Chronologie de l'algèbre

 

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Le tableau de cette page fournit une chronologie sommaire des mots clefs dans le développement de l'algèbre. Le découpage en grande période tient compte de l'avancée des mathématiques dans le monde gréco-latin, arabo-musulman, et européen. Il ne prétend pas rendre compte du mouvement général, Inde et Chine comprises, du développement d'ensemble des notions algébriques.

Année	Évènement
-1800-200	Les origines de l'algèbre.
Vers le XVIIIe siècle av. J.-C.	Les scribes babyloniens recherchent la solution d'une équation quadratique. Voir Tablette de Strasbourg
Vers le XVIIIe siècle av. J.-C.	La tablette Plimpton 322 écrite à Babylone en écriture Cunéiforme donne une table de triplets pythagoriciens.
Vers le VIIIe siècle av. J.-C.	Le mathématicien indien Baudhayana, dans son Baudhayana Sulba Sutra, découvre les triplets pythagoriciens de façon algébrique et une solution géométrique des équations linéaires et des équations quadratiques de la forme ax2 = c and ax2 + bx = c, enfin, il trouve deux ensembles de solutions entières et positives à un système d'équations diophantiennes.
Vers le VIIe siècle av. J.-C.	Le mathématicien indien Apastamba, dans son Apastamba Sulba Sutra, résout les équations linéaires générales et utilise les systèmes d'équations diophantiennes comportant jusqu'à cinq inconnues.
Vers le IVe siècle av. J.-C.	Dans le livre II de ses Éléments, Euclide donne une construction géométrique à la règle et au compas de la solution d'une équation quadratique pour des racines réelles et positives. La construction est un résultat de l'école de géométrie de Pythagore.
Vers le IVe siècle av. J.-C.	Une construction géométrique de la solution des équations cubiques est soulevée (le problème de la duplication du cube). Il est connu que celui-ci n'a pas de solution constructible à la règle et au compas.
Vers 150	Le mathématicien grec Héron d'Alexandrie traite des équations algébriques dans ses trois volumes de mathématiques.
100-800	De Diophante à Al-Khwarizmi, l'algèbre se dégage de la géométrie.
Vers 200	Le mathématicien hellénistique Diophante qui vécut à Alexandrie, et souvent considéré comme le père de l'algèbre, écrit son fameux Arithmetica, un travail préfigurant la théorie des équations algébriques et la théorie des nombres.
Vers 300	Des équations algébriques sont traitées dans le manuel chinois de mathématiques de Liu Hui Jiuzhang suanshu (The Nine Chapters on the Mathematical Art), qui contient la solution de systèmes linéaires utilisant la méthode de la fausse position, des solutions géométriques d'équations quadratiques et la recherche de matrices équivalentes selon la méthode de Sylvester-Gauss.
499	Le mathématicien indien Aryabhata, dans son traité Aryabhatiya, obtient le nombre complet de solutions d'un système d'équations linéaires par des méthodes équivalentes aux méthodes modernes, et décrit la solution générale de telles équations. Il donne également des solutions d'équations différentielles.
Vers 625	Le mathématicien chinois Wang Xiaotong trouve les solutions numériques d'une équation cubique.
628	Le mathématicien indien Brahmagupta, dans son traité Brahma Sputa Siddhanta, invente la méthode du chakravala pour résoudre les équations quadratiques, dont l'équation de Pell, et donne des règles pour résoudre les équations linéaires et quadratiques. Il découvre que les équations du second degré ont deux racines, dont les négatives et les irrationnelles.
Vers 800	Les califes abbassides al-Mansur, Haroun ar-Rachid, et Al-Mamun, ont fait traduire les travaux scientifiques des Grecs, des Babyloniens et des Indiens en langue arabe. Commence ainsi, au Moyen-Orient, une renaissance de la culture scientifique. Bagdad devient une nouvelle Alexandrie, particulièrement sous le règne d'Al-Mamun (809-833). À la suite d'un rêve où lui serait apparu Aristote, le calife a demandé à ce qu'on traduise tout ce qu'on connaissait des Grecs, y compris l'Almageste de Ptolémée et une version complète des éléments d'Euclide. Al-Mamun fit construire à Baghdad une « Maison de la Sagesse » (Bait al-hikma) afin de rivaliser avec l'ancien Museum d'Alexandrie.
800-1600	D'Al-Khawarizmi à Stevin, l'algèbre établit ses procédures.
820	Le mot algèbre naît. Il dérive de l'opération qui consiste à diviser les deux membres d'une égalité par une même quantité (non nulle). Il ne peut être séparé qu'au prix d'une mutilation du terme « Al'muqabala », (transposition) aujourd'hui inusité, qui désigne la soustraction aux deux membres d'une même quantité. Ces deux termes forment le projet algorithmique décrit par Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī dans Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (soit « La méthode de calcul par réduction et transposition » ou restauration et comparaison). On obtient ainsi la solution des équations linéaires. Al-Khwarizmi est souvent considéré comme le père de l'algèbre médiévale, car il dégage celle-ci de l'emprise géométrique.
Vers 850	Le mathématicien persan Al-Mahani (en) conçoit l'idée de réduire géométriquement le problème de la duplication du cube à un problème algébrique.
Vers 850	Le mathématicien indien Mahavira résout différentes équations paramétrées de degrés élevés.
Vers 990	Le mathématicien persan Al-Karaji (ou al-Karkhi), dans son ouvrage l'Al-Fakhri, développe la méthode d'Al-Khwarizmi. Il définit les monômes x, x2, x3, ... et 1/x, 1/x2, 1/x3, ... Il donne des règles qui régissent le produit de ceux-ci. Il découvre la première solution des équations de la forme ax2n + bxn = c.
Vers 1050	Le mathématicien chinois Jia Xian (en) trouve des solutions numériques d'équations de degrés élevés.
1072	Le mathématicien persan Omar Khayyam donne une classification complète des équations cubiques aux racines positives et une solution géométrique lorsqu'elles sont exprimables au moyen d'intersections de coniques. Le « fabricant de tentes » résout géométriquement des équations de degré 3. Mais croit impossible leur résolution algébrique générale. Il généralise les méthodes, déjà utilisées par Menechme, Archimede, et Al'hazan, à toutes les équations de degré 3 possédant des racines positives.
1114	Le mathématicien indien Bhaskara, dans son ouvrage Bijaganita (Algebra), reconnaît les racines carrées négatives, résout des équations quadratiques à plusieurs inconnues, des équations d'ordre supérieur comme celles de Fermat ainsi que les équations du second degré générales.
Vers 1200	Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213) écrit l'Al-Mu'adalat (Traité des Équations), qui fournit huit types d'équations cubiques aux solutions positives et cinq types éventuellement privés de telles solutions. Il utilise ce qui deviendra la « méthode de Ruffini et Horner », méthode d'analyse numérique pour approcher les racines. Il développe les concepts d'extremum . Il entrevoit le rôle du discriminant des équations cubiques et utilise pour la première fois la formule de Cardan due à Scipione del Ferro pour résoudre les équations de degré 3. Roshdi Rashed, affirme que Sharaf al-Din découvrit la dérivée du polynôme de degré 3 et comprit la nécessité de lier cette dérivée aux conditions de résolution de cette équation.
Au XIIe siècle	Une équipe de traducteurs sous la direction de Gondisalvius traduit les manuscrits arabes de la bibliothèque de Cordoue. parmi eux, se distingue nettement un des premiers algébristes occidentaux Jean Hispalensis. Dans le même mouvement, Jordan de Nemore introduit dans son Isagogue la notations des inconnus par des symboles.
En 1202	L'algèbre arabe conquiert l'Europe au travers du livre du Pisan Leonardo Fibonacci et de son livre Liber Abaci.
En 1299	Le mathématicien chinois Zhu Shijie résout les équations quadratiques, numériquement des quartiques et des équations avec plusieurs inconnues (au plus 4). Il donne le premier la méthode de développement des polynômes nommé Méthode de Horner.
Vers 1400	Jamshīd al-Kāshī développe une première forme de la méthode de Newton Regula falsi.
Vers 1400	Le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama trouve la solution de fonctions transcendantales et d'équations différentielles par itération.
1412-1482	Le mathématicien arabe Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī donne une première étape de notation symbolique.
Vers 1500	Le mathématicien italien Scipione del Ferro, élève de Pacioli parvient pour la première fois à une résolution algébrique d'un grand type d'équations du troisième degré. Il ne les publie pas.
1525	Le mathématicien allemand Christoff Rudolff introduit la notation des racines carrées dans son ouvrage Die Coss.
Vers 1530	Robert Recorde introduit le signe = et Michael Stifel développe une première forme de notation algébrique.
1535	Niccolo Fontana Tartaglia retrouve les formules de Scipione del Ferro.
1545	Cardan, aidé de son secrétaire Ludovico Ferrari, publie dans son Ars magna les formules qu'il a achetées à Tartaglia sous le sceau du secret ainsi que celles recueillies dans un carnet du défunt Scipione del Ferro. Ferrari donne la solution des équations de degré 4.
1572	Rafaelle Bombelli donne une formulation des nombres complexes et les règles de calculs effectifs. Une racine carrée de -1 apparaît sous la forme piu di meno.
1584	Le mathématicien néerlandais Stevin rédige un manuel de seize pages pour populariser l'art de compter avec les nombres décimaux. Il écrit les puissances du dixième cernées d'un exposant. Il donne la première écriture des vecteurs.
1600-1830	De Viète à Gauss, l'algèbre triomphe des équations polynomiales.
1591	Le mathématicien français François Viète ouvre une nouvelle période de l'algèbre en faisant opérer les calculs sur des lettres, voyelles pour désigner les inconnues et consonnes pour les paramètres. C'est l'algèbre nouvelle. Par cet acte fondateur, il inaugure la période qui voit triompher le formalisme dans la résolution des équations algébriques. Par ailleurs, il donne le développement du binôme de Newton, résout une équation de degré 45[réf. nécessaire] et introduit l'usage des parenthèses In artem analyticam isagoge.
1600-1624	Période de diffusion de l'algèbre nouvelle grâce aux éditions de François Viète par Marin Ghetaldi, Alexander Anderson et Van Schooten.
1631	Le mathématicien anglais Thomas Harriot introduit, dans une publication posthume, les symboles > et <. La même année William Oughtred donne pour la première fois le symbole multiplié.
1637	Le philosophe et mathématicien français René Descartes renomme les inconnus x,y,z et les paramètres a,b,c et étend l'usage de l'algèbre aux longueurs et au plan, créant avec Pierre de Fermat la géométrie analytique.
1658	Le philosophe et mathématicien français Blaise Pascal nomme ordonnée la coordonnée portée sur le second axe du plan.
1682-1693	Le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Leibniz développe le maniement du calcul symbolique par des règles qu'il nomme characteristica generalis. Il définit les courbes algébriques et nomme abscisse la première coordonnée. Enfin, il résout les systèmes linéaires en usant - sans justification théorique - de matrices et de déterminants.
Vers 1680	Isaac Newton développe le calcul formel sur les séries entières, et calcule lescontacts des branches d'une courbe algébrique par la méthode du polygone qui porte son nom.
1683 - 1685	Le mathématicien japonais Kowa Seki, dans sa Méthode de résolution des problèmes cachés, découvre les premières version du déterminant. Il résout des équations de degré 4 et 5 et donne les formules de résolution des équations cubiques.
1732	Le mathématicien suisse Leonhard Euler donne la résolution des équations cubiques de façon achevée.
1746	L'encyclopédiste français Jean le Rond D'Alembert donne la première preuve du théorème fondamental de l'algèbre.
1750	Le mathématicien français Gabriel Cramer, dans son traité Introduction à l'analyse des courbes algébriques, établit la règle de Cramer et étudie les courbes algébriques, des systèmes qu'on nommera matriciels à l'aide de « déterminants ».
1764-1779	Le mathématicien français Bézout publie ses travaux sur le degré des équations et la théorie des équations algébriques. Donnant une première preuve reliant le degré et l'intersection.
1799	Le mathématicien italien Paolo Ruffini démontre partiellement l'impossibilité de résoudre par radicaux toutes les équations de degré cinq.
1796-1801	Le mathématicien allemand Gauss donne un démonstration rigoureuse du théorème de d'Alembert. Il commence la publication des disquisitiones qui contiennent la première preuve de la loi de réciprocité quadratique dans la partie IV)1 .
1806	Le mathématicien suisse Argand publie la première représentation plane des nombres complexes et utilise des mesures algébriques.
1816	Le mathématicien français Gergonne introduit le symbole marquant l'inclusion.
vers 1820	Le mathématicien français Adrien-Marie Legendre donne par son symbole la caractérisation des résidus de carrés dans les anneaux de congruence.
1822	Le mathématicien français Jean-Victor Poncelet fonde la géométrie projective.
1823	Le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel donne un exemple d'équation de degré cinq insoluble par radicaux. Il introduit la notion de nombres algébriques (publié en 1826)
1827	Le mathématicien allemand Möbius introduit le calcul barycentrique oublié depuis le Suisse Paul Guldin et Archimède.
1832	Gauss donne une construction rigoureuse des nombres complexes.
1832-1900	De Galois à Peano, l'algèbre des premières structures.
1829-1832	La Théorie de Galois, développée par le mathématicien français Évariste Galois ouvre le champ d'une nouvelle ère, celle des structures. Des prémisses de la théorie des groupes sont à rechercher chez Hudde (1659), Saunderson (1740) Le Sœur (1748) et Waring (1762- 1782), Lagrange (1770 - 1771) etVandermonde (1770). Mais Évariste Galois signe véritablement l'apparition de la notion de groupe dans son travail, mal reconnu, où se trouvent les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation soit résoluble par radicaux.
