11/12/2010
Nombre surréel et pseudo-réel
En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'un corps1 qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif. Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total)2. Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont une sur-classe des nombres surréels, construit avec des conditions plus faibles que ces derniers.Nombre surréel et pseudo-réel
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La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind, mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés grâce à deux ensembles de nombres déjà construits, L et R (pour left et right, gauche et droite), éventuellement vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté Soient L et R deux ensembles de nombres surréels tels que : Alors, Étant donné un nombre surréel Pour éviter l'inflation d'accolades, on abrégera On constate qu'il s'agit d'une définition récurrente ; ce point sera explicité plus tard. Pour que la définition ci-dessus ait un sens, il est nécessaire de définir une relation binaire (notée ≤) sur les nombres surréels. Soient deux nombres surréels Là encore, cette définition est récurrente. Cette relation ne définit qu'un pré-ordre car elle n'est pas antisymétrique (on peut avoir Il s'agit d'une relation d'équivalence et l'ordre induit par Il est possible de montrer que ces opérations sont bien définies sur les nombres surréels. On peut les généraliser sans ambiguïté aux classes d'équivalence définie plus haut par : Finalement, on peut montrer que ces opérations sur les classes d'équivalence définissent un corps ordonné, avec la mention qu'elles ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Il est possible de montrer qu'il s'agit du plus grand corps ordonné, c'est-à-dire que tout corps ordonné peut y être plongé ; en particulier, ce corps est réel clos. À partir de maintenant, on ne fera plus la distinction entre un nombre surréel et sa classe d'équivalence et on appellera directement cette dernière nombre surréel. On l'a vu, les deux définitions précédentes utilisent le principe de récurrence. Il est possible d'utiliser la récurrence ordinaire, mais il est plus intéressant de prendre en compte larécurrence transfinie. Il est également nécessaire de créer un nombre surréel afin d'initier la récurrence ; Désignons par Nn, pour un ordinal n, l'ensemble des nombres surréels créés à l'étape n de la récurrence, en prenant Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes (par un raisonnement de récurrence ordinaire, donc) sont assimilés aux rationnels dyadiques (c'est-à-dire les nombres p / 2n où p et n sont entiers). On définit de proche en proche : Mais aussi de nouveaux objets qui ne sont pas des ordinaux, comme On peut montrer que On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de l'ensemble de droite ne peut être inférieur où égal à un élément quelconque de l'ensemble de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels. Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie des jeux combinatoires initiée par John Conway.Nombres surréels [modifier]
Présentation [modifier]
, sera plus grand que tout nombre de L et plus petit que tout nombre de R, selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction sur L et R : il faut que chaque nombre de L soit plus petit que chaque nombre de R.
Définition [modifier]
et tout
,
est un nombre surréel.
, on appelle XL et XR l'ensemble de gauche et l'ensemble de droite de X, respectivement.
en
,
en
et
en
.
Ordre [modifier]
et
.
si et seulement si pour tout
, on ne rencontre jamais
et si pour tout
, on n'a jamais
.
et
sans que X = Y, c'est le cas par exemple avec
et
). Pour contourner ce problème, on définit une nouvelle relation sur les nombres surréels :
.
sur les classes d'équivalences est un ordre total, une classe d'équivalence pouvant alors être considérée comme un nombre unique.
Opérations [modifier]
et
.
.
.
Construction [modifier]
peut être défini grâce à l'ensemble vide et répond à cette fonction.
. On appelle date de naissance d'un nombre surréel Xle plus petit ordinal n tel que
.
Exemples [modifier]
et
et
.
qui est plus grand que n'importe quel nombre entier
qui est strictement positif mais inférieur à tout
, pour n entier positif.
.
Nombres pseudo-réels [modifier]
Voir aussi [modifier]
Liens externes [modifier]
Bibliographie [modifier]
Notes et références [modifier]
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