de De Polignac dont le cas n = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.

Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la conjecture de Hardy-Littlewood, qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire duthéorème des nombres premiers.

La conjecture des nombres premiers jumeaux est un cas particulier de la conjecture de Schinzel.

Résultats partiels [modifier]

En 1940Paul Erdős démontra l'existence d'une constante c < 1 et d'une infinité de nombres premiers p tels que :

p' − p < cln(p) où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.

Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Maier montra qu'une constante c < 0,25 pouvait être atteinte.

En 2003, Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout c > 0, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p' - p < c ln(p).

En 1966, J.R. Chen a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).

Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach.

La conjecture de Hardy-Littlewood [modifier]

Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de conjecture de Hardy - Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème des nombres premiers. Soit π2(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.

On note C2 le nombre obtenu de la façon suivante :

C_2 = prod_{pge 3} frac{p(p-2)}{(p-1)^2} approx 0,6601618158468695739278121100145 ...

(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3). C2 est appelé constante des nombres premiers jumeaux4

Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :

pi_2(x) sim 2 C_2 int_2^x {dt over (ln t)^2}

(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).

Comme le second membre à une limite infinie quand x tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini.

Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood5 utilisée dans les recherches sur la conjecture de Goldbach.

Notes et références [modifier]

  1. ↑ a et b (en) [pdf] Twin Prime SearchCommuniqué officiel de la découverte du 15 janvier 2007 [archive]
  2.  (en) P.A. Clement, Congruences for sets of primesAmerican Mathematical Monthly n° 56 (1949), pp. 23-25
  3.  Viggo Brun, La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ... où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie, Bulletin des Sciences Mathématiques n°43 (1919), pp. 100-104 et 124-128
  4.  Cette constante est parfois appelée constante de Shah-Wilson et son double nommée constante des nombres premiers jumeaux d'après Weisstein, Eric W. "Twin Primes Constant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource [archive]
  5.  d'après Weisstein, Eric W. "Twin Prime Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [archive]

Voir aussi [modifier]

Articles connexes [modifier]

Liens externes [modifier]

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