1835	Le baron français Cauchy établit une première théorie des déterminants. Il diagonalise les endomorphismes symétriques réels dans des cas simples.
1837	Le géomètre français Michel Chasles introduit le terme de birapport, d'homothétie et d'homographie, notions oubliées depuis Girard Desargues.
1844	Le mathématicien allemand Hermann Grassmann définit le premier une notion d'algèbre, méconnue à son époque, mais qui aura l'heur d'être comprise quelques vingt ans plus tard par Sophus Lie. À la même date, l'irlandais William Rowan Hamilton définit des espaces de vecteurs. La notion d'espace vectoriel sera clairement définie par l'Allemand Möbius et par l'Italien Giuseppe Peano 40 ans plus tard.
1844	Énoncé de la conjecture diophantienne d'Eugène Charles Catalan.
1846	Publication par Liouville des travaux d'Évariste Galois (Liouville, Vol. XI).
1847	Le mathématicien allemand Ernst Kummer parvient à démontrer le théorème de Fermat pour tous les nombres premiers réguliers et dégage la théorie des idéaux premiers, il approfondit la décomposition des groupes.
1847	Publication par le mathématicien irlandais George Boole des lois de la pensée où l'analyse logique est automatisée via une structure d'algèbre.
Vers 1850	Les mathématiciens anglais Arthur Cayley et James Joseph Sylvester introduisent le terme de matrices.
1850	Le mathématicien allemand Richard Dedekind introduit les termes d'anneaux et de corps dans son livre Lehrbuch des Algebra.
1850	Le mathématicien français Victor Puiseux développe ses séries, permettant ainsi une meilleure approche des singularités d'une courbe et l'étude de branches conjuguées 2. Un lemme de préparation de Karl Weierstrass, publié en 1895, justifiera ultérieurement cette approche.
1851	Le mathématicien français Liouville montre l'existence d'une infinité de nombres transcendants.
1853-1854	Le mathématicien allemand Leopold Kronecker confirme les résultats de Niels Abel et d'Évariste Galois. Les travaux de Arthur Cayley font de même l'année suivante.
1863	Démonstration par le mathématicien allemand Gustav Roch du théorème de Riemann-Roch reliant le degré et le genre d'une courbe algébrique dans une première version analytique.
1860-1870	Les mathématiciens allemands Siegfried Heinrich Aronhold et Alfred Clebsch travaillent sur les théories de l'invariant. Ils sont à l'origine de la vision algébrique des théories de Riemann, et donc les ancêtres de la cohomologie algébrique.
1870	Le mathématicien français Camille Jordan montre l'invariance à ordre près de la suite des groupes quotients dans la décomposition des groupes. Son travail se prolonge par ceux de Eugen Netto (1882) et de Von Dyck (1882) qui définit les groupes dans leur sens actuel.
1872	Le mathématicien allemand Felix Klein, dans son programme d'Erlangen, met l'étude des groupes au centre de la définition des différentes géométries.
1873	Le mathématicien français Charles Hermite démontre la transcendance de e. Théorème d'Hermite-Lindemann.
1873	Le mathématicien allemand Max Noether donne des théorèmes d'existence de courbes algébriques dans certains faisceaux de courbes. L'anglais William Kingdon Clifford étudie les algèbres qui portent son nom et seront un des objets féconds du siècle suivant.
1873-1899	Le mathématicien allemand Cantor jette les bases de la théorie des ensembles et des cardinaux. Il montre que les nombres algébriques sont en fait dénombrables.
1878	Le mathématicien allemand Ferdinand Georg Frobenius donne la première démonstration correcte du théorème de Cayley-Hamilton. Il enrichit, par ailleurs, la théorie de la réduction et des algèbres (associatives).
Vers 1880	Le mathématicien français Émile Picard étudie les surfaces algébriques, les générateurs des complexes linéaires et les groupes de diviseurs qui portent son nom.
vers 1880-1890	Les mathématiciens anglais William Burnside, norvégien Ludwig Sylow (82), américain Leonard Eugene Dickson (91), allemand Otto Hölder, français Emile Mathieu et allemand Heinrich Weber complètent la théorie des groupes linéaires et des groupes finis.
1892	Les mathématiciens italiens Castelnuovo et Federigo Enriques collaborent sur les surfaces, les classent en cinq types, et découvrent les théorèmes qui portent leur nom sur les systèmes linéaires.
1890-1898	L'étude systématique des groupes s'amplifie avec le mathématicien norvégien Sophus Lie, l'allemand Issai Schur et le français Elie Cartan. Ce dernier introduit la notion de groupe algébrique.
1892-1900	L'étude des groupes discrets se poursuit avec Felix Klein, Sophus Lie, Henri Poincaré, Émile Picard, en liaison avec la monodromie.
1894	Le mathématicien français Elie Cartan publie sa thèse sur les groupes de transformations. Il s'intéressera ultérieurement aux algèbres associatives et aux espaces symétriques.
1897	Le mathématicien allemand Holder montre l'isomorphisme des groupes quotients entrant dans les tours de décompositions.
1891-1903	Le mathématicien italien Giuseppe Peano introduit le symbole d'appartenance ainsi qu'une première version de l'écriture des quantificateurs. Leur forme définitive sera donnée par David Hilbert. Il donne plus de 40000 définitions dans une langue qu'il veut universelle.
1898-1939	De David Hilbert à Kurt Gödel, l'algèbre des structures complexes.
1898	Le mathématicien allemand David Hilbert donne une première approche du corps de classe. Dans sa conférence 1900, lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris, il présente les 21 problèmes de Hilbert, dont une partie porte sur la théorie de la démonstration et l'algèbre. On retiendra notamment le troisième qui débouche sur le paradoxe de Banach-Tarski, le cinquième, le huitième (qui demeure ouvert), le quinzième (qui appelle la théorie de l'intersection). Ils sont de natures plus ou moins profondes, mais ils ont fortement influé sur les mathématiques du siècle.
1901	Les travaux concernant les automorphismes des groupes de grande dimension sont poursuivis par Moore, William Burnside et vulgarisés par Leonard Eugene Dickson3.
1900	Le rôle des groupes simples est développé par le Français Camille Jordan. Des critères de non-simplicité le sont par l'Allemand Otto Hölder, qui classifie 200 groupes non triviaux. On atteint avec l'Américain Frank Nelson Cole le nombre de 660, avec l'Anglais William Burnside 1092 (2001 de nos jours par l'Américain Gary Lee Miller) 4.
1904-1920	Le mathématicien allemand Anton Suschkewitsch et le Français Jean-Armand De Seguier (1862-1935)5 fondent la théorie des semi-groupes.
Vers 1910	Les travaux de Walther von Dyck, l'Allemand Max Dehn (1900-1910), le Danois Jakob Nielsen 6 complètent la théorie des groupes.
1905-1924	Le mathématicien français Albert Châtelet travaille sur les automorphismes des groupes abéliens.
1911-1919	Collaboration des mathématiciens anglais J.E. Littlewood et G. H. Hardy avec le mathématicien indien S. Ramanujan.
1917	Le mathématicien français Gaston Julia décrit les formes binaires non quadratiques. L'allemand Erich Hecke étudie l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind, manie les fonctions thêta et certains caractères de fonctions L nommés d'après son nom.
1920	Création des algèbres de Von Neumann.
1922-1938	Hermann Weyl développe ses travaux sur les groupes compacts.
1920-1940	Travaux de l'anglo-canadien Coxeter en combinatoire et en théorie des groupes permettant d'unifier les groupes décrits par Hermann Weyl.
1920	Le mathématicien japonais Teiji Takagi7 livre les premiers résultats fondamentaux sur le corps de classe.
1922	Louis Mordell a démontré que l'ensemble des points rationnels d'une courbe elliptique forme un groupe abélien de type fini. Il est à l'origine de la conjecture de Mordell-Weyl, qu'établira Gerd Faltings en 1983.
1925	Heinz Hopf démontre que toute variété Riemannienne de dimension 3 de courbure constante est globalement isométrique à un espace euclidien, sphérique ou hyperbolique. Il donne une nouvelle démonstration au théorème de Poincaré-Hopf. Les notions qu'il introduit marquent la naissance des Algèbres de Hopf.
1926	Le mathématicien allemand Helmut Hasse publie sa théorie des corps de nombres algébriques. Son compatriote Richard Brauer commence à développer le travail dans les algèbres qui portent son nom.
1927	Le mathématicien autrichien Artin publie la théorie de la loi de réciprocité générale.
1928	Le mathématicien français André Weil étudie l'arithmétique des courbes algébriques.
1929	La mathématicienne allemande Emmy Noether fixe la théorie des hypercomplexes ou algèbres associatives.
1930	Parution de la Moderne Algebra de Van der Warden. Le mathématicien hollandais résout le quinzième problème de Hilbert en définissant une vraie théorie de l'intersection dans le groupe des diviseurs d'une variété algébrique.
Vers 1930	Le mathématicien anglais Raymond Paley démontre l'existence de matrices de Hadamard d'ordre q+1 lorsque q est une puissance d'un nombre premier congrue à 3 modulo 4. Il fonde ainsi la conjecture d'Hadamard.
1930	Le mathématicien allemand Wolfgang Krull développe la théorie des idéaux maximaux.
1926-1934	Le mathématicien français Claude Chevalley étudie les corps de classe des corps finis et les corps locaux. Il introduit les adèles et les idèles. Son camarade André Weil fonde ce qui deviendra la Cohomologie Galoisienne.
1935	Naissance de Nicolas Bourbaki sous l'impulsion d'André Weil, d'Henri Cartan, de Claude Chevalley, de Jean Delsarte8, de Jean Dieudonné, de Charles Ehresmann, de René de Possel et de Szolem Mandelbrojt
1931-1936	Le mathématicien polonais Tarski poursuit les travaux de logique à propos de la complétude de l'algèbre et des théorèmes de transfert. Il montre l'indécidabilité de la théorie des groupes. C'est le théorème de Tarski. Il retrouve ainsi les résultats non publiés du très cosmopolite Kurt Gödel (1931).
1934	Le mathématicien russe Andreï Kolmogorov définit son travail topologique en terme cohomologique.
1935	Oscar Zariski définit la topologie de Zariski sur les variétés algébriques.
Après 1940-1945	De Bourbaki à Andrew Wiles, l'algèbre de la cohomologie, des catégories et des schémas.
1942	Travaux du mathématiciens français Pierre Samuel sur la multiplicité.
1942-1945	Les Américains Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane fondent la notion de catégorie.
1950	Le mathématicien américain John Tate donne une nouvelle forme de cohomologie.
1948-1964	Les séminaires Cartan, rue d'Ulm, conduisent le mathématicien français Henri Cartan et Samuel Eilenberg à la publication de Homological Algebra (1956). L'étude chomologique du corps de classe conjoint les efforts des mathématiciens français Claude Chevalley, de Jean-Louis Koszul et de Jean-Pierre Serre.
1953-1963	Publication des livres de Pierre Samuel.
1955	La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil annonce que toute courbe elliptique est associée à une forme modulaire de même fonction L. Une version faible est annoncée par le mathématicien japonais Yutaka Taniyama. Elle est reformulée par André Weil dans les années 1960.
1958	Le mathématicien ukrainien Oscar Zariski utilise les surfaces qui portent son nom pour obtenir des surfaces non rationnelles mais unirationnelles. Le problème de l'unirationnalité demeure ouvert même pour des surfaces simples 9.
Vers 1960	L'Américain John Griggs Thompson accomplit des progrès décisifs dans la classification des groupes finis.
Vers 1960	Le mathématicien japonais Kunihiko Kodaira achève ses travaux par un renouvellement de la classification des surfaces algébriques.
1961-1975	Le mathématicien anglais David Mumford rénove dans le langage des schémas les points de vue de Kodeira sur la classification des surfaces dans l'American Journal of Mathematics ; notamment en caractéristique p.
1960-1970	Le mathématicien français Yves Hellegouarch étudie les propriétés de courbes elliptiques associées à des contre-exemples au dernier théorème de Fermat. Il fonde l'étude des formes modulaires.
1960-1970	Le mathématicien français Alexandre Grothendieck développe et pousse à son terme la théorie des catégories et des schémas.
1967	Énoncé par le mathématicien canadien Robert Langlands du Programme de Langlands qui permet de lier la généralisation des fonctions L de Dirichlet dans le cas des groupes de Galois non-abéliens aux représentation cuspidale automorphes. Travail initialisé par Israel Gelfand.
Vers 1980	Le mathématicien français Alain Connes résout une grande part des problèmes soulevés par la théorie des algèbres de Von Neumann, notamment la classification des facteurs de type III. Pour cela, il sera récompensé parla médaille Fields en 1982.
Vers 1980	Le mathématicien russe Yuri Manin établit une part de la conjecture de Mordell et, avec Iskovskikh, un contre exemple à la conjecture de Lüroth.
1983	Gerd Faltings montre le Théorème de Faltings précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell. Il donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne.
1986	Le mathématicien russe Vladimir Drinfeld donne forme au groupe quantique et généralise la notion d'algèbre de Hopf.
1985-1994	Les travaux du mathématicien anglais Andrew Wiles, rectifiés par Richard Taylor montrent une grande partie de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. Ils étendent ainsi les classes de courbes où la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vérifiée et font tomber le Dernier théorème de Fermat.
2000-2002	Le mathématicien français Laurent Lafforgue démontre une partie des conjectures de Langlands.
2001	Démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil par Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, et Richard Taylor.
2000-2002	Le mathématicien russe Vladimir Voevodsky développe la notion d'homotopie pour les variétés algébriques ainsi que la cohomologie motivique, faisant tomber conjecture de Milnor.
2004	Une matrice de Hadamard d'ordre 428 a été donnée le 21 juin 2004 par Hadi Kharaghani et Behruz Tayfeh-Rezaie. Le plus petit ordre multiple de 4 pour lequel aucune matrice de Hadamard n'est connue est actuellement 668.

