La quatrième relation

La quatrième relation

      On peut aujourd'hui munir la géométrie du symbolisme spécifique cherché par Leibniz. Et ce symbolisme nous montre que la géométrie euclidienne repose sur quatre relations inséparables. Or de ces quatre relations nous continuons, vingt cinq siècles après Euclide, à n'en comprendre que trois ! Un sujet de réflexion aussi inédit que curieux.

Présentation

 

                         Leibniz pensait que lorsque on saurait trouver une écriture opératoire pour les figures de la Géométrie, elle constituerait un Art d'Inventer comparable à celui qui venait de se produire dans l'Algèbre grâce à l'introduction par Viète d'une écriture opératoire pour les équations. Or ce projet qui fut jugé utopique autrefois peut être réalisé aujourd'hui. Il est présenté sur ce site avec les nouvelles perspectives qu'il ouvre effectivement pour la géométrie.

 

Le contexte historique

 

                         En 1591 Viète publie l'Isagoge. Dans ce livre il montre qu'il est possible en algèbre de calculer avec les lettres exactement comme on calculait auparavant avec les nombres. L'introduction de ce symbolisme marque une véritable révolution en mathématique. Là où Diophante est obligé d'énoncer «  Partager un nombre donné tel que 100 par exemple en deux nombres dont la différence est donnée telle que 40 par exemple  », il suffit dorénavant de dire : «  Résoudre le système x+y=100 et x-y=40  ». De plus il permet de traiter directement la forme générale qui est «  Résoudre le système x+y=a et x-y=b  ». Les avantages du symbolisme ainsi introduit sont donc considérables. Ils viennent de ce que les énoncés rhétoriques d'antan ont été remplacés par une écriture opérationnelle à la fois réductrice et visuelle.

                         Le livre a un grand succès et très rapidement l'algèbre prend un essor fulgurant. Chacun tient à cœur d'y apporter des améliorations. Par exemple Descartes est le premier à affecter les notations x et y aux inconnues. Dans la foulée il montre aussi que les droites, les cercles et autres lignes mathématiques peuvent être elles aussi représentées par des équations et c'est le début de l'analytique.

                         Leibniz [1646–1716] apporte lui aussi sa contribution à l'édifice en posant les bases du calcul différentiel. Mais il a un projet beaucoup plus ambitieux qui est de trouver pour la géométrie la même écriture opératoire que celle que Viète vient de proposer pour l'algèbre, car il pense que l'analytique de Descartes n'est pas la bonne approche. Il donne à sa recherche le nom d'Analysis Situs. Par les descriptions extrêmement précises qu'il en fait dans ses notes nous comprenons à présent que cette écriture devait tenir à la fois des vecteurs et des complexes (voir la Note1). Mais en l'absence de ces connaissances indispensables il ne put pas mener son projet à bien.

 

L'audace de Descartes autrefois

 

                         L'introduction du symbolisme introduit par Viète permet alors une découverte qui est fondamentale. Dans son ouvrage La Géométrie publié en 1637 Descartes écrit "Il faut que je dise quelque chose sur la nature des équations" et il compare les deux équations (x-2)(x-3)(x-4)=0 et (x-2)(x-3)(x-4)(x+5)=0. Or comme à cette époque les nombres négatifs n'existent pas encore il est obligé d'admettre que ces deux équations différentes admettent pourtant les mêmes racines. Cette disparité qui n'était pas visuelle tant que les nouvelles notations n'avaient pas été introduites, devient désormais inacceptable et Descartes prend la décision de dire qu'il considère la seconde équation comme «  une équation dans laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2,3,4 et une fausse qui est 5  », et par la suite il traite absolument de la même façon les racines vraies et les racines fausses (Voir la Note2 ).

                         C'est une innovation absolument remarquable car à cette époque elle va à l'encontre du sens commun. Elle consiste finalement à dire que parmi les quatre sommes u+v, u-v, v+u et v-u que l'on peut écrire avec deux nombres naturels u et v, où pour fixer les idées on suppose u>v, la quatrième doit être aussi bien acceptée que les trois autres. Or ce faisant il se met à dos toute la communauté mathématique. Comment peut on imaginer un segment qui ait la longueur fausse 5 ? Et puisque x+5=0 c'est à dire x=0-5 comment peut on imaginer qu'on puisse enlever 5 à 0 ? Plusieurs années après, en 1670, Pascal, dans les Pensées écrit ironiquement «  Trop de vérité nous étonne. J'en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte quatre, reste zéro  ». (Voir la Note3 )

                         Et cette opposition se poursuit longtemps encore puisque en 1806 le grand mathématicien Carnot s'élève toujours contre cette possibilité. Dans un mémoire écrit à cette date il insère une Digression sur la Nature des Quantités dites Négatives où il écrit : «  Il y a des personnes qui regardent les quantités négatives isolées comme moindre que 0; mais cette opinion ne paraît nullement soutenable; car pour obtenir une pareille quantité, il faudrait pouvoir ôter quelque chose de rien, ce qui est absurde . » Et plus loin il trouve complètement farfelu que le produit de deux nombres moins que rien tels -4 et -5 puisse ensuite être supérieur à celui des deux nombres 2 et 3 qui leur sont pourtant supérieurs. (Voir la Note4 )

                         Maintenant que nous avons le recul nécessaire, nous savons comme l'innovation de Descartes fut fructueuse. En effet elle ouvrait la voie à toutes les extensions qui suivirent, celle des réels, puis des complexes, puis des quaternions.., extensions qui devinrent les fondements de toutes les merveilleuses mathématiques que nous avons aujourd'hui. Or par les réticences que cette innovation rencontra non seulement au début, mais aussi sur de nombreuses années, nous mesurons l'audace de Descartes qui, pour une simple raison d'harmonie, eut le courage d'aller à l'encontre de ce "trop de vérité" que lui reprocha Pascal.

 

Le conservatisme des mathématiciens d'aujourd'hui.

 

                         Les développements que nous allons présenter dans les pages suivantes vont être d'une ressemblance étonnante avec l'exemple précédent.

                         Le symbolisme introduit par Viète permettait d'écrire les équations de l'algèbre au lieu de les présenter sous la forme rhétorique qu'elles avaient avant lui. Pareillement le symbolisme que nous allons proposer va permettre d'écrire les figures de la géométrie au lieu de les décrire rhétoriquement comme le faisait Euclide il y a 25 siècles ... et comme le font encore les collégiens d'aujourd'hui, stagnation tout à fait unique dans l'histoire de la science .(voir Note 5)

                         Mais surtout, par la visualisation simplificatrice qu'il donnait dorénavant aux opérations de l'algèbre, le symbolisme de Viète fit apparaître dans nos calculs sur les nombres cette anomalie que Descartes trouva inacceptable, et qui consistait à dire que sur les quatre sommes u+v, u-v, v+u et v-u seules les trois premières avaient un sens. Pareillement la visualisation simplificatrice de notre symbolisme permettra d'écrire les relations fondamentales de la géométrie sous la forme de quatre égalités de même premier membre où les seconds membres seront (u,v), (u,-v), (v,u) et (v,-u), et nous poserons qu'il est inacceptable de dire que seules les trois premières ont un sens.

