19/11/2010
Idéal maximal
Un idéal maximal est un concept associé à la théorie des anneaux en mathématiques et plus précisément en algèbre. Un idéal d'un anneau est dit maximal si, et seulement si, il n'est contenu que dans exactement deux idéaux, lui-même et l'anneau tout entier. L'existence d'idéaux maximaux est assurée par le théorème de Krull. Cette définition permet de généraliser la notion d'élément irréductible à des anneaux différents de celui des entiers relatifs. Certains de ces anneaux ont un rôle important en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique.Idéal maximal
Sommaire[masquer] |
L'arithmétique demande parfois de travailler sur des anneaux complexes comme certains parmi les entiers algébriques. Les théorèmes habituellement utilisés pour bâtir la théorie, comme celui de la décomposition en facteurs premiers, n'est plus entièrement vérifié. Dans ce cas, l'unicité de la décomposition (à l'ordre et aux éléments inversibles près) n'est pas exacte. Pour néanmoins pouvoir construire la théorie, un autre concept reste opérationnel : celui des idéaux. Les définitions valables pour les éléments, comme irréductible, premier, premiers entre eux dans leur ensemble, pgcd ou encore Plus petit commun multiple ont souvent des définitions équivalentes pour les anneaux. La notion d'idéal maximal correspond à celle d'éléments irréductibles, largement utilisée dans la théorie des polynômes. La dernière définition est équivalente à la suivante: Les anneaux ne possédant qu'un unique idéal maximal sont d'une importance particulière : ce sont les anneaux locaux. Ils sont en général obtenu après un processus de localisation qui consiste à rendre inversibles suffisamment d'éléments pour qu'il ne reste qu'un idéal maximal. En conséquence, tout idéal maximal est premier. Cette propriété est largement utilisée en théorie de Galois, elle permet de définir des extensions algébriques. Supposons que I soit maximal. Réciproquement, supposons que A / I soit un corps. Dans le cas d'un anneau principal, les notions d'irréductibilité et de primalité sont confondues. Le théorème suivant s'applique: La démonstration est donné dans l'article sur Idéal premier et anneau principal. Dans un anneau commutatif, le théorème de Krull assure que tout idéal propre (c'est-à-dire différent de l'anneau tout entier) est inclus dans au moins un idéal maximal. En conséquence, un élément de l'anneau est inversible si et seulement s'il n'appartient à aucun idéal maximal. (En effet, un élément est non inversible si et seulement si l'idéal qu'il engendre est propre.) Motivations [modifier]
Définitions [modifier]
Exemples [modifier]
Propriétés [modifier]
Anneau quotient [modifier]
Anneau principal [modifier]
Théorème de Krull et éléments inversibles [modifier]
Voir aussi [modifier]
Liens externes [modifier]
Références [modifier]
19:16 Publié dans Idéal maximal | Lien permanent | Commentaires (0) | | del.icio.us | | Digg | Facebook