Notes et références[modifier]

1. ↑ La loi de réciprocité quadratique [archive] sur le site DynaMaths
2. ↑ [1] Une approche des séries de Puiseux
3. ↑ [2] la page Wikipédia anglaise de Leonard Dickson
4. ↑ [3] [archive] le site contemporain de Gary Miller
5. ↑ [4] [archive] une trace de De Seguier au travers de la biographie de Paul Dubreil (de) sur le site Chronomaths de Serge Mehl
6. ↑ [5] la page Wikipédia anglaise de Jakob Nielson
7. ↑ [6] [archive] Un livre en allemand sur la naissance de l'école algébriste japonaise
8. ↑ [7] la page de Wikipédia allemande de Jean Delsarte
9. ↑ [8] [archive] Un exemple d'étude de surface de Zariski

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Chronologie_de_l'alg%C3%A8bre

 

Histoire des mathématiques

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L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au xvii^e siècle, le développement des connaissances mathématiques s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du globe. À partir du xix^e et surtout au xx^e siècle, le foisonnement des travaux de recherche et la mondialisation des connaissances mènent plutôt à un découpage de cette histoire en fonction des domaines de mathématiques.

Sommaire

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• 1 Préhistoire
• 2 De Sumer à Babylone
• 3 Égypte
• 4 Chine
• 5 Civilisations précolombiennes
• 6 Inde
• 7 Grèce antique
• 8 Civilisation islamique
• 9 Occident
  • 9.1 Durant le Moyen Âge
  • 9.2 Durant la renaissance européenne
  • 9.3 Au XVII^e siècle
  • 9.4 Le XVIII^e siècle
• 10 Japon
• 11 XIX^e siècle
  • 11.1 Revues de mathématiques
  • 11.2 Mécanique
  • 11.3 Physique mathématique
  • 11.4 Théorie des nombres
  • 11.5 Logique
  • 11.6 Géométrie
  • 11.7 Algèbre
  • 11.8 Probabilité et statistiques
  • 11.9 Théorie des graphes
  • 11.10 Analyse réelle
  • 11.11 Analyse complexe
  • 11.12 Perspectives
  • 11.13 Les livres du siècle
• 12 XX^e siècle
  • 12.1 La communauté mathématique explose
  • 12.2 Algèbre
  • 12.3 Mécanique
  • 12.4 Analyse
  • 12.5 Théorie des groupes
  • 12.6 Topologie
  • 12.7 Équations différentielles
  • 12.8 Théorie des nombres
  • 12.9 Graphes
  • 12.10 Analyse complexe
  • 12.11 Logique et théorie des ensembles
  • 12.12 Probabilités
  • 12.13 Analyse numérique
  • 12.14 Paradoxes apparents et curiosités
• 13 Notes et références
• 14 Voir aussi
  • 14.1 Liens internes
  • 14.2 Liens externes
  • 14.3 Bibliographie

Préhistoire [modifier]

Article détaillé : Mathématiques préhistoriques.

L'os d'Ishango datant de plus de 20 000 ans avant notre ère est généralement cité pour être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication^{[réf. nécessaire]}, mais cette interprétation reste sujette à discussions^{[réf. nécessaire]}. Il est dit que les mégalithes en Égypte au V^e millénaire avant notre ère ou en Angleterre au III^e millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les cercles, les ellipses et les triplets pythagoriciens^{[réf. nécessaire]}. En 2 600 avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance précise et réfléchie de la géométrie^{[réf. nécessaire]}.

L'ethnomathématiques est un domaine de recherche à la frontière de l'anthropologie, de l'ethnologie et des mathématiques qui vise entre autres à comprendre l'essor des mathématiques dans les premières civilisations à partir des objets, instruments, peintures, et autres documents retrouvés.

De Sumer à Babylone [modifier]

Article détaillé : Mathématiques babyloniennes.