                         L'analogie continue malheureusement pour l'étape suivante. Comme on l'a vu les nombres négatifs furent d'emblée considérés autrefois comme absurdes car on ne leur trouvait pas de signification quand on essayait de les traduire avec les nombres alors connus. Et pareillement la quatrième relation qui va apparaître dans la géométrie euclidienne est aussi considérée comme absurde par les mathématiciens d'aujourd'hui car pour le moment on ne lui trouve pas de signification quand nous essayons de la traduire avec les nombres que nous connaissons.

 

 

                         Dans les pages suivantes nous allons donc montrer ce qu'aurait probablement été ce symbolisme auquel Leibniz aspirait. Sa validité n'est pas mise en cause comme le montre par exemple la citation ci dessus d'une correspondance de Monsieur Kahane, membre de la section mathématique de l'Académie des Sciences.

                         Ensuite la quatrième relation que les notations introduites sont les seules à faire apparaître nous place sur le seuil d'une extension prometteuse pour la géométrie euclidienne. Mais il reste à trouver le grand nom qui aura l'autorité et surtout l'audace de Descartes pour oser franchir ce seuil, et il n'y en a pas encore eu pour le moment.

Raymond Pouzergues

 

 

Notes

(1) Les lecteurs intéressés par ces conceptions de Leibniz pourront les lire dans l'excellent ouvrage de Louis Couturat "La Logique de Leibniz " consultable sur Gallica [cliquer ici]. On y trouve son rejet de l'analytique car "la géométrie analytique n'exprime les faits géométriques que d'une manière détournée et compliquée " [p399], son ambition que l' écriture des figures à laquelle il aspire permette de calculer de façon qu'on puisse "exprimer par ce calcul toute la nature et la définition de la figure " [p392], la forme que doit avoir cette écriture telle que "dans le calcul géométrique les lettres ou symboles quelconques ne représentent plus des grandeurs ni des nombres comme en algèbre mais des points et des combinaisons de points " [p 410] et enfin son pressentiment des nombres complexes identifiables comme on le sait avec les similitudes du plan puisque " la théorie de la similitude est par suite le fondement de la véritable analyse de situation" [p411]

(2) On peut consulter le texte entier au Livre III de son oeuvre: La Géométrie dont malheureusement on ne peut pas trouver le texte intégral sur Gallica.

(3) On trouve cette citation dans les Pensées de Pascal l'Homme sans Dieu Chapitre I [La pléiade p 1109]

(4) Le texte complet de cette Digression sur la Nature des Quantités dites Négatives se trouve dans Mémoire de Carnot [ cliquer ici ] à partir de la page 96. Il est vraiment surprenant.

(5) Le véritable essor de chacune de nos connaissances se fait à partir du moment où nous lui trouvons une écriture dédiée. Ce fut non seulement le cas pour l'algèbre, l'analyse et de nombreuses autres branches des mathématiques, mais aussi pour les relations de la physique, les formules de la chimie et même les partitions de la musique. Or nous n'avons jamais franchi le pas en géométrie. En effet lorsque on lit un énoncé rhétorique tel que " Si une sécante rencontre deux autres droites en faisant des angles alternes-internes égaux alors ces deux droites sont paralléles" [Euclide- proposition 27 du Livre I], force nous est de constater qu'on peut le trouver encore tel quel dans le livre de n'importe lequel de nos collégiens d'aujourd'hui. Cette stagnation dans ce qui est probablement la plus ancienne de nos connaissances est tout à fait surprenant, et ce qui est plus surprenant encore c'est que Leibniz semble avoir été le seul dans l'histoire des mathématiques à en prendre conscience.

Les bivecteurs

Dans cette page nous allons montrer ce qu'aurait probablement été l'Analysis Situs de Leibniz s'il avait réussi à la mettre au point. Nous nous contenterons d'une description générale qui suffira à en donner un aperçu.

 

                     L'intuition de Leibniz était qu'il fallait d'abord disposer d'un outil qui prenne en compte non seulement la longueur comme le fait le segment, mais aussi la situation c'est à dire la direction et le sens. Il anticipait ainsi le vecteur dont la théorie allait être élaborée au XIX° siècle. Nous la supposerons connue.

                     Rappelons qu'un même vecteur v est représenté par l'ensemble des flèches de même longueur, de même direction et de même sens. Comme nous allons principalement travailler avec eux les notations telles que AB, CD….désigneront toujours des vecteurs. Dans les autres cas nous expliciterons cas par cas les ensembles eux aussi définissables par deux points en mentionnant par exemple : soit la droite AB, soit le segment AB, soit la longueur AB, soit le diamètre AB, etc etc.

                     Ensuite l'intuition de Leibniz était de fonder son Analysis Situs sur la similitude. Par suite nous conviendrons 
- de noter (AB,AC) la similitude directe qui fait passer du vecteur AB au vecteur AC, 
- de noter )AB,AC( la similitude indirecte qui fait passer du vecteur AB au vecteur AC.
On sait que ces deux similitudes ont le même rapport. Elles ne diffèrent que par leur angle qui est celui de AB avec AC pour la première et celui de AC avec AB pour la seconde.

                     Si ( AB,AC)=(A'B',A'C') cela signifie que c'est la même similitude directe qui fait passer de AB à AC et de A'B' à A'C'. On dit alors que les triangles ABC et A'B'C' sont directement semblables. Et si (AB,AC)=)A'B',A'C'( c'est que les similitudes qui font passer de AB à AC et de A'B' à A'C' sont inverses l'une de l'autre. On dit alors que les triangles ABC et A'B'C' sont inversement semblables.

                     Ces notations purement géométriques auraient effectivement pu être trouvées par Leibniz et elles respectent bien sa volonté que «  …les lettres ou symboles quelconques ne représenteront plus des grandeurs ni des nombres comme en algèbre, mais des points et des combinaisons de points  ». Alors iI est remarquable de constater qu'elles suffisent pour pouvoir retrouver tous les résultats de la géométrie euclidienne.

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Egalités des bivecteurs

                     Nous appellerons bivecteurs ces couples de vecteurs. En se basant sur les propriétés des triangles semblables auxquels ils sont associés il est possible de donner les propriétés de toutes les égalités qu'ils permettent d'écrire. Mais aujourd'hui nous disposons d'un moyen beaucoup plus commode en identifiant chaque vecteur à son affixe complexe. Ainsi si u, v, u', v' sont respectivement des vecteurs ou bien les affixes complexes des vecteurs OA,OB,OA',OB' alors l'égalité (OA,OB)=(OA',OB') c'est à dire (u,v)=(u',v') correspond tout simplement à l'égalité complexe des rapports v/u=v'/u'. Les triangles OAB et OA'B' sont directement semblables.

                         Et de même l'égalité (OA,OB)=)OA',OB'( c'est à dire (u,v)=)u',v'( correspond à l'égalité du rapport v/u avec le conjugué du rapport v'/u'. Et cette fois ci les triangles OAB et OA'B' sont dits inversement semblables. Nous conserverons la même appellation que pour les complexes en disant que le bivecteur )u,v( est le conjugué du bivecteur (u,v).

