19/11/2010
Inégalité de Cauchy-Schwarz
En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz1, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz2, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire, l'analyse avec les séries et en intégration. Cette inégalité s'applique dans le cas d'un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes muni d'un produit scalaire. Dans le cas complexe, le produit scalaire désigne une forme hermitienne définie positive. Son contexte général est donc celui d'un espace préhilbertien. Cette inégalité possède de nombreuses applications, comme le fait d'établir l'inégalité triangulaire montrant que la racine carrée de la forme quadratique associée au produit scalaire est une norme, ou encore que le produit scalaire est continu. Elle fournit des justifications ou des éclairages dans des théories où le contexte préhilbertien n'est pas central. Elle doit son nom à Hermann Amandus Schwarz3 et à Augustin Louis Cauchy4.Inégalité de Cauchy-Schwarz
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Le théorème s'énonce couramment de la façon suivante : Théorème 1 — Soit un espace préhilbertien réel ou complexe. Alors, pour tous vecteurs x et y de E, De plus, les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants. Les démonstrations présentées ici sont valables aussi bien dans le cadre d'un espace préhilbertien complexe que réel, sauf bien sûr la dernière. Lorsque y=0, l'énoncé est clairement vrai, par conséquent on supposera y non nul. En outre, pour la première démonstration, qui est la plus connue, on suppose que le nombre est réel. On obtient la généralisation du cas étudié par multiplication du vecteur x(ou y) par un nombre complexe convenable de module égal à 1. Ceci étant devient réel sans changer de module; et ne varient pas non plus5. Posons, pour tout réel t, Par construction, cette expression polynomiale du second degré est positive ou nulle pour tout réel t. On en déduit que son discriminant est négatif ou nul : d'où l'inégalité annoncée. Une variante plus directe est de poser et d'utiliser que (Ce t0 n'est autre que la valeur en laquelle P atteint son minimum, mais cette propriété n'est pas utilisée.) Si (x,y) est lié alors x=λy pour un certain scalaire λ et l'on en déduit immédiatement : Réciproquement, si |<x,y>|=||x|| ||y|| alors le discriminant ci-dessus est nul donc P admet une racine réelle (double) t, et pour ce t on a donc x=-ty, si bien que (x,y) est lié. Ou plus directement (avec le t0 de la variante ci-dessus) : l'hypothèse équivaut à P(t0)=0 donc à x=-t0y. Une variante6 utilise l'identité du théorème de Pythagore. Un calcul direct permet de voir que les vecteurs et sont orthogonaux. Alors, par le théorème de Pythagore on a : et donc qui donne l'inégalité souhaitée. Cette démonstration consiste en fait6 à calculer la norme du projeté orthogonal du vecteur x sur la droite vectorielle engendrée par y. L'égalité correspond donc au cas où x et y sont linéairement dépendants. Dans l'espace euclidien muni du produit scalaire usuel , où et , une alternative aux démonstrations générales ci-dessus est de déduire l'inégalité (et le cas d'égalité) d'une identité très similaire à celle de la variante géométrique, l'identité de Lagrange, qui s'écrit : (Pour n=3, une preuve et une interprétation géométrique figurent dans identité de Lagrange dans R3). Cette identité se démontre de la façon suivante. L'inégalité de Cauchy-Schwarz a des applications importantes. Elle permet notamment de montrer que l'application est une norme car elle vérifie l'inégalité triangulaire. Une conséquence est que le produit scalaire est une fonction continue pour la topologie induite par cette norme. Elle permet également de définir l'angle non orienté entre deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel, par la formule : Dans le cas de l'espace euclidien muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré intégrable7, elle s'écrit Cette inégalité est un cas particulier des inégalités de Hölder. L'inégalité seule est vraie dans le contexte un peu plus général d'un semi-produit scalaire (i.e. sans supposer que la forme quadratique associée est définie), en notant encore || || la semi-norme associée : Théorème 210 — Soit un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'une forme bilinéaire symétrique positive (resp. d'une forme hermitienne positive). Alors, pour tous vecteurs x et y de E, Pour démontrer ce théorème 2, il suffit10 d'ajouter à la preuve algébrique de l'inégalité du théorème 1 un petit argument dans le cas où ||y||=0. Cette inégalité fournit le corollaire suivant. Corollaire10 — Pour qu'une forme bilinéaire symétrique positive (resp. une forme hermitienne positive) soit définie, (il faut et) il suffit qu'elle soit non dégénérée. Le corollaire se démontre de la façon suivante. Pour prouver le sens non immédiat de l'équivalence, supposons que la forme est positive et non dégénérée, et montrons qu'elle est définie. Soit x un vecteur dont la semi-norme est nulle. Le théorème 2 montre que pour tout vecteur y on a , donc, par non dégénérescence, x = 0. Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice positive • Matrice définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram •Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de RieszÉnoncé [modifier]
Démonstrations [modifier]
Inégalité [modifier]
Cas d'égalité [modifier]
Variante géométrique [modifier]
Le cas particulier Rn [modifier]
Conséquences et applications [modifier]
Conséquences [modifier]
Autres applications [modifier]
On la retrouve aussi dans le théorème de Lax-Milgram.
En théorie des probabilités toujours, dans l'espace des variables aléatoires admettant un moment d'ordre 2, l'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit l'inégalité , qui compare l'espérance du produit de deux variables aléatoires au produit des espérances de leurs carrés8. Elle permet d'établir que le coefficient de corrélation de deux variables aléatoires est un réel compris entre -1 et 19.
Généralisation [modifier]
Références [modifier]
Notes et références [modifier]
Liens externes [modifier]
Bibliographie [modifier]
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