On attribue généralement le début de l'écriture à Sumer, dans le bassin du Tigre et de l'Euphrate ou Mésopotamie. Cette écriture, dite cunéiforme, naît du besoin d'organiser l'irrigation ¹et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le système sexagésimal. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, Akkad puis Babylone. Les tablettes datant de cette période sont constituées de tables numériques et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à Nippur (à une centaine de kilomètres de Bagdad), ont été découvertes au xix^e siècle des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.)². On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des algorithmes d'extraction de racines carrées³, racines cubiques, la résolution d'équations du second degré. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision ⁴. On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent des listes de carrés d'entier, des listes de cubes et une liste souvent interprétée comme celle de triplets pythagoriciens⁵ suggérant qu'ils connaissaient la propriété des triangles rectangles plus de 1 000 ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes ⁶.

Ils étaient capables d'utiliser des interpolations linéaires pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de Hammurabi (xviii^e siècle av. J.-C.). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'astronomie mathématique⁷.

Égypte [modifier]

Article détaillé : Mathématiques en Égypte antique.

Les meilleures sources sur les connaissances mathématiques en Égypte antique sont le Papyrus Rhind (seconde période intermédiaire, xx^e siècle av. J.-C.) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, et le Papyrus de Moscou (1850 avant J.-C.) et le rouleau de cuir. À ces documents s'ajoutent trois autres papyrus et deux tablettes de bois ; le manque de documents ne permet pas d'attester ces connaissances⁸. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir Sciences Égyptiennes). Ils utilisaient un système d'écriture des nombres additionnel (numération égyptienne). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du calcul fractionnaire (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la fausse position. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de π⁹. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données.

Chine [modifier]

La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les mathématiques chinoises provient du manuscrit de Zhoubi Suanjing ou Les neuf chapitres sur l'art mathématique, daté du i^er siècle, mais regroupant des résultats probablement plus anciens. On y découvre que les Chinois avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : arithmétique, fractions, extraction des racines carrées et cubiques, mode de calcul de l'aire du disque, volume de la pyramide et méthode du pivot de Gauss. Leur développement des algorithmes de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un système décimal positionnel (numération chinoise). Ils sont aussi à l'origine d'abaques les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le i^er et le vii^e siècle après J.-C. puis entre le x^e et le xiii^e siècle.

Civilisations précolombiennes [modifier]

Exemple de quipu.

La civilisation maya s'étend de 2600 avant J.-C. jusqu'à 1500 ans après J.-C. avec un apogée à l'époque classique du iii^e siècle au ix^e siècle. Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un système de numération positionnel de base vingt (numération maya). Les sources mayas sont issues principalement des codex (écrits autour duxiii^e siècle). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'Inquisition et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui de Dresde, deParis, de Madrid et Grolier) dont le dernier est peut-être un faux.

La civilisation Inca (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture¹⁰, ils utilisaient des quipus pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine¹¹. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.

Inde [modifier]

Article détaillé : Mathématiques indiennes.

La civilisation de la vallée de l'Indus développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les mathématiques indiennes sont les sulba-sutras (de 800 av. J.-C. jusqu'à 200). Ce sont des textes religieux écrits en sanscrit réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de deux. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du système décimal.

Il faut ensuite attendre l'époque jaïniste (v^e siècle après J.-C.) pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'infini, développent des calculs sur des nombres de la forme  qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, datent l'Aryabhata (499), du nom de son auteur, écrit en sanscrit et en vers, et les traités d'astronomie et de mathématiques de Brahmagupta (598-670) . Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de sinus qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la série des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaître les premières règles d'addition et de soustraction sur les nombres négatifs. Mais c'est à Brahmagupta semble-t-il que l'on doit les règles opératoires sur le zéro en tant que nombre et la règle des signes.

Grèce antique [modifier]

Article détaillé : Mathématiques de la Grèce antique.

Machine d'Anticythère, le plus anciencalculateur analogique.

À la différences des mathématiques égyptiennes et mésopotamiennes connues par des papyrus ou des tablettes d'argiles antiques remarquablement bien conservées, les mathématiques grecques ne sont pas parvenues jusqu'à nous grâce à des traces archéologiques. On les connait grâce aux copies, traductions et commentaires de leurs successeurs.

La grande nouveauté des mathématiques grecques est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de l'abstraction. Les mathématiques deviennent une branche de la philosophie. De l'argumentation philosophique découle l'argumentation mathématique. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la démonstration. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un cercle mais sur l'idée d'un cercle.

Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont Thalès (-625 – -547), Pythagore (-580 – -490) et l'école pythagoricienne, Hippocrate(-470 – -410) et l'école de Chios, Eudoxe de Cnide (-408 – -355) et l'école de Cnide, Théétète d'Athènes (-415 – -369) puis Euclide.

Il est probable que cette école grecque des mathématiques ait été influencée par les apports mésopotamiens et égyptiens. Ainsi Thalèsvoyagea en Égypte, et il a pu rapporter en Grèce des connaissances en géométrie. Il travailla sur les triangles isocèles et les triangles inscrits dans un cercle.

Selon l'école pythagoricienne, « tout est nombre ». Les deux branches d'étude privilégiées sont l'arithmétique et la géométrie. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombres que les nombres rationnels matérialisés par la notion de longueurs commensurables : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationalité de la racine carrée de deux les conduit à n'accepter que les nombres constructibles à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. En arithmétique, ils mettent en place la notion de nombre pair, impair, parfait et figuré.

Cet idéalisation des nombres et le souci de les relier à des considérations géométriques est probablement lié au système de numération grecque assez peu pratique  : si le système est décimal, il est additif et se prête donc assez peu facilement aux calculs numériques. En géométrie, ils étudient les polygones réguliers avec un penchant pour le pentagone régulier.

Hippocrate de Chios cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des lunules et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents.

Eudoxe de Cnide travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de nombres irrationnels. Il est probablement à l'origine de la formalisation de laméthode d'exhaustion pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes.

Théétète travaille sur les polyèdres réguliers.

La synthèse la plus importante des mathématiques grecques vient des Éléments d’Euclide. Les objets géométriques doivent être définis : il ne s'agit plus d'objets imparfaits mais de l'idée parfaite des objets. Dans ses Éléments, Euclide se lance dans la première formalisation de la pensée mathématique. Il définit les objets géométriques (droites, cercles, angles), il définit l'espace par une série d'axiomes, il démontre par implication les propriétés qui en découlent et fait le lien formel entre nombre et longueur. Cet ouvrage restera dans le cursus mathématique universitaire européen jusqu'au xix^e siècle.

Après Euclide, d'autres grands noms éclairent les mathématiques grecques. Archimède qui perfectionne les méthodes d'Eudoxe, et Apollonius de Perge dont le traité sur les coniquesest considéré comme un classique de la géométrie grecque.

Dans l'antiquité tardive, les mathématiques sont représentées par l'école d'Alexandrie.

Diophante étudiera les équations dites diophantiennes, et sera appelé le "père de l'algèbre".

Civilisation islamique [modifier]

Article détaillé : mathématiques arabes.

Une page du traité de Al-Khawarizmi.

Durant la période allant de 800 à 1500 après J.C., c'est dans les régions conquises par les musulmans que se développent le plus les mathématiques. La langue arabe devient langue officielle des pays conquis. Un vaste effort de recueils et de commentaires de textes est entrepris. S'appuyant d'une part sur les mathématiques grecques, d'autre part sur les mathématiques indiennes et chinoises que leur relations commerciales leur permettent de connaître, les mathématiciens musulmans vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'algèbre, répandant le système décimal indien avec les chiffres improprement appelés chiffres arabes et développant des algorithmes de calculs. Parmi les nombreux mathématiciens musulmans, on peut citer Al-Khwarizmi et son ouvrage al-jabr. On assiste à un développement important de l'astronomie et de la trigonométrie.

Occident [modifier]

Durant le Moyen Âge [modifier]

Illustration des Éléments d'Euclide, vers 1309 - 1316.

Le rôle du Moyen Âge fut essentiel pour l'extension du domaine des nombres. C'est durant le Moyen Âge que l'application de l'algèbre au commerce amena en Orient l'usage courant des nombres irrationnels, un usage qui se transmettra ensuite à l'Europe. C'est aussi durant le Moyen Âge, mais en Europe, que pour la première fois des solutions négatives furent acceptées dans des problèmes. C'est enfin peu après la fin du Moyen Âge que l'on considéra les quantités imaginaires, qui permettaient de mettre en évidence des solutions réelles de certaines équations du troisième degré.

Durant la renaissance européenne [modifier]

Dès le xii^e siècle est entreprise en Italie une traduction des textes arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs¹². Tolède, ancien centre culturel de l'Espagne musulmane, devient, suite à la Reconquista, l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme Gérard de Crémone ou Adélard de Bath.

L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales notamment vers l'Orient musulman, permet également aux milieux marchands de se familiariser avec les techniques transmises par les Arabes. Ainsi, Léonard de Pise, avec son Liber abaci en 1202, contribue largement à faire redécouvrir les mathématiques à l'Europe. Parallèlement au développement des sciences, se concentre une activité mathématique en Allemagne, en Italie et en Pologne aux xiv^e siècle et xv^e siècle. On assiste à un développement important de l'école italienne avec Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, école principalement tournée vers la résolution des équations. Cette tendance est fortement liée au développement dans les villes italiennes de l'enseignement des mathématiques non plus dans un but purement théorique tel qu'il pouvait l'être dans le Quadriviummais à des fins pratiques, notamment destinée aux marchands. Cet enseignement se diffuse dans des botteghe d'abbaco ou « écoles d'abbaques » où des maestri enseignent l'arithmétique, la géométrie et les méthodes calculatoires à de futurs marchands à travers des problèmes récréatifs, connus grâce à plusieurs « traités d'abbaque » que ces maîtres nous ont laissés¹³.

Les nombres complexes apparaissent lors des travaux de Scipione del Ferro, à l'occasion de la résolution des équations de degrés trois. Repris par Tartaglia, et publiés par Cardan, ils trouvent une première forme avec Bombelli. Ferrari résout les équations du quatrième degré.

Jusqu'à la fin du xvi^e siècle, la résolution de problèmes demeure cependant rhétorique. Le calcul symbolique apparaît en 1591 lors de la publication de l’Isagoge de François Viète avec l'introduction de notations spécifiques pour les constantes et les variables (ce travail popularisé et enrichi par Harriot, Fermat et Descartes modifiera entièrement le travail algébrique en Europe).

Au xvii^e siècle [modifier]

Article détaillé : Mathématiques en Europe au XVIIe siècle.