 

Addition des bivecteurs

L'ensemble des bivecteurs peut être muni d'une addition par la convention suivante:

(u,v) + (u',v') = (OA,OB)+(OA',OB') = (OA,OB)+(OB,OC)= (OA,OC)

c'est la relation que nous appelons en France relation de Chasles c'est à dire

(u,v) + (v,w) = (u,w)

qui, avec les nombres complexes s'écrit (v/u).(w/v) = w/u

- cette addition donne à l'ensemble des bivecteurs une structure de groupe commutatif d'élément neutre le bivecteur nul (u,u)=0

- comme (u,v)+(v,u)=(u,u)=0 le bivecteur (v,u) est l'opposé du bivecteur (u,v).

 

Propriétés des bivecteurs

                         La correspondance avec les rapports de nombres complexes permet d'obtenir directement toutes les propriétés nécessaires dans les calculs utilisant les bivecteurs. Signalons en quelques unes:

- On a (-u,-v)=(u,v) et (-u,v)=(u,-v) ce qui permet de convenir d'une forme canonique pour les bivecteurs en ne les faisant jamais commencer par un vecteur précédé du signe -.

- Si (u,v)=(u',v') alors (u,u')=(v,v') ou bien (v,u)=(v',u') ou bien ….

- Quel que soit un nombre k réel alors (u,v) = (ku,kv)

- Quels que soient k et h alors (u,v) = (u',v') donne (u,v) = (ku+hu',kv+hv')

- Quels que soient les réels k,h,p,q alors

(u,v) = )u',v'( donne (ku+hv,pu+qv) = )ku'+hv',pu'+qv'(

et ainsi de suite. ...

                          Nous dirons que les égalités de la forme (u,v)=)u',v'( sont des égalités mixtes. Elles vont jouer un rôle prépondérant car elles font intervenir la symétrie cette relation à laquelle les chercheurs, à travers la chiralité, accordent une grande importance pour la compréhension de notre univers.

 

Les trois relations fondamentales

                          De la même façon que l'étude des nombres commence par la considération de ceux qui sont les plus simples, nous allons chercher quelles sont les égalités mixtes les plus simples qu'il est possible d'écrire.

                          Pour être non triviales elles doivent évidemment comprendre au moins deux vecteurs. En tenant compte de la forme canonique et des équivalences posées au paragraphe précédent on obtient alors quatre et seulement quatre relations qui sont

(u,v)=)u,v( ; (u,v)=)v,u( ; (u,v)=)u,-v( et enfin (u,v)=)v,-u(

                         L'égalité (u,v)=)u,v( impose que le complexe v/u soit égal à son conjugué c'est-à-dire que ce rapport soit réel. Par suite si (u,v)=)u,v( alors les vecteurs u et v sont colinéaires.

                         L'égalité (u,v)=)v,u( impose que le produit de v par son conjugué soit égal au produit de u par son conjugué, c'est-à-dire que leurs normes sont égales. Par suite si (u,v)=)v,u( alors les vecteurs u et v sont isométriques.

                         L'égalité (u,v)=)u,-v( impose que le complexe v/u soit opposé à son conjugué, c'est-à-dire que ce rapport soit un imaginaire pur. Par suite si (u,v)=)u,-v( alors les vecteurs u et v sont orthogonaux.

                          Si nous laissons pour le moment de coté la quatrième relation qui sera traitée à la page suivante nous observons que les trois égalités mixtes les plus simples que nous pouvons écrire avec les bivecteurs correspondent justement aux relations qu'Euclide a donné pour bases à la géométrie euclidienne.

 

Les trois relations fondamentales
de la
Géométrie Euclidienne

                     L'axiomatisation d'Euclide manquait de rigueur. En 1930 David Hilbert a fait paraître la dernière version d'un livre qui fait autorité en la matière "Les Fondements de la Géométrie" dans lequel il montre que celle-ci est toute entière déterminée par la seule donnée de 21 axiomes. Il les répartit en axiomes d'appartenance, d'ordre, de continuité et enfin seulement trois axiomes relationnels : le parallélisme des droites, la congruence des segments et la congruence des angles. Mais comme il ne se sert de cette dernière que pour démontrer les cas d'égalité des triangles quelconques, il aurait pu la remplacer par la relation de perpendicularité, puis s'en servir pour démontrer les cas d'égalité des triangles rectangles et passer ensuite aux triangles quelconques. Ainsi il est indifférent de remplacer la relation concernant la congruence des angles par la relation de perpendicularité.

                          Ainsi, au contraire d'Euclide et de Hilbert qui se sont seulement laissés guider par l'intuition, c'est par une démarche systématique que les bivecteurs font apparaître les trois relations fondamentales de la géométrie. Ensuite, de même qu'en arithmétique les chiffres permettent d'écrire tous les nombres, ces relations fondamentales vont nous permettre d'écrire toutes les figures de la géométrie.

                          Par exemple l'ensemble des points M situés sur la droite passant par les deux points distincts A et B est défini par la relation (MA,MB)=)MA,MB(, et l'ensemble des points du plan situés sur le cercle de diamètre AB est défini par la relation (MA,MB)=)MA,BM( ces deux relations pouvant d'ailleurs prendre de multiples formes différentes.

 

Enfin une écriture opératoire pour les figures de la géométrie.

                          Les bivecteurs permettent " d'écrire " les figures élémentaires de la géométrie au lieu de les décrire rhétoriquement comme nous le faisons encore maintenant et ce depuis Euclide en énonçant par exemple " On appelle triangle isocèle ABC de sommet A un triangle tel que ....".

Dorénavant:

le triangle isocèle ABC de sommet A s'écrit (AB,AC)=)AC,AB(

le triangle rectangle ABC de sommet A s'écrit (AB,AC)=)AB,CA(

le triangle équilatéral ABC s'écrit (AB,AC)=(BC,BA)

le triangle rectangle isocèle de sommet A s'écrit (AB,AC)=(AC,BA)

le quadrangle harmonique ABCD s'écrit ( AC,DA)=(BC,BD)

...........

                         Ensuite, de même que tous les nombres peuvent s'écrire à l'aide d'un ou de plusieurs chiffres, toutes les figures de la géométrie pourront s'écrire à l'aide d'une ou de plusieurs relations. Et si on convient d'appeler figures élémentaires celles qui s'écrivent au moyen d'une seule relation, on peut s'apercevoir que leur nombre est déjà assez conséquent puisqu'il résulte, en exceptant les vecteurs nuls, de toutes les combinaisons qu'il est possible d'écrire avec huit lettres différentes ou non dans des égalités mixtes ou non.

                          Le grand intérêt de cette notation est évidemment que chaque "écriture" est non seulement succinte mais que pourtant elle contient en elle-même l'ensemble des propriétés de la figure qu'elle définit.

                          Par exemple l'écriture textuelle « quadrangle harmonique » contient 20 lettres et ne nous donne aucune information sur la figure qu'elle désigne, à part que c'est un quadrangle. Il nous faut donc "apprendre" ces propriétés si nous voulons les connaitre.

                          Par contre l'écriture (AC,DA)=(BC,BD) ne contient que 8 lettres et, malgré cette concision, en appliquant les règles de calculs sur les bivecteurs, on peut en déduire absolument toutes les propriétés du quadrangle harmonique.

