Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiques

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiquesGilles Dowek

• Essai (broché). Paru en 03/2007
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Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires.
Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

Mathématicien, logicien et informaticien, Gilles Dowek est chercheur et professeur à l'Ecole polytechnique. Auteur de plusieurs ouvrages de vulgarisation dont, au Pommier, deux «Petites Pommes du savoir» et un volume de la collection «le collège de la cité», il a obtenu en 2000 le Prix d'Alembert des lycéens de la Société Mathématique de France.
De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques

Le récit de l'histoire des mathématiques commence souvent en Grèce au Ve siècle avant notre ère, quand Pythagore, d'un côté, Thaïes et Anaximandre, de l'autre, ont fondé les deux principales branches des mathématiques antiques : l'arithmétique et la géométrie. La fondation de l'arithmétique et de la géométrie constitue, certes, une révolution majeure dans l'histoire des mathématiques. Cependant, le récit ainsi commencé occulte une période importante que l'on peut appeler la «préhistoire» des mathématiques. Les hommes n'ont, en effet, pas attendu le Ve siècle avant notre ère pour tenter de résoudre les problèmes mathématiques, surtout les problèmes mathématiques concrets, qui se posaient à eux.

Les comptables et les arpenteurs

L'une des plus anciennes traces d'activité «mathématique» consiste en une tablette trouvée en Mésopotamie qui date de 2500 avant notre ère. Elle présente le calcul du nombre de per sonnes auxquelles on peut donner 7 mesures de grain, en puisant dans un grenier qui en contient 1152000. Sans surprise, le résultat, 164571 personnes, s'obtient en divisant 1152000 par 7. Les comptables mésopotamiens savaient donc faire des divi sions, bien avant la «naissance» de l'arithmétique. Il est même vraisemblable, quoiqu'il soit difficile d'avoir des certitudes en ce domaine, que l'écriture ait été inventée précisément pour tenir des livres de comptes et que les chiffres soient, de ce fait, anté rieurs aux lettres. Même si certains ont du mal à l'admettre, nous devons probablement l'ensemble de la culture écrite à la bien peu romantique profession de comptable.

Extrait du livre :
Deux mille ans de calcul

Après l'adoption de la méthode axiomatique, le raisonnement a souvent été présenté comme l'unique outil à utiliser pour résoudre un problème mathématique. Dans le discours qu'ils ont tenu sur leur science, les mathématiciens n'ont quasiment plus accordé de place au calcul. Le calcul n'a pourtant pas disparu de la pratique mathématique : à toutes les époques, les mathématiciens ont proposé de nouveaux algorithmes pour résoudre systématiquement certains types de problèmes. L'histoire des mathématiques a donc sa part lumineuse, celle des conjectures, des théorèmes et des démonstrations, et sa part d'ombre, celle des algorithmes.

Ce chapitre est consacré à trois moments de cette histoire. Ces trois moments, qui se situent à des époques différentes, nous amèneront à discuter différentes questions.

Le premier nous amènera à nous interroger sur la manière dont peut se résoudre l'apparente contradiction entre le discours sur les mathématiques, qui accorde peu de place au calcul, et la pratique mathématique, qui lui en donne une si grande, ainsi que sur la façon dont la transition entre la préhistoire des mathématiques et les mathématiques grecques a pu s'opérer. Le deuxième nous amènera à nous interroger sur la part relative des héritages mésopotamiens et grecs dans les mathématiques médiévales. Le dernier, enfin, nous fera réfléchir sur la raison pour laquelle, alors que la géométrie de l'Antiquité était centrée sur un petit nombre de figures géométriques - le triangle, le cercle, la parabole... -, de nombreuses nouvelles figures géométriques - la chaînette, la roulette... - sont apparues au XVIIe siècle.