Les mathématiques portent leur regard sur des aspects physiques et techniques. Fils de deux pères, Isaac Newton et Gottfried Leibniz, le calcul infinitésimal fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'analyse (dérivée, intégrale, équation différentielle).

Le xviii^e siècle [modifier]

Leonhard Euler par Emanuel Handmann.

L'univers mathématiques du début du xviii^e siècle est dominé par la figure de Leonhard Euler ¹⁴ et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que Joseph-Louis Lagrange éclaire la seconde moitié de ce siècle.

Le siècle précédent avait vu la mise en place du calcul infinitésimal ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques, viennent s'ajouter deux opérations nouvelles, la différentiation et l'intégration (introductio in analysin infinitorum - Euler-1748). Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques (mécanique, mécanique céleste, optique, cordes vibrantes) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces).Leonhard Euler, dans Calculi différentialis (1755) et Institutiones calculi integralis (1770) essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. Jean le Rond d'Alembert puis Joseph-Louis Lagrange lui emboîtent le pas. En 1797, Sylvestre-François Lacroix publie Traité du calcul différentiel et intégral qui se veut une synthèse des travaux d'analyse du xviii^e siècle. La famille Bernoulli contribue au développement de la résolution des équations différentielles.

La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques(Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes ¹⁵.

Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la décomposition des fractions en éléments simples nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le chevalier de Foncenex (1759) et Lagrange (1771) tentent des démonstrations algébriques mais se heurtent à la partie transcendante du problème (tout polynôme de degré impair sur R possède une racine réelle) qui nécessiterait l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires¹⁶.. La démonstration de D'Alembert, publiée en 1746 dans les annales de l'académie de Berlin, est la plus achevée mais présente encore quelques trous et des obscurités. Gauss, en 1799, qui critique D'Alembert sur ces points n'est d'ailleurs pas exempté des mêmes reproches. Il faut à un moment faire intervenir un résultat d'analyse fort que le siècle ne connaît pas. De plus, l'obstacle se situe dans la question des points de branchement: on retrouve ici une question déjà débattue lors de la polémique sur les logarithmes des nombres négatifs que tranchera Euler. La seconde et la troisième démonstration de Gauss ne souffrent pas de ces reproches mais on n'est plus au xviii^e siècle...

En arithmétique, Euler démontre le petit théorème de Fermat et en donne une version élargie aux nombres composés (1736-1760). Il infirme la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme (nombre de Fermat)¹⁷. Il s'intéresse à la répartition des nombres premiers et prouve que la série des inverses des nombres premiers est divergente¹⁸. Laconjecture de Bachet (tout nombre est somme de 4 carrés au plus) est démontrée par Lagrange en 1770. C'est aussi Lagrange qui démontre en 1771 le théorème de Wilson (si p est premier, il divise (p-1)! + 1). Il développe la technique de décomposition en fractions continues et démontre l'infinité des solutions de l'équation de Pell-Fermat¹⁹. Legendre publie en 1798 sa Théorie des nombres qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique²⁰.La loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant.

Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations algébriques était l'œuvre de Tschirnhaus en 1683. Euler lui-même, dans deux essais, ne va pas au-delà de son devancier et en 1762, Bezout introduit la notion de racine de l'unité. Entre 1770 et 1772, on peut citer trois grands mémoires plus originaux : celui de Waring, celui d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1771) sur la résolubilité par radicaux des équations xⁿ − 1 = 0(équation cyclotomique) qui est un précurseur dans l'utilisation des permutations des racines²¹ et celui de Lagrange (1770) qui rassemble toutes les méthodes de résolutions déjà tentées mais va introduire les résolvantes de Lagrange et démontrer, dans un langage où la notion de groupe n'existe pas encore, le théorème de Lagrange: l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre du groupe. Ces deux derniers mathématiciens mettent en évidence l'importance des racines et de leurs permutations mais il faut attendre le siècle suivant pour voir naitre la notion de groupe de permutations.

La géométrie analytique se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. Alexis Clairaut étudie les courbes gauches (1729). Gabriel Cramer publie en 1750 un traité sur les courbes algébriques. La grande figure de la géométrie du XVIII^e reste Gaspard Monge²². Celui-ci développe la géométrie différentielle avec l'étude des tangentes et crée une nouvelle discipline: la géométrie descriptive. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles

Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions syllogistiques (diagramme d'Euler), Jean-Henri Lambert travaille sur la logique des relations ²².

C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la théorie des graphes. Euler résout en 1736 le problème des ponts de Königsberg, et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens: un p-graphe admet un circuit eulérien si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Il s'attaque au problème du cavalier en 1759 mais ne publie rien jusqu'en 1766. Il s'agit d'un cas particulier de graphes hamiltoniens. Le problème du cavalier est connu depuis fort longtemps. Vers 840, al-Adli ar-Rumi en donne une solution. Le poête Rudrata en parlait aussi dans le Kavyalankara, un texte indou.

Mais le siècle est fécond aussi en conjectures qui resteront des énigmes pendant plus d'un siècle : le problème de Goldbach, le problème de Waring²³, ...

Le siècle voit aussi Legendre s'échiner pendant des années sur les intégrales elliptiques. Malheureusement pour lui, même s'il fait l'admiration d'Euler en ce domaine, la solution de la question allait lui échapper au profit d'Abel.

Le xviii^e siècle est aussi celui de l'encyclopédie dans laquelle Jean le Rond d'Alembert fait un état des lieux des mathématiques de ce siècle.

Japon [modifier]

Article détaillé : Sangaku.

Durant la période Edo (1603 - 1887), au Japon, se développe une mathématique sans influence de la mathématique occidentale mais inspirée de la mathématique chinoise, travaillant sur des problèmes d'essence géométrique. Des énigmes géométriques sont posées et résolues sur des tablettes en bois appelées Sangaku.

xix^e siècle [modifier]

L'histoire mathématique du xix^e siècle est riche. Trop riche pour qu'en un essai de taille raisonnable on puisse couvrir la totalité des travaux de ce siècle. Aussi ne doit-on attendre de cette partie que les points saillants des travaux de ce siècle.

Le xix^e siècle vit apparaître plusieurs théories nouvelles et l'accomplissement des travaux entrepris au siècle précédent. Le siècle est dominé par la question de la rigueur. Celle-ci se manifeste en analyse avec Cauchy et la sommation des séries. Elle réapparaît à propos de la géométrie. Elle ne cesse de se manifester en théorie des fonctions et particulièrement sur les bases du calcul différentiel et intégral au point de voir disparaître totalement ces infiniments petits qui avaient pourtant fait le bonheur du siècle précédent. Mais plus encore, le siècle marque la fin de l'amateurisme mathématique: les mathématiques étaient jusque là surtout le fait de quelques particuliers suffisamment fortunés soit pour étudier eux-mêmes soit pour entretenir quelques génies. Au xix^e siècle, tout cela prend fin : Les mathématiciens deviennent des professionnels appointés. Le nombre de ces professionnels ne cesse de croître et avec ce nombre, les mathématiques prennent une importance jamais atteinte, comme si la société tout entière prenait enfin conscience du formidable outil. Les applications, en germe dans le siècle précédent, se développent rapidement dans tous les domaines, laissant croire que la science peut tout. D'ailleurs, certains succès sont là pour en attester. N'a-t-on pas découvert une nouvelle planète uniquement par le calcul ? N'a-t-on pas expliqué la création du système solaire ? Le domaine de la physique, science expérimentale par excellence est complètement envahi par les mathématiques: la chaleur, l'électricité, le magnétisme, la mécanique des fluides, la résistance des matériaux et l'élasticité, la cinétique chimique sont à leur tour mathématisés au point que le bon vieux cabinet de curiosité du xviii^e siècle finissant est remplacé par un tableau noir. Et le vaste champ de la science s'étend encore et encore. Certes, on ne dit plus ce presque lieu commun du xviii^e siècle que les sciences mathématiques seront bientôt achevées et qu'il faudra "fermer la mine", à la place on se met à rêver à la machine de Leibniz qui répondrait à toutes les questions. On va même jusqu'à quantifier le hasard ou l'incertain, histoire de se rassurer. Cournot veut appliquer le calcul des probabilités en matière judiciaire pour arriver à cette stupéfiante, et combien rassurante, conclusion qu'il y a moins de deux pour cent d'erreurs judiciaires ! Les mathématiques s'insinuent jusqu'à la structure intime de la matière: plusieurs théories de la lumière et les prémisses de la théorie de la relativité chez Lorentz qui complète la théorie électromagnétique de Maxwell. La tendance à la rigueur, commencée au début du xix^e siècle, ne verra son accomplissement qu'au début du xx^e siècle par la remise en cause de bien des a priori.

Joseph-Louis Lagrange	Augustin Louis Cauchy	Carl Friedrich Gauss	Bernhard Riemann
Pierre-Simon de Laplace	William Rowan Hamilton	Gottlob Frege.jpg Gottlob Frege

Revues de mathématiques [modifier]

• Il existait depuis la fin du xvii^e siècle quelques académies qui publiaient leurs travaux et des résumés annuels. De plus quelques journaux avaient fleuri, tels que les Acta Eruditorumédités par Otto Mencke à Leipzig ou les commentaires de Petersbourg rendus célèbres par Euler. Mais ces journaux ou revues n'étaient pas spécialisés dans les mathématiques et accueillaient des mémoires de philosophie, d'histoire, de botanique, aussi bien que de mathématiques. Le début du XIX^e va voir apparaître des revues qui se spécialiseront dans la publication des mathématiques. Les éditeurs de ces revues sont Ferussac (pour le Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques), Gergonne (pour lesAnnales de mathématiques pures et appliquées), Crelle (pour le Journal für die reine und angewandte Mathematik), Liouville (pour le Journal de mathématiques pures et appliquées) pour n'en donner que quatre avant 1840. Elles seront bientôt suivies par une foule d'autres revues que chaque université un peu célèbre se plait à financer, tels les Acta Mathematicade Mittag-Leffler en 1882.