Donnons un exemple. Soit I le milieu de AB alors:

(AC,DA) = (BC,BD) = (AC+BC,BD+DA) = (2 IC,BA) = ( 2 IC, 2 IA) = (IC, IA)

de même :

(AC,DA) = (BC,BD) = (AC-BC, DA-BD) = (AB,2 DI ) = (2 AI, 2 DI) = (AI,DI) = (IA,ID)

                          Il en résulte que les trois triangles BCD, IAD, et ICA sont directement semblables d'où plusieurs propriétés concernant les angles et les longueurs de la figure. Par exemple en considérant la proportionnalité des cotés  on en déduit:

                 Dans un quadrangle harmonique les produits des cotés opposés sont égaux.

ou encore

                  Dans un quadrangle harmonique le produit des diagonales est égal au demi produit des cotés.

ou encore puisque (AC,DA)=(BC,BD) est équivalent à )AC,DA(=)BC,BD( par soustraction membres à membres on obtient (AC,DA)-)AC,DA(=(BC,BD)-)BC,BD( c'est à dire:

(AC,AD) - )AC,AD( = (BC,BD) - )BC,BD(

il est facile de voir que cette relation permet d'énoncer:

                  Dans un quadrangle harmonique les quatre sommets sont sur un même cercle

etc etc .

 

Conclusion

                          Si Leibniz avait pu mettre son Analysis Situs au point il est probable que leur pratique ultérieure aurait évidemment introduit à la longue de nombreux raccourcis de démonstrations. Il est d'ores et déjà facile d'en trouver quelques uns. Mais ce n'est pas le but ici.

                          En fait ses espérances étaient beaucoup plus ambitieuses. En effet en plus d'une approche complètement différente de la géométrie, et d'une écriture fonctionnelle de ses figures, il considérait que son Analysis Situs devait surtout être un Art d'Inventer, c'est à dire permettre des découvertes impossibles avec les autres approches. C'est ce que nous allons voir dans la page suivante.

l'Anoptrie

 

Apparition de l'Anoptrie.

                          Dans la page précédente, en cherchant quelles sont les égalités mixtes les plus simples qu'il soit possible d'écrire, nous avons vu qu'on obtient quatre et seulement quatre relations qui sont (u,v)=)u,v( ; (u,v)=)v,u( ; (u,v)=)u,-v( et enfin (u,v)=)v,-u(. Nous ne nous sommes intéressés qu'aux trois premières.

                          Si nous explicitons la quatrième relation avec les complexes elle se traduit par ||u||²+||v||²=0 . Par suite nous trouvons absurde de vouloir la prendre en considération. On se trouve exactement dans la même situation que ceux qui autrefois n'accordaient de sens qu'aux sommes u+v, u-v, v+u et trouvaient absurde qu'on puisse vouloir considérer v-u.

                          L'audace de Descartes en posant l'existence de nombres faux, a été de mettre cette quatrième opération sur le même pied d'égalité que les trois autres. Nous allons faire comme lui et mettre cette quatrième relation sur le même pied d'égalité que les trois autres. Nous l'appellerons Anoptrie ( formé sur le privatif a et la racine grecque optos=visible). Mais comme elle n'est pas accessible par l'écriture classique des complexes, nous utiliserons son écriture bivectorielle avec les seules règles de calcul qui ont été vues à la page précédente.

 

Premières propriétés de l'anoptrie

                     Nous dirons donc que deux vecteurs u et v sont anoptriques lorsqu'ils seront liés par la relation (u,v)=)v,-u(.

                     Cette relation n'est pas réflexive mais elle est symétrique ce qui se voit facilement. Quant à la transitivité, si u est anoptrique à v et si v est anoptrique à w alors:

(u,v)=)-v,u( et (v,w)=)w,-v( implique par addition que (u,w)=) w,u(

L'anoptrie n'est pas transitive, mais nous obtenon ce résultat intéressant:

Si deux vecteurs u et w sont anoptriques à un même vecteur v alors ils sont isométriques entre eux .

 

 

Triangles anoptriques

                     Intéressons nous à présent aux figures élémentaires du plan qui font intervenir l'anoptrie. 
- Un triangle ABC où les vecteurs AB et AC sont isométriques s'appelle triangle isocèle de sommet A. 
- Un triangle ABC où les vecteurs AB et AC sont orthogonaux s'appelle un triangle rectangle de sommet A. 
- De même un triangle ABC où les vecteurs AB et AC seront anoptriques s'appellera triangle anoptrique ABC de sommet A.

 

Exercice I

                     On sait que dans un triangle rectangle ABC la médiane AI partage ce triangle en deux triangles isocèles, et que dans un triangle isocèle ABC la médiane AI partage ce triangle en deux triangles rectangles. Cherchons alors quelle peut bien être la propriété de la médiane AI d'un triangle anoptrique ABC de sommet A ?

(AB,AC)=)AC,BA(

cad (AB+AC,AB+CA)=)AC+BA,AC+AB(

cad (2 AI , CB)=)BC, 2 AI(

cad (AI,CI)=)IC,AI(

cad (IA,IC)=)IC,AI(

                     Il en résulte que le triangle AIC est lui aussi anoptrique de sommet I. Et comme la démonstration est évidemment la même quand on travaille avec le triangle AIB on peut énoncer :

 

Théorème  : la médiane d'un triangle anoptrique partage ce triangle en deux triangles qui sont eux aussi anoptriques.

 

 

Exercice II

                     Dans un triangle isocèle les deux triangles formés par la médiane sont inversement semblables, et dans un triangle rectangle ces deux triangles sont isocèles. Qu'en est il pour le triangle anoptrique ABC de médiane AI ?

(AB,AC)=)AC,BA(

cad (AB,CB)=)AC, AB+AC(

cad (AB,2 IB)=)AC, 2 AI(

cad (BA,BI)=)AC,AI(

Les deux triangles BAI et ACI sont inversement semblables. Enonçons

 

Théorème  : la médiane au sommet d'un triangle anoptrique le partage en deux triangles inversement semblables.

 

Exercice III

                     Dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux, dans un triangle rectangle ils sont complémentaires. Etudions ceux qui sont à la base d'un triangle anoptrique ABC.

(AB,AC)=)AC,BA( cad (BA,BC)=)CA,CA+BA(

Posons D tel que BA = AD

on obtient : (BA,BC) = )CA, CD( = )CA,CB( + )CB,CD(

                     Comme C n'est pas aligné avec A,B et D l'angle de CB avec CD est quelconque. Par conséquent:

 

Théorème: En général il n'existe pas de relation particulière entre les angles à la base d'un triangle anoptrique

 

Exercice IV

                     Dans les triangles habituels la somme des trois angles du triangle est égale à l'angle plat. En est il de même pour un triangle anoptrique ABC de médiane AI.

(AB,AC)=)AC,BA( cad (CA, CA+AB)=)AB, AB+AC( cad (CA,CB)=)AB, 2 AI( 
et de même 
(AB,AC)=)AC,BA( cad (BA+AC,BA)=)CA+BA, CA( cad (BC,BA)=)2 AI, AC( 
d'où par addition

(AB,AC)+(BC,BA)+(CA,CB) = )AB,2 AI(+)2 AI, AC(+)AC,BA( = )AB,BA( cqfd

 

                      Théorème: Comme pour tous les autres triangles de la géométrie euclidienne, la somme des angles d'un triangle anoptrique est égale à un angle plat.

