L'indicatrice de Carmichael

Définition Soit  un entier . On définit  comme le maximum des ordres des éléments du groupe . On appelle indicatrice de Carmichaell'expression .

Exemple 55   Si  est premier, on a  car le groupe  est cyclique d'ordre .

Lemme [Théorème de Carmichael] On a  pour tout entier  premier à . Réciproquement, si  vérifie  pour tout entier  premier à , alors  est multiple de .

Démonstration. Soit  un élément d'ordre  et  un élément d'ordre . Nous allons montrer que  contient un élément dont l'ordre est PPCM . Il s'ensuivra que PPCM  et donc que  divise .

Pour cela, écrivons PPCM , où  divise ,  divise  et ,  sont premiers entre eux. Alors  est d'ordre ,  est d'ordre  et donc leur produit est d'ordre PPCM  d'après le lemme .

La deuxième affirmation est claire.

Lemme

a)

On a ,  et  pour tout .

b)

Si  est un nombre premier impair, on a .

c)

Si  où  et  sont premiers entre eux, on a PPCM .

Remarque 56   Ce lemme permet de calculer l'indicatrice de Carmichael de tout nombre dont on connaît la décomposition en facteurs premiers. Par exemple, on a

   PPCM 

En particulier, comme  divise , nous avons

pour tout  premier à 561 (comme dans le petit théorème de Fermat). Un nombre  tel que  pour tout entier  premier à  s'appelle un nombre de Carmichael. Voici le tableau des premiers  nombres de Carmichael non premiers.

		décomposition

Démonstration. Les parties a) et b) résultent du théorème . Pour c), nous avons l'isomorphisme de groupes

donné par le lemme chinois. L'ordre d'un couple  est clairement égal au PPCM  des ordres des deux composantes. Ceci implique que l'ordre maximal d'un couple sera le PPCM  des ordres maximaux atteints dans chaque composante. 

---

    
suivant: Résidus quadratiques monter: bad précédent: Structure du groupe des   Table des matières

Bernhard_Keller

Source : http://www.les-mathematiques.net/b/a/d/node21.php3