Mécanique [modifier]

Sofia Kovalevskaïa

• La mécanique de Newton opère sa révolution. Utilisant le principe (variationnel) de moindre action de Maupertuis, Lagrange énonce les conditions d'optimalité du premier ordre qu'Euler avait trouvé en toute généralité et trouve ainsi les équations de la mécanique qui portent son nom. Par la suite, Hamilton, sur les pas de Lagrange, exprime ces mêmes équations sous une forme équivalente. Elles portent aussi son nom. La théorie naissante des espaces de Riemann permettra de les généraliser commodément.
• Delaunay, dans un calcul extraordinaire, fait une théorie de la Lune insurpassée²⁴. Faye²⁵ s'exprime ainsi à ses funérailles (1872) : «Travail énorme, que les plus compétents jugeaient impossible avant lui, et où nous admirons à la fois la simplicité dans la méthode et la puissance dans l'application ». Il résolut de faire le calcul au 7^e ordre là où ses devanciers (Clairaut, Poisson, Lubbock, ...) s'étaient arrêtés au 5^e.
• Le Verrier²⁶ appliquant la théorie newtonienne aux irrégularités d'Uranus que venait de découvrir Herschel, conjecture l'existence d'une planète encore inconnue (Neptune) dont il détermine position et masse par le calcul des perturbations.
• Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe admet trois intégrales premières algébriques et un dernier multiplicateur égal à 1. Le problème de l'intégration formelle par quadrature du mouvement nécessite une quatrième intégrale première. Celle-ci avait été découverte dans un cas particulier par Euler. La question est reprise par Lagrange, Poisson et Poinsot. Lagrange et Poisson découvrent un nouveau cas où cette quatrième intégrale est algébrique²⁷.
• Les deux cas, désormais classiques, du mouvement d'Euler-Poinsot et du mouvement de Lagrange-Poisson sont complétés, en 1888, par un nouveau cas découvert par Sophie Kovalevskaïa²⁸. Poincaré avait montré qu'il ne pouvait exister de nouveau cas si l'ellipsoïde d'inertie relatif au point de suspension n'est pas de révolution²⁷.
• Mach énonce un principe qui sera central dans les motivations de la relativité d'Einstein.
• Malgré ses succès, la mécanique aura du mal à trouver, dans l'enseignement, une place que les mathématiques ne veulent pas lui céder²⁹ et Flaubert pourra présenter comme une idée reçue que c'est une « partie inférieure des mathématiques ».

Physique mathématique [modifier]

Euler, dont on a commencé la publication des travaux (prévus sur cinquante ans !), s'était déjà attaqué à bien des domaines : acoustique, optique, résistance des matériaux, mécanique des fluides, élasticité, mais ces domaines étaient encore naissants. C'est Fourier, dont le premier mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris, qui attaque le premier la théorie de la chaleur faisant usage de ce qui va devenir les séries de Fourier. Vers la même époque, les années 1820, Fresnel s'occupe d'optique ainsi que Bessel qui va introduire lesfonctions de Bessel. La mécanique des fluides, qui en était quasiment au stade laissé par Euler et d'Alembert, le stade des fluides parfaits, fait des progrès avec Henri Navier et George Gabriel Stokes qui s'attaquent aux fluides incompressibles puis compressibles introduisant la viscosité. L'électricité, fait ses débuts sous l'influence de Gauss, d'Ohm, de Biot, de Savartet d'Ampère mais c'est surtout le génie de Maxwell qui va embrasser la théorie dans l'une des plus belles théories du siècle, la théorie électromagnétique, qui prétend unifier l'ensemble des travaux sur l'électricité, l'optique et le magnétisme. En résistance des matériaux, les progrès sont plus modestes. On peut citer notamment Barré de Saint-Venant, Yvon Villarceau,Aimé-Henry Résal et son fils Jean Résal mais il faudra attendre le siècle suivant pour que l'élasticité fasse de décisifs progrès, d'autant qu'on ignore encore bien des propriétés du béton et plus encore le béton armé. Vers la fin du siècle, on en connaît suffisamment pour que certains se lancent dans des réalisations monumentales en acier, tels Eiffel.

Théorie des nombres [modifier]

Trois grands problèmes éclaireront le siècle : la loi de réciprocité quadratique, la répartition des nombres premiers et le grand théorème de Fermat. Le xix^e siècle offre des progrès considérables sur ses trois questions grâce aux développements d'une véritable théorie prenant le nom d'arithmétique ou de théorie des nombres et s'appuyant sur des outils abstraits et sophistiqués.

• En méconnaissant totalement les travaux d'Euler publiés en 1784 sur la loi de réciprocités quadratique, Legendre (1785) et Gauss (1796) la retrouvent par induction. Ce dernier finit par en donner une longue démonstration complète dans ses recherches arithmétiques. La démonstration est simplifiée dans le courant du xix^e siècle, par exemple par Zeller³⁰ en 1852 où elle ne fait que deux pages ! La loi de réciprocité quadratique est promise à un bel avenir par diverses généralisations.
• Eisenstein démontre la loi de réciprocité cubique.
• Depuis 1798, Legendre travaille à sa théorie des nombres. Il vient (en 1808) de démontrer le théorème de raréfaction des nombres premiers et de proposer une formule approchée pourπ(x), le nombre de nombres premiers plus petit que x. Ses recherches l'ont amené à reconsidérer le crible d'Eratosthène. La formule qu'il obtient est le premier élément d'une méthode qui prendra tout son sens au siècle d'après, la méthode du crible. Par la suite, en 1830, peu avant sa mort, il énonce une conjecture selon laquelle entre n² et (n+1)² existe au moins un nombre premier. Cette conjecture reste non démontrée.
• La démonstration d'Euler de l'infinitude des nombres premiers inspire Lejeune-Dirichlet qui démontre une conjecture de Legendre : il existe une infinité de nombres premiers dans toute suite arithmétique de la forme an+b si a et b sont premiers entre eux. Pour cela il invente la notion de caractère arithmétique et les séries "de Dirichlet".
• La conjecture de Legendre sur la répartition des nombres premiers est appuyée par Gauss et fait l'objet des travaux de Tchebyschev en 1850. Il démontre un encadrement de π(x)conforme à la conjecture et il démontre le postulat de Bertrand selon lequel il existe un nombre premier entre n et 2n. Mais la conjecture de Legendre ne sera démontrée qu'en 1896, par Hadamard et De La Vallée Poussin indépendamment.
• Le résultat le plus important est le mémoire de Riemann de 1859 qui reste encore aujourd'hui le mémoire du xix^e siècle le plus souvent cité. Riemann étudie dans ce mémoire la fonction ζ(s) "de Riemann". Cette fonction introduite par Euler dans son étude du problème de Mengoli est étendue aux valeurs complexe de s à l'exception de 1 qui est un pôle de résidu 1 (théorème de Dirichlet). Riemann énonce la conjecture, appelée Hypothèse de Riemann, selon laquelle tous les zéros non réels sont de partie réelle égale à 1/2. Les démonstrations de Riemann ne sont pour la plupart qu'ébauchées. Elles sont complètement démontrées, sauf la conjecture de Riemann, par Hadamard et Von Mangold, après 1892.
• Le grand théorème de Fermat, qui avait déjà occupé Euler au siècle précédent est l'objet de nouvelles recherches par Dirichlet et Legendre (n=5), Dirichlet (n=14), Lamé (n=7), démonstration simplifiée par Lebesgue. Kummer démontre que le grand théorème de Fermat est vrai pour les nombres premiers réguliers en 1849. Malheureusement il existe des nombres premiers irréguliers et ils sont même en nombre infini.
• Mertens démontre de nombreux résultats sur les fonctions arithmétiques et la fonction de Möbius. Il émet en 1897 une conjecture qui permettrait de démontrer l'hypothèse de Riemann. Sous sa forme forte, elle sera réfutée par Odlysko et Te Riele en 1985. La forme faible reste une énigme.

Logique [modifier]

Georg Cantor est le créateur de la théorie des ensembles

• George Boole se lance dans des travaux qui vont mener à l'algèbre de Boole, à la logique symbolique et à la théorie des ensembles en voulant démontrer l'existence de Dieu. Le calcul des propositions est né. Augustus De Morgan énonce les lois qui portent son nom. La logique sort définitivement de la philosophie.
• Frege pose les bases de la logique formelle et Cantor celle de la théorie des ensembles. Ni l'une ni l'autre ne sont comprises par nombre de mathématiciens et elles suscitent bien des inquiétudes. La question des fondements est posée. Elle ne sera partiellement résolue que tardivement au xx^e siècle. Déjà pointent les paradoxes, tel celui de Burali-Forti, celui de Russell, celui de Richard ou celui de Berry dans la tentative de théorie des ensembles de Frege.

Géométrie [modifier]

Gaspard Monge

• Le siècle débute par l'invention de la géométrie descriptive par Gaspard Monge³¹.
• Delaunay classa les surfaces de révolution de courbure moyenne constante, qui aujourd'hui portent son nom : surface de Delaunay.
• Héritier des siècles précédents, le siècle va voir s'accomplir la résolution des grands problèmes grecs par la négative. La trisection de l'angle à la règle et au compas est impossible en général. Il en est de même de la quadrature du cercle et de la duplication du cube. Concernant la quadrature du cercle, le xviii^e siècle avait montré que π était irrationnel. Liouville, définissant les nombres transcendants en 1844, ouvre la voie à l'étude de la transcendance dont les deux monuments du xix^e siècle restent les théorèmes d'Hermite (1872) sur la transcendance de e et de Lindemann (1881) sur celle de π, rendant impossible la quadrature du cercle par la règle et le compas³² . C'est à la fin du siècle que se fait jour la conjecture, que démontrera le siècle d'après en le théorème de Gelfond-Schneider, que a et exp(a) ne peuvent être simultanément algébriques.
• l'autre héritage concerne le postulat d'Euclide. Le problème avait en fait été quasi résolu par Saccheri mais celui-ci n'avait pas vu qu'il était près du but. Les travaux de Gauss sur les surfaces amènent János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski à remettre en cause le postulat des parallèles. Ils inventent donc une nouvelle géométrie où le postulat n'est plus vrai, une géométrie non euclidienne dont Poincaré donnera un modèle. Riemann, après eux, offrira une nouvelle solution non euclidienne, avant que l'ensemble ne forme la théorie des espaces de Riemann, qui fournira au siècle suivant un cadre à la théorie de la relativité généralisée.
• En généralisant la notion d'espace et de distance, Ludwig Schläfli arrive à déterminer le nombre exact de polyèdres réguliers en fonction de la dimension de l'espace³³.
• Felix Klein annonce le programme d'Erlangen³⁴.
• David Hilbert propose une axiomatique complète de la géométrie euclidienne en explicitant des axiomes implicites chez Euclide.

Algèbre [modifier]

Evariste Galois. Sa vie est un véritable drame. À l'instar d'Abel, il meurt jeune. Son génie est méconnu de son vivant. Ses opinions politiques le mènent en prison. Ses amours le perdent : Il meurt en conséquence d'un duel pour une "coquette".