 

 

On arrive alors à une géométrie étonnante.

 

Exemple I

Considérons le triangle ABC anoptrique de sommet A on a donc (AB,AC) = )AC,BA(

c'est-à-dire que pour les longueurs qui se trouvent dans cette relation on a :
AC/AB = AB/AC cad AB² = AC ² cad AB = AC

Par conséquent les deux cotés relatifs au sommet d'un triangle anoptrique sont égaux, or nous avons vu que les angles à la base de ce triangle ne sont pas égaux!

 

                     Enonçons: Un triangle anoptrique est un triangle qui a deux cotés égaux, mais ses angles à la base ne sont pas égaux.

 

Exemple II

                     Nous avons vu que la médiane AI d'un triangle anoptrique ABC partage ce triangle en deux triangles inversement semblables BAI et ACI. Leurs cotés sont donc proportionnels et en particulier AI/CI=IB/IA c'est-à-dire IA² = IB x IC et comme I est le milieu de BC on a IA = IB = IC.

 

                     Enonçons: Le pied de la médiane d'un triangle anoptrique est équidistant des trois sommets du triangle mais ce triangle n'est pas rectangle.

 

 

Conclusion

                     Continuons à comparer la découverte des négatifs avec la découverte de l'anoptrie.

                     En travaillant, grâce aux notations introduites par Viète, sur les nombres négatifs qu'il appelait des nombres "faux", Descartes arrivait à des résultats qui lui paraissaient sûrement étranges. Il pouvait par exemple énoncer:

Dans le nouvel ensemble que nous venons d'obtenir il existe deux catégories de nombres entiers qui ont pour produit 6. Ce sont d'une part les couples de nombres "vrais" à savoir (1,6) et (2,3), et d'autre part des couples de nombres "faux" à savoir (-1,-6) et (-2,-3).

De même en travaillant, grâce aux bivecteurs, dans notre nouvelle géométrie, nous pouvons énoncer des résultats ici encore étranges. Par exemple

Dans la nouvelle géométrie que nous venons d'obtenir il existe deux catégories de triangles qui ont deux cotés égaux. Ce sont d'une part les triangles isocèles qui ont leurs angles à la base égaux, et d'autre part les triangles anoptriques qui n'ont pas les angles à la base égaux.

Ou encore

Dans la nouvelle géométrie que nous venons d'obtenir il existe deux catégories de triangles qui sont inscriptibles dans un cercle ayant leur base pour diamètre. Ce sont d'une part les triangles rectangles qui ont leurs angles à la base complémentaires, et d'autre part les triangles anoptriques qui n'ont pas leurs angles à la base complémentaires.

 

                     Notre stupéfaction est alors au moins égale à celle de Carnot dans sa Digression sur la Nature des Quantités dites Négatives. Il y énonce tout un tas de bizarreries qui nous font sourire aujourd'hui, mais qui pouvaient effectivement paraître étonnantes dans les débuts. Or il y avait quand même déjà 170 ans que Descartes avait introduit les nombres négatifs!

                     Pareillement l'anoptrie va offrir tout un tas de bizarreries dont nous ne venons de donner qu'un échantillon et qui par la suite participeront aux fondements de la géométrie euclidienne étendue à laquelle elle va donner naissance.

 

Objections

 

                      On trouvera ci dessous une compilation des objections et des questions qui m'ont été faites depuis la première présentation en 1988 de cette conception au congrés de géométrie organisé par les IREM de Montpellier où elle figure dans les actes de ce colloque sous le titre: 
             " De nouveaux outils pour les démonstrations géométrique"

 

 

Les bivecteurs et les complexes

 

Les bivecteurs ne sont qu'une écriture différente des nombres complexes. Introduire une notation nouvelle ne fait que compliquer inutilement les choses!

                      Les bivecteurs sont aux nombres complexes ce que les entiers relatifs sont aux entiers naturels. Dans leur partie commune on peut effectivement les confondre. Mais les relatifs permettent de donner un sens à des expressions telles que 3-5 alors qu'elle n'a pas de sens dans l'ensemble des naturels.

 

Quelles possibilités les bivecteurs offrent ils de plus que les complexes ?

                      Le premier exemple est que les bivecteurs donnent un sens à l'anoptrie alors que ce n'est pas le cas des complexes. Pareillement les relatifs donnaient un sens à la soustraction 3-5 ce que ne permettaient pas les nombres naturels.

                      Mais l'étude des bivecteurs montrera d'autres extensions impossibles avec les complexes. Par exemple, au contraire des complexes, ils peuvent s'étendre à l'espace oridinaire.

                      Pour cette extension on convient que deux bivecteurs de l'espace seront égaux ssi, en plus des conditions déjà posées, les plans qu'ils définissent sont parallèles.

                      On définit ensuite l'addition de deux bivecteurs quelconques (PQ,PR) et (P'Q',P'R') de la façon suivante: soient O et B deux points distincts sur l'intersection des plans PQR et P'Q'R'; alors dans le plan PQR on construit (OA,OB)=(PQ,PR) et dans le plan P'Q'R' on construit (OB,OC)=(P'Q',P'R').

                      L'addition de ces deux bivecteurs est alors définie par:

(PQ,PR)+(P'Q',P'R') = (OA,OB)+(OB,OC)=(OA,OC)

 

 

 

L'huis clos des nombres

 

Vous dites que, selon la prémonition de Leibniz, les bivecteurs sont un outil purement géométrique qui ne fait pas intervenir le nombre. Or les vecteurs sont munis d'une loi de composition externe sur un ensemble qui est R par exemple?

                      Oui. Et on s'est autorisé à écrire 2 AB au lieu de AB+AB. Mais à part quelques simplifications de ce genre il est facile de voir que la multiplication des vecteurs par un réel n'est ni nécessaire ni souhaitable.

 

Pour que deux vecteurs soient égaux il faut que leurs normes soient égales. Pour que deux bivecteurs soient égaux il faut que le rapport de leurs normes soient égales. Or ces normes sont bien des réels?

                      La norme est une connaissance qui permet de savoir si un vecteur est plus grand ou plus petit qu'un autre. Or dans la géométrie telle que nous la construisons cette connaissance est inutile. Il faut simplement savoir si deux vecteurs sont isomètriques ou non. Même chose pour les rapports des normes. Le vocabulaire nécessaire pour traduire ces propriétés manque. Le nom de norme est donc utilisé à défaut d'autre mais effectivement il est incorrect.

 

Pourquoi ce parti pris contre le nombre ?

                      Parce que, pour reprendre une image de Platon, le nombre nous maintient dans une espèce de caverne numérique, une espèce de huis clos. Il n'engendre que ce qu'il est programmé à engendrer. Seule la géométrie réussit à nous en sortir.

                      Par exemple les entiers naturels de l'antiquité n'engendraient que des rationnels. C'est par la géométrie que nous avons pu aller plus loin grâce à la célèbre démonstration d'Hippase de Metaponte qui, en utilisant le thèorème de Pythagore, a montré que la mesure de la diagonale du carré unitaire ne pouvait pas être rationnelle.

                      De même dans l'analytique de Descartes deux droites parallèles ne pouvaient pas se couper. Et c'est en utilisant la géométrie pure que Poncelet a découvert la géométrie projective qui allait plus tard ouvrir la voie à toutes les géométries non euclidiennes. Aussi, essayer de faire des découvertes en géométrie en passant par les nombres, comme nous le faisons actuellement, aurait consisté pour Poncelet a essayer de découvrir sa géométrie projective en utilisant l'analytique. C'était impossible.

                      Actuellement l'anoptrie n'est pas acceptée pour la seule raison que si nous l'abordons avec notre notation actuelle des complexes elle est "vide" (voir note 1). Observons que si ce critère avait été appliqué à la géométrie projective en l'abordant avec l'outil numérique dont on disposait à l'époque, c'est à dire l'analytique de Descartes, elle aurait subi le même sort.

                      Heureusement elle était assez élémentaire pour pouvoir être visualisée par les projections. Aussi elle fut prise en considération et quelques années après les coordonnées projectives permirent de lui apporter l'outil qu'il lui fallait. Car si le nombre est un mauvais maître il est par contre un excellent serviteur.

 

C'est quand même rassurant de savoir que vous ne bannissez pas complètement le nombre !

                      Bien évidemment. Mais les exemples qui viennent d'être donnés montrent que le nombre est pour ainsi dire " interprétatif " et qu'il n'est pas " créatif ".

- C'était donc une erreur dans l'antiquité de rejeter l'existence des irrationnels pour la raison qu'ils ne s'exprimaient pas comme des rapports d'entiers naturels les seuls nombres alors connus. 
- C'était donc une erreur à la Renaissance de rejeter l'existence des nombres négatifs pour la raison qu'ils ne pouvaient pas mesurer des longueurs dont on croyait que c'était la mission obligatoire pour les nombres. 
- Cela aurait été une erreur de refuser l'intersection des droites paralléles pour la raison qu'elle était impossible dans l'analytique de Descartes.
- Et pareillement je pense que c'est une erreur de la part de Messieurs Cartan ou Demailly pour ne citer qu'eux de refuser l'anoptrie pour la raison qu'elle ne peut pas s'interprèter avec les nombres que nous connaissons (voir note 2)

                      Ces exemples et sans doute bien d'autres encore montrent que les nombres opèrent chaque fois dans un ensemble dont ils nous empêchent de sortir c'est à dire en quelque sorte pour reprendre l'image de Platon à l'intérieur d'une espèce de "caverne numérique".(voir note 3)

 

Les lacunes actuelles

 

Pour en revenir à votre développement il est plein de lacunes. Par exemple dire que l'équation (MA,MB) = )MA,BM( est celle du cercle de diamètre AB est inexact car dans cette équation le point M ne peut être ni en A ni en B ?

                      Oui. Le cas des vecteurs nuls est une singularité à prendre en compte. Mais elle ne suffit pas à invalider l'utilisation des bivecteurs de même que le cas des dénominateurs nuls n'invalide pas les calculs avec les fractions.

                      Observons d'ailleurs que les transformations autorisées avec les bivecteurs permettent presque toujours de contourner ces singularités. Par exemple ici, en posant I milieu du segment AB, la relation devient (2 MI,BA)=)BA,2 MI( qui autorise les positions de M en A ou en B.

 

Votre exposé n'est pas cohérent non plus car vous dites par exemple que deux vecteurs AB et CD sont isomètriques quand ils vérifient la relation (AB,CD)=)CD,AB(. Mais ensuite vous dites que si (AB,CD)=)CD,BA( ils ne sont pas isomètriques, et quelques lignes plus loin qu'ils sont isomètriques. C'est proprement incompréhensible !

                      Oui c'est vrai. Cette confusion vient du fait que nous faisons les premiers pas avec la quatrième relation. De même Descartes semait lui aussi la confusion en parlant de nombre "vrai" 5 et de nombre " faux" 5.

                      Il faut réaliser que dans la géométrie basée sur les quatre relations il va y avoir désormais une analogie complète entre les directions et les isométries. Cette analogie permet de clarifier les choses.

                      Par exemple si, au lieu d'être des êtres d'un espace à trois dimensions, nous étions des êtres d'un espace à une seule dimension nous n'aurions pas conscience de l'orthogonalité. Alors nous dirions que les vecteurs MA et MB tels que (MA,MB)=)MA,MB( sont liés par une colinéarité "vraie", et que si (MA,MB)=)MA,BM( ils sont liés par une colinéarité "fausse". On observerait alors la même confusion. Mais comme nous ne sommes pas des êtres de dimension un et que nous concenvons les angles droits nous disons que cette colinéarité "fausse" est tout simplement l'orthogonalité.

                      C'est un aveuglement semblable qui nous empêche de distinguer ce que sont l'isomètrie "vraie" et l'isomètrie "fausse" et ces deux appellations ressemblantes sont effectivement trompeuses car elles sont aussi différentes entre elles que la colinéarité et l'orthogonalité. Par exemple à cause de sa propriété involutive l'orthogonalité est en quelque sorte une anti-colinéarité. De même l'anoptrie, elle aussi involutive, est une espèce d'anti-isomètrie.

 

 

Notre conservatisme irrémissible

 

La géométrie euclidienne a été étudiée depuis des millénaires et on sait tout sur elle depuis longtemps. Il est utopique de croire pouvoir "trouver quoi que ce soit que des milliers de spécialistes internationaux n'aient pas encore trouvé en dépit de décennies de labeur acharné " [Jean Pierre Demailly]

                      Ce serait utopique si quelqu'un découvrait que les développements présentés ici sont erronés ou bien ont déjà été proposés. Or ce n'est pas le cas.

 

 

La géométrie euclidienne est aujourd'hui une vieille lune. Les mathématiciens sont tous d'accord pour dire que son étude n'offre plus d'intérêt et leurs préoccupations vont dorénavant vers les géométries non euclidiennes.[Jean Dieudonné]

                      C'est un fait que les mathématiciens d'aujourd'hui poursuivent leurs recherches vers d'autres géométries. Mais voici sur ce sujet les avis autorisés de deux grands noms.

                      Dans son livre La Science et l'Hypothèse écrit en 1902, Henri Poincarré écrit:Que doit on penser de cette question: "La Géométrie Euclidienne est elle vraie?" Elle n'a aucun sens. Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre; elle peut seulement être plus commode. Or la géométrie euclidienne est et restera la plus commode"

                      Et Einstein dans un discours qu'il prononça devant l'Académie des Sciences de Berlin le 27 janvier 1921 et qui a été édité en français chez Gauthier-Villard en 1953 sous le titre La Géométrie et l'Expérience, déclara :  

                      «  De toutes les autres géométries axiomatiques concevables, la Géométrie Euclidienne se distingue par la simplicité. Et comme la géométrie axiomatique pure ne contient pas d'énoncés sur la réalité accessible à l'expérience, mais seulement la géométrie axiomatique en liaison avec des propositions physiques, il devrait être possible et raisonnable, quelle que soit la nature de la réalité, de conserver la Géométrie Euclidienne » .

                      Impossible d'être plus clair: quelle que soit la nature de la réalité il est raisonnable de conserver la Géométrie Euclidienne !

 

 

Ce qui compte dans une notion mathématique nouvelle c'est son utilité. Or l'anoptrie est inutile.