• La représentation des complexes avait occupé bien du monde : depuis Henri Dominique Truel (1786)³⁵, Caspar Wessel³⁶ (1797) en passant par Jean-Robert Argand³⁷ (1806), Mourey³⁸, pour aller à Giusto Bellavitis (1832). Hamilton, inspiré par cette représentation des complexes en a+ib, cherche à généraliser le corps des complexes. Il découvre le corps non commutatif des quaternions et par la suiteCayley découvre les octavions. Hamilton passera une grande partie de sa vie à proposer des applications de ses quaternions.
• Grassmann, en 1844, développe dans "die lineale ausdenungslehre" une nouvelle voie pour les mathématiques et fonde ce qui deviendra la théorie des espaces vectoriels.
• Hamilton, en 1853, démontre ce qui deviendra le théorème de Cayley-Hamilton pour la dimension 4 à propos de l'inverse d'un quaternion. C'est Cayley, en 1857, qui généralise le résultat mais ne le démontre qu'en dimension 2. Frobenius, en 1878, donne la première démonstration générale.
• Les résultats de Galois et de Kummer montrent qu'une avancée majeure en théorie algébrique des nombres suppose la compréhension de structures subtiles : les anneaux d'entiers algébriques sous-jacents à des extensions algébriques. Le cas le moins complexe est celui des extensions algébriques finies et abéliennes. Il semble simple, le résultat correspond aux structures qu'avaient étudiées Gauss au début du siècle pour résoudre les problèmes de l'antiquité de construction à la règle et au compas : les extensions cyclotomiques associées au polynômes du même nom. Il faut néanmoins 50 ans et trois grands noms de l'algèbre pour en venir à bout à la fin du siècle : Kronecker,Weber et Hilbert. Il ouvre la porte à l'étude des extensions algébriques abéliennes générales, c'est-à-dire non finies. Hilbert ouvre la voie de ce chapitre des mathématiques qui représente un des plus beaux défis du siècle futur, la théorie des corps de classe. Dans la dernière année du siècle, en 1900, Richard Dedekind s'intéresse à une théorie générale des ensembles reliés entre eux par des relations. En inventant la notion de dualgruppe, il vient de faire le premier pas dans la théorie générale des structures.
• Killing et Elie Cartan commencent l'étude des groupes et algèbres de Lie. La théorie des systèmes de racines prend naissance.

Probabilité et statistiques [modifier]

• Legendre en 1805³⁹ 1811⁴⁰ puis Gauss en 1809⁴¹ introduisent, sur des problèmes d'astronomie, la méthode des moindres carrés, ensemble de méthodes qui deviendront fondamentales en statistiques.

• Pierre-Simon de Laplace fait entrer l'analyse dans la théorie des probabilités dans sa théorie analytique des probabilités de 1812 qui restera longtemps un monument. Son livre donne une première version du théorème central limite qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces. Il faudra attendre 1901 pour en voir apparaître la première version générale par Liapounov. C'est aussi dans ce traité qu'apparaît la méthode de Laplace pour l'évaluation asymptotique de certaines intégrales.

• Sous l'impulsion de Quetelet, qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique le Conseil Supérieur de Statistique ⁴², les statistiques se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.

• La théorie moderne des probabilités ne prend réellement son essor qu'avec la notion de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897.

Théorie des graphes [modifier]

• La théorie, on l'a déjà dit, a été commencée par Euler dans sa résolution du problème des sept ponts de Königsberg. Elle prend une nouvelle tournure, singulière pour notre époque, quand on s'intéresse soudainement aux nœuds, au tout début des modèles atomiques.

• La question de la cartographie est un vieux problème qui avait été partiellement résolu par différents procédés de projection. Dans la question de la représentation la plus respectueuse de la topographie, la question avait eu un nouvel intérêt par le théorème de l'application conforme de Riemann et les fonctions holomorphes dont on sait qu'elles conservent les angles là où la dérivée ne s'annule pas. L'habitude des cartographes de colorer les états de couleurs différentes avait montré que quatre couleurs suffisaient. Cette constatation très ancienne amène, en 1852, Francis Guthrie à énoncer la conjecture des quatre couleurs⁴³. Il faut attendre plus de vingt ans pour que Cayley s'y intéresse⁴⁴. Un avocat, Alfred Kempe, proposa en 1879 une démonstration par réduction mais que Percy John Heawood réfuta en 1890 par un contre-exemple invalidant le procédé de coloriage de Kempe. Cependant la tentative de Kempe montrait que le nombre chromatique de la sphère était au plus 5. Ce n'est que bien plus tard que la conjecture des quatre couleurs sera démontrée.

Analyse réelle [modifier]

• À la fin du xviii^e siècle, faire des mathématiques consiste à écrire des égalités, parfois un peu douteuses, mais sans que cela choque le lecteur. Lacroix par exemple n'hésite pas à écrire

sous la seule justification du développement en série de Taylor de 1/(1+x). Les mathématiciens croient encore, pour peu de temps, que la somme infinie de fonctions continues est continue, et (pour plus longtemps) que toute fonction continue admet une dérivée...

• C'est Cauchy qui met un peu d'ordre dans tout cela en montrant que la somme d'une série numérique n'est commutativement convergente que si la série est absolument convergente. Mais Cauchy, qui pourtant n'est qu'à un doigt de la notion de convergence uniforme, énonce un faux théorème de continuité d'une série de fonctions continues qu'Abel contredit par un contre-exemple du 16 janvier 1826.

• C'est encore Cauchy qui se refuse à considérer la somme de séries divergentes, au contraire des mathématiciens du xviii^e siècle dont Lacroix est l'un des héritiers.
• Gudermann, en 1838, utilise pour la première fois, la notion de convergence uniforme. En 1847, Stokes et Seidel définissent la notion d'une série convergeant aussi lentement que l'on veut, notion équivalente à la convergence uniforme. Mais leur réflexion n'est pas mûre. Weierstrass donne une définition de la convergence uniforme en 1841 dans un article qui ne sera publié qu'en 1894. Il revient à Cauchy de donner la première définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861.
• Bolzano démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du xviii^e siècle, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un intervalle s'y annule, ouvrant la voie à la topologie par le théorème des valeurs intermédiaires.
• Karl Weierstrass donne le premier la définition de la limite d'une fonction, notion un peu floue jusque là, à partir de η, ε. La notion de limite supérieure, inventée par Cauchy, est expliquée clairement par Du Bois-Reymond.
• En 1869, Charles Meray, professeur à l'université de Dijon, donne, le premier, une construction rigoureuse des nombres réels par les classe d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels. Georg Cantor donnera une construction analogue de . Karl Weierstrass construit  à partir de la notion d'« agrégats » tandis que Richard Dedekind crée  de la notion de coupure de l'ensemble des rationnels.
• Il faut quasiment attendre le milieu du siècle pour qu'enfin on s'intéresse aux inégalités. Tchebyschev, dans sa démonstration élémentaire du postulat de Bertrand, est l'un des premiers à les utiliser.
• Un peu avant, Bessel et Parseval, en s'occupant des séries trigonométriques démontrent ce qu'on appelle aujourd'hui les inégalités de Bessel-Parseval.
• La grande application des séries trigonométriques reste la théorie de la chaleur de Fourier, même si ce dernier ne démontre pas la convergence des séries qu'il utilise. Il faudra attendre la fin du siècle pour que la question soit vraiment clarifiée par Fejér.
• Poincaré participe au concours du roi de Suède concernant les solutions du système des trois corps⁴⁵. Dans le mémoire de Stockholm (1889), il donne le premier exemple de situation chaotique. Il s'exprime ainsi :

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur... »

• Ce n'est qu'avec regret qu'on a abandonné les séries divergentes au début du siècle sous l'impulsion de Cauchy et dans un but essentiellement de rigueur. Les séries divergentes refont, à la fin du siècle, leur apparition. Il s'agit, dans certain cas, de donner une somme à de telles séries. Le procédé de sommation de Césaro est l'un des premiers. Borel fournit le sien, plus sophistiqué. Cela va vite devenir un sujet d'étude important que le xx^e siècle va prolonger.

Analyse complexe [modifier]

• La théorie des fonctions de la variable complexe, le grand sujet de tout le xix^e siècle, prend sa source dans les travaux de Cauchy, bien qu'entrevue par Poisson⁴⁶. Cauchy définit la notion d'intégrale de chemin. Il arrive ainsi à énoncer le théorème des résidus et les principales propriétés de l'intégrale "de Cauchy". et notamment la Formule intégrale de Cauchy.

• Il justifie ainsi le développement en série de Taylor et trouve la formule intégrale des coefficients en dérivant sous le signe .Il démontre les inégalités "de Cauchy" qui seront intensément utilisées, dans la théorie des équations différentielles notamment.

• Cauchy publie par la suite nombre d'applications de sa théorie dans des recueils d'exercices, notamment à l'évaluation d'intégrales réelles, qu'il n'hésite pas à généraliser en ce qu'on appelle aujourd'hui la valeur principale de Cauchy, un peu moins d'un siècle avant que Jacques Hadamard en ait besoin dans sa résolution des équations aux dérivées partielles par les parties finies d'Hadamard et que Laurent Schwartz n'en vienne aux distributions.

• La théorie des fonctions analytiques se développe rapidement. Cauchy définit le rayon de convergence d'une série entière à partir de la formule qu'expliquera parfaitement Hadamard dans sa thèse, suite aux travaux de du Bois-Reymond qui donna une définition claire de la limite supérieure.
• Ceci permet à Liouville de démontrer son théorème et d'en déduire une nouvelle et élémentaire démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss qu'on avait eu tant de mal à démontrer au siècle avant.

• À la mort de Cauchy, le flambeau est déjà passé à Riemann (Théorème de l'application conforme, intégrale de Riemann remplaçant la conception de Cauchy, ...) et Weierstrass qui éclaircira la notion de point singulier essentiel et de prolongement analytique (bien que Émile Borel ait montré par la suite que certaines des conceptions du "maître" étaient erronées).