 

 

                      C'est effectivement une des conceptions possibles des mathématiques où on distingue deux attitudes fondamentalement différentes: celle des maths pures et celle des maths appliquées. Les maths pures s'intéressent à la connaissance pour la connaissance. L'anoptrie ne se justifie pour le moment que sous ce dernier point de vue par l'harmonie absolument parfaite avec laquelle elle s'intègre aux trois autres relations fondamentales.

                         C'est vrai que pour le moment nous ne la comprenons pas et par conséquent nous ne lui trouvons pas d'utilité. Mais au lieu de la rejeter nous devrions chercher à lui trouver son interprétation géométrique, ce qui peut effectivement demander beaucoup de temps. Souvenons nous qu'il s'est écoulé plus de deux siècles entre la découverte des complexes et la compréhension de leur signification géométrique.  

 

 

Pourquoi les scientifiques ne vous suivent ils pas ?

                      Les raisons qu'ils donnent viennent d'ètre exposées ci dessus. On voit qu'elles sont aussi réfutables que l'étaient autrefois, la raison de "vérité" donnée par Pascal ou la raison "d'absurdité" donnée par Carnot pour s'opposer aux nombres négatifs c'est à dire pour refuser exactement de la même façon de mettre sur le même pied d'égalité les quatre opérations u+v,u-v,v+u et v-u.

                      Le manque de curiosité des scientifiques devant la quatrième relation est par conséquent décevant à moins d'accepter l'explication qu'en donne Jean François Revel dans son livre La Connaissance Inutile publié en 1988 où il écrit:

                      «  Les idées qui nous intéressent le plus ne sont pas les idées nouvelles, ce sont les idées habituelles. L'essor de la science depuis le XVII° siècle nous incite à prêter à la nature humaine un congénital appétit de connaissances et une insatiable curiosité pour les faits. Or, l'histoire nous l'enseigne, si l'homme déploie, en effet, une intense activité intellectuelle, c'est pour construire de vastes systèmes explicatifs aussi verbeux qu'ingénieux, qui lui procurent le calme de l'esprit dans l'illusion d'une compréhension globale, plutôt que pour explorer humblement les réalités et s'ouvrir à des informations inconnues. La science, pour naître et se développer, a dû et doit encore lutter contre cette tendance primordiale, autour d'elle et dans son propre sein : l'indifférence au savoir  »

 

 

Pour pouvoir parler d'indifférence encore faudrait-il que de grands mathématiciens aient été mis au courant.

                      Dés le début, dans les années quatre vingt, j'ai informé quelques grands noms des mathématiques. Monsieur Dieudonné m'a répondu que la "géométrie pure était une vieille lune". Monsieur Demailly que "la géométrie euclidienne avait été étudiée depuis des siècles voire des millénaires". Monsieur Cartan, qui fut le plus aimable puisqu'il m'a même accordé une entrevue, transforma devant moi la relation (u,v)=)v,-u( en ||u||²+||v||²=0 et il me déclara sur le champ qu'il était "absurde" de vouloir aller plus loin.

                      Quand aux autres grands noms actuels comme Monsieur Connes (voir note 4) ou Monsieur Gromov ils ne m'ont pas donné leurs avis soit parce qu'ils n'ont pas d'autres raisons que celles données plus haut, soit, plus probablement, parce qu'ils sont effectivement indifférents à cette idée nouvelle .

 

 

Mais enfin réalisez vous de quelle suffisance vous faites preuve en vous opposant à des avis aussi illustres ?

                      Bien sûr que j'en ai conscience. Et c'est même la raison pour laquelle j'ai laissé dormir pendant des dizaines d'années au fond de mes tiroirs ces conceptions qui remontent maintenant à presque trente ans! Mais rien n'y fait et constamment elles reviennent à la charge.

                      Je suis exactement dans la position de ce berger d'il y a cinq ou six mille ans qui fut le premier à observer que dans le ciel certains astres se mettent parfois à reculer. Les plus grandes autorités de l'époque pouvaient bien lui affirmer que l'univers tournait autour de la terre, et lui n'être que le plus humble et le plus insignifiant des hommes, chaque fois qu'il regardait le ciel il devait se dire que le géocentrisme n'était pas la bonne explication.

                      Il n'y avait aucune suffisance dans cette attitude. De même, dans la simplicité de l'anoptrie et dans l'harmonie avec laquelle elle s'intègre aux trois autres relations de la géométrie, il y a une force de conviction qui l'emporte sur toutes les objections aussi augustes soient elles.

 

 

L'universalité de cette conception.

 

Une force de conviction devrait s'imposer à tout le monde.

                      Oui. Mais en pratique on observe que ce n'est pas le cas. Par exemple quand Galilée a montré que des satellites tournaient autour de Jupiter, c'était une force de conviction suffisante pour prouver que l'univers n'était pas géocentrique. Et pourtant elle n'a pas convaincu. Ici la force de conviction vient des trois observations manifestes suivantes:

                      D'abord le vecteur qui prend en compte toutes les informations données par un couple de points montre de façon évidente que le segment sur lequel Euclide a fondé notre géométrie était un outil trop rudimentaire.

                      Ensuite nous savons maintenant, d'après les travaux de Félix Klein exposés dans le Programme d'Erlangen, que la similitude est la transformation caractéristique de la géométrie euclidienne. Il en résulte que l'outil spécifique de cette géométrie ne peut être que le bivecteur.

                      Enfin ces bivecteurs permettent d'écrire quatre relations élémentaires, pas une de plus et pas une de moins. L'intuition d'Euclide et de Hilbert a pris pour base les trois qui nous sont perceptibles. Penser que la géométrie va se limiter à ces trois relations pour la seule raison que nous ne comprenons pas la quatrième est manifestement très prétentieux.

 

Quoi qu'il en soit c'est seulement la reconnaissance par les autres mathématiciens qui importe !

                      Effectivement. Mais l'universalité de cette notion nouvelle procure une satisfaction indépendante. C'est sans doute ce que voulait dire Platon quand il écrit que " la Géométrie est une merveille qui manifeste son caractère divin à l'homme capable de la concevoir " [Epinomis §990].

                      En effet nous savons aujourd'hui que notre univers est constitué d'une infinité de galaxies. Il n'y a aucune raison pour que nous soyons les seuls êtres vivants dans cette multitude. Et de même il est presque sûr que de nombreuses civilisations y ont atteint un stade de développement semblable ou supérieur au notre avec, comme nous l'avons fait, une convention de notation c'est à dire d'écriture pour leur langage et pour leurs nombres.

                      Alors, parmi ces civilisations, celles qui auront cherché à se munir d'une écriture pour la géométrie auront forcément abouti elles aussi aux bivecteurs puisque nous avons vu qu'il est impossible de passer outre. Elles auront abouti aux mêmes observations que celles que nous avons faites. Et parmi elles certaines auront éclairci le mystère de l'anoptrie. Quant à nous, par aveuglement volontaire, nous allons continuer pendant longtemps encore à considérer la géométrie comme étant ce mouton à trois pattes qu'Euclide nous a construit il y a vingt cinq siècles, et que D Hilbert vient de rafistoler il y a moins d'un siècle.

 

 

Conclusion

 

                       Je voudrais maintenant remercier ceux qui auront eu la patience de lire ces pages jusqu'à ces dernières lignes. Et, contrairement à l'usage, qu'on me permette de terminer par la citation d'une profession de foi qu'Einstein jugea si importante qu'il en fit la conclusion de son livre L'Evolution des Idées en Physique écrit en collaboration avec Infeld. La voici:

                       " Sans la croyance qu'il est possible de saisir la réalité avec nos constructions théoriques, sans la croyance en l'harmonie interne de notre monde, il ne pourrait pas y avoir de science. Cette croyance est et restera toujours le motif fondamental de toute création scientifique. A travers tous nos efforts, dans chaque lutte dramatique entre les conceptions anciennes et les conceptions nouvelles, nous reconnaissons l'éternelle aspiration à comprendre, la croyance toujours ferme en l'harmonie de notre monde, continuellement raffermie par les obstacles qui s'opposent à notre compréhension".

                       Tout y est : l'erreur de nous fier à notre expérience pour découvrir la réalité alors que celle ci ne peut être saisie que par une construction théorique (voir note 6); la lutte inévitable entre les conceptions anciennes et les conceptions nouvelles, lutte si traditionnelle qu'il la qualifie de dramatique; les obstacles qui s'opposent à notre compréhension et qui viennent non seulement de notre fausse perception des choses mais aussi de notre conservatisme obstiné; enfin et surtout l'impérieuse nécessité de faire confiance à l'harmonie de notre monde, ce fil d'Ariane qui ne nous a jamais fait défaut et auquel pourtant nous refusons perpétuellement de nous fier.

 

                       Maintenant, comme dit l'expression populaire, il ne faut pas essayer de marcher plus vite que la musique. Un jour, pas forcément proche, (deux millénaires entre le pressentiment de l'héliocentrisme par les pythagoriciens, et la défense acharnée de Galilée !) nos autorités savantes réaliseront que la géométrie mérite elle aussi son écriture dédiée. Ils retrouveront alors l'écriture bivectorielle dont le support est la similitude car, comme Leibniz le pressentait, et comme on le sait maintenant il est impossible de passer outre pour la géométrie euclidienne ( voir note 7). Ensuite, de même que l'écriture introduite par Viète a rendu inacceptable l'absence des nombres négatifs (voir note 8), de même l'écriture bivectorielle rendra insupportable l'absence de la relation (u,v)=)v,-u(. Les portes de la Géométrie Euclidienne enfin complète s'ouvriront alors. Il suffit donc tout simplement d'attendre.

Cagnes sur mer le 15 avril 2010

 

Notes:

(1) - Dans une correspondance qu'il m'a adressée le 3 mars 2000, Monsieur Jean Pierre Demailly, académicien expert de la Géométrie Complexe, m'écrit " ...il y a isomorphisme entre classes d'équivalence des bivecteurs et nombres complexes non nuls avec votre loi d'addition des bivecteurs et la multiplication sur le groupe des complexes non nuls. Par conséquent la notion d'anoptrie est vide..." . Cette foi absolue dans la nécessité pour une vérité mathématique de pouvoir se traduire par les nombres que nous connaissons se retrouve chez tous mes correspondants.

(2) - Les exemples donnés ici ne pouvaient effectivement pas se traduire avec les notations numériques alors connues mais par contre ils étaient suffisamment élémentaires pour être visualisables: l'irrationnalié apparaissait de fait dans la diagonale du carré unitaire, les nombres négatifs dans la nécessité de donner une abscisse à tous les points de la droite, et une simple projection rendait "visible" l'intersection de deux droites parallèles. L'anoptrie n'a plus cette élémentarité et par suite ne bénéficie d'aucun apport intuitif. Son seul argument est l'harmonie avec laquelle elle s'intègre aux trois autres relations, cette harmonie qu'Einstein demande constamment de prendre comme principe directeur mais qui laisse de marbre les autres scientifiques.

(3) - Ce mythe célèbre de Platon débute le Livre VII de La République. Il y décrit l'humanité confinée dans une caverne qu'elle considère comme le véritable univers. En ne tenant pour vrai que ce que nos nombres nous rendent visible nous faisons penser aux savants de cette caverne qui n'y tiennent pour vrai que les ombres visibles sur les parois et pour lesquels la science consiste à avoir ".. la vue la plus fine pour saisir le passage des ombres contre la paroi, le plus de capacité pour tirer de ces observations des conjectures sur ce qui doit arriver.." .

(4) - L'indifférence de Monsieur Connes est la plus surprenante car dans une interview qu'il donna au journaliste Olivier Postel Vinay pour La Recherche, il déclare "Fondamentalement je pense qu'on ne peut pas du tout exclure la possibilité qu'en fin de compte les lois fondamentales soient incroyablement simples, bien plus simples que tout ce qu'on peut imaginer aujourd'hui" , et aussi "Je suis prèt à parier qu'on s'apercevra un jour que la réalité matérielle se situe en fait à l'intérieur de la réalité mathématique" justement deux particularités de l'anoptrie, son extrème simplicité et le fait qu'elle n'est pour le moment qu'une réalité mathématique.

(5) - L'héliocentrisme avait été pressenti par les Pythagoriciens vers 600 avant notre ère et Plutarque au début de notre ère en parle longuement. Quant aux nombres négatifs plusieurs mathématiciens avaient commencé à les utiliser avant Descartes (voir note 8)

(6) - Dans son livre Comment je vois le monde, Einstein affirme que, tout physicien qu'il soit, c'est par les mathématiques que nous découvrirons les concepts et les principes de l'univers: " Je suis convaincu que la construction exclusivement mathématique nous permet de trouver les concepts et les principes les reliant entre eux" et dans Conceptions Scientifiques il écrit " Nous constatons maintenant avec évidence combien sont dans l'erreur les théoriciens de la connaissance qui croient que la théorie vient par induction de l'expérience"

(7) Dans son célèbre programme d'Erlangen Félix Klein écrit "Les propriétés géométriques sont caractérisées par leur invariance relativement aux transformations du groupe principal" sachant qu'il appelle groupe principal "les déplacements de l'espace, ses transformations avec similitude et celles par symétrie" c'est à dire les similitudes directes et indirectes dont les déplacements et les symétries ne sont que des cas particuliers.

(8) En fait si on en juge par la Kleine Enzyklopädie der Mathématik publiée par l'Institut de Bibliographie de Leipzig [p33] " En Inde vers 700 après Jésus Christ les calculs avec les nombres négatifs étaient déjà complètement connus" et c'est effectivement le symbolisme introduit par Viète qui a rendu leur absence inacceptable.   

 

Addenda: Dans l'impossibilité d'accèder aux moyens de diffusion classiques il ne me reste que le recours de déposer un pli cacheté à l'Académie des Sciences, que je motiverai en signalant l'indifférence de la communauté mathématique. Conformément aux statuts ce pli ne sera ouvert que dans cent ans. Mais il n'est même pas sûr que ce délai soit suffisant quand on réalise que pour les nombres négatifs, beaucoup moins révolutionnaires, et malgré le grand nom de Descartes,  ils étaient encore refusés par Carnot 170 ans après. 

Source : http://depuiseuclide.free.fr/new5.htm