• La théorie de Cauchy vient juste à point pour résoudre enfin la question des intégrales elliptiques, théorie commencée par Legendre au siècle précédent. C'est Abel qui a l'idée de l'inversion des intégrales elliptiques et découvrit ainsi les fonctions elliptiques qu'on s'empressa d'étudier. La très belle théorie des fonctions elliptiques est enfin achevée lorsque paraissent le traité de Briot et Bouquet, théorie des fonctions elliptiques, 2^e édition, 1875 et le traité de Georges Henri Halphen en quatre volumes, interrompu par la mort de l'auteur.
• Le résultat le plus difficile de la théorie reste le théorème de Picard qui précise le théorème de Weierstrass. La première démonstration, avec la fonction modulaire, est bien vite simplifiée par Émile Borel à la fin du siècle.
• Le siècle s'est aussi beaucoup préoccupé de la théorie des équations différentielles et notamment de la théorie du potentiel, des fonctions harmoniques. Fuchs étudie les singularités des solutions des équations différentielles ordinaires linéaires.Émile Picard découvre le procédé d'intégration des équations différentielles par récurrence, ce qui permet de prouver l'existence et l'unicité des solutions. Cela débouchera sur l'étude des équations intégrales (Ivar Fredholm, Vito Volterra...).
• Bien qu'engagée par Laplace et utilisée sporadiquement par d'autres au cours du siècle, la résolution des équations différentielles est effectuée par un électricien anglais, Oliver Heaviside, sans autre justification, en considérant l'opérateur de dérivation comme une quantité algébrique notée p. La théorie de la transformation de Laplace est née. Mais elle ne sera pleinement justifiée que par les travaux de Lerch, Carson, Bromwich, Wagner, Mellin et bien d'autres, au siècle suivant. Oltramare donnera aussi un "calcul de généralisation" basé sur une idée voisine.
• Émile Borel commence l'étude des fonctions entières et définit la notion d'ordre exponentiel pour une fonction entière. Son but est d'élucider le comportement du module d'une fonction entière et notamment de montrer le lien entre le maximum du module de f sur le cercle de rayon R et les coefficients de la série de Taylor de F. Darboux montre que les coefficients de Taylor s'écrivent en fonction des singularités. D'autres, comme Charles Méray, Leau, Fabry, Lindelöf, étudient la position des points singuliers sur le cercle de convergence ou le prolongement analytique de la série de Taylor.
• Poincaré définit et étudie les fonctions automorphes à partir des géométrie hyperboliques. Il laisse son nom à une représentation par un demi-plan de la géométrie hyperbolique.
• Schwarz et Christoffel découvrent la transformation conforme qui porte leurs noms. Elle sera intensivement utilisée le siècle d'après par les moyens informatiques (Driscoll par exemple).
• L'apothéose est atteinte par la démonstration du théorème des nombres premiers, en 1896, par Hadamard et de la Vallée Poussin indépendamment l'un de l'autre.

Perspectives [modifier]

Mais déjà le siècle est écoulé et, au congrès international de mathématique qui se tient, en cette année 1900, à Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes non résolus de première importance pour le siècle d'après. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et vont prendre une part importante dans l'histoire mathématique du xx^e siècle.

Les livres du siècle [modifier]

Ce paragraphe donne un ensemble de livres de première importance, soit par leur contenu historiquement important soit pour la synthèse qu'ils constituent sur un domaine donné. L'ordre choisi est alphabétique sur le nom des auteurs.

• Bachmann, Zahlentheorie, 5 tomes, 1892 Tome 1 Tome 2 Tome 3 Tome 4 Tome 5
• Bolya, La science absolue de l'espace, 1868
• Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, 1875
• Cauchy, Le Cours d'analyse de l'École royale polytechnique : 1ère partie : Analyse algébrique, 1821
• Chasles
  • Les trois livres de porismes d'Euclide, 1860
  • Traité de géométrie supérieure, 1852
  • Traité des sections coniques, faisant suite au Traité de géométrie supérieure, 1865
• Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, 4 volumes, 1887-1896, Volume 2 Volume 3 Volume 4
• Du bois-Reymond, Die Allgemeine Functionentheorie, 1882, Théorie générale des fonctions, 1887
• Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822
• Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, 1884, Les Fondements de l'arithmétique
• Galois, Oeuvres mathématiques, 1846
• Gauss, Disquisitiones arithmeticae, 1801, Recherches arithmétiques, 1807.
• Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, 2 volumes, 1896-1898, Volume 1 Volume 2
• Grassmann, Die lineare Ausdehnungslehre, 1844, La science de la grandeur extensive
• Halphen, Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, 3 volumes, 1886-1891, Volume 1 Volume 2 Volume 3
• Hamilton, Lecture on quaternions, 1853
• Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899, Les principes fondamentaux de la géométrie, 1900
• Jordan
  • Traité des substitutions et des équations algèbriques, 1870
  • Cours d'analyse de l'école polytechnique, 1882-1883, 3 volumes. Volume 1 Volume 2 Volume 3
• Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade (Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré), 1888
• Lagrange, Leçons sur le calcul des fonctions, 1806
• Laplace
  • Traité de mécanique céleste, 1798-1825
  • Théorie analytique des probabilités, 1812
• Legendre
  • Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, 2 volumes, 1825-1826
  • Éléments de géométrie, ouvrage qui vient remplacer les Éléments d'Euclide.
  • Théorie des nombres, 1830
• Liapunov, Problème général de la stabilité et du mouvement, 1892-1893
• Lobachevskii, Pangeometrie
• Maxwell, Traité d'électricité et de magnétisme, 2 volumes, 1885-1887
• Meray, Leçons nouvelles sur l'analyse infinitésimale et ses applications géométriques, 1894-1895
• Möbius, Der barycentrische Calcul, 1827
• Monge, La géométrie descriptive, an 7 = 1799
• Painlevé, Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, 1897
• Picard, Traité d'analyse, 3 volumes, 1892-1896
• Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 2 volumes, 1822
• Serret, Cours d'Algèbre supérieure, 2 volumes, 1877
• Tannery et Molk, Éléments de la théorie des fonctions elliptiques, 3 volumes, 1893-1898
• Tisserand, Traité de Mécanique céleste, 4 volumes, 1889-1894
• Weber, Lehrbuch der Algebra, 2 volumes, 1898-1899

xx^e siècle [modifier]

Le xx^e siècle aura été un siècle extraodinairement fécond du point de vue mathématique. Trois grands théorèmes dominent tous les autres : d'une part le théorème de Gödel ; d'autre part la démonstration de la conjecture de Tanyama-Shimura qui entraîna la démonstration du grand théorème de Fermat ; enfin la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne. De nouveaux domaines de recherche sont nés ou se sont développés : les systèmes dynamiques, suite aux travaux de Poincaré, les probabilités, la topologie, la géométrie différentielle, la logique, la géométrie algébrique, suite aux travaux de Grothendieck, ...

La communauté mathématique explose [modifier]

• Le métier de mathématicien a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du xix^e siècle. Grâce à la mondialisation, aux progrès des transports, et aux moyens électroniques de communication, la recherche mathématique n'est plus localisée sur un pays ou un continent. Depuis la fin du xix^e siècle, de nombreux colloques, congrès, séminaires, se tiennent à un rythme soutenu, voire annuellement.
• Hormis deux congrès qui se sont tenus au xix^e siècle, vingt et un congrès internationaux de mathématiques se sont tenus au xx^e siècle, un presque tous les quatre ans malgré les interruptions dues aux guerres mondiales.
• L'apparition de l'ordinateur a sensiblement modifié les conditions de travail des mathématiciens à partir des années 1980.

• Le développement mathématique a explosé depuis 1900. Au xix^e siècle, on estime qu'on publiait environ 900 mémoires par an. Actuellement plus de 15 000. Le nombre des mathématiciens est ainsi passé de quelques centaines ou milliers à plus d'un million et demi en moins d'un siècle.
• On a soutenu 292 thèses d'état de mathématiques entre 1810 et 1901 en France⁴⁷. À la fin du xx^e siècle, c'est le nombre de thèses soutenues annuellement.

Algèbre [modifier]

Wedderburn est surtout connu pour avoir démontré que tout corps fini est commutatif

• Leonard Dickson commence l'étude systématique des corps finis⁴⁸ et obtient la première classification des corps finis commutatifs. La structure de l'anneau des polynômes associé y est explicitée. Avec Joseph Wedderburn, en 1905, il démontre qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif.

Mécanique [modifier]

• Édouard Husson, dans sa thèse soutenue en 1906, résout définitivement le problème des intégrales premières de la mécanique classique pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe. Il n'y a que quatre intégrales premières possibles, la quatrième n'apparaissant que dans trois cas particuliers, le mouvement d'Euler-Poinsot, celui de Lagrange-Poisson et enfin celui de Sophie Kowaleski. L'intégration complète par quadrature est donc possible dans ces trois cas. Cependant Goriatchoff montre que l'intégration est aussi possible dans le cas de conditions initiales particulières, et un second cas est indiqué par Nicolaus Kowalevski en 1908.
• La mécanique, qui n'avait que peu changé depuis Newton, devient l'objet d'études poussées. Poincaré et Einstein publient une mécanique qui ne renferme la mécanique newtonienne qu'en y faisant tendre la célérité c de la lumière vers l'infini. La transformation de Galilée laisse sa place à la transformation de Lorentz. Et une nouvelle généralisation, une théorie de la gravitation, prend le nom de théorie de la relativité générale, entre 1909 et 1916, prétendant inclure le principe de Mach.
• La spéculation cosmologique prend maintenant une tournure totalement inattendue par une mathématisation sophistiquée. L'univers statique d'Einstein et celui de De Sitter sont bientôt accompagnés par des univers en évolution régis par les équations de Friedman, aidé par les recherches de Hubble et Humason qui viennent de découvrir le décalage vers le rouge. Ces progrès spectaculaires sont cependant tempérés par la découverte de la mécanique quantique. Si tout va bien de ce côté jusqu'à l'année 1924, la thèse de De Broglie remet tout en cause. Celle-ci part de l'idée de l'identité entre le principe de Fermat et le principe de moindre action de Maupertuis pour le photon, associant ainsi à une particule une onde Ψ. L'école de Copenhague interprète les relations d'incertitudes d'Heisenberg comme une invitation à ne considérer l'onde Ψ que comme une probabilité de présence, rompant avec un déterminisme total qui étaient l'apanage de la mécanique de Newton et dont Einstein sera le défenseur acharné dans le paradoxe Einstein-Podolski-Rosen. La mécanique d'Einstein, dont on a vérifié la concordance avec les observations, s'accorde très bien aux faits expérimentaux à grande échelle. La mécanique quantique, de son côté est la reine à l'échelle atomique et moléculaire. Et les deux mécaniques ne s'accordent pas. Les différentes tentatives d'unification sont autant d'échecs au point qu'on désespère de trouver cette théorie unitaire qui réconcilierait les deux mondes. La théorie pentadimensionnelle de Kaluza-Klein, la théorie d'Einstein de 1931, la théorie de la double solution de De Broglie, la théorie cinématique de Milne, les spéculations d'Eddington sur le nombre 137, la théorie de Bondi et Gold, ... apportent chacune une idée nouvelle mais qui ne résolvent pas le problème de l'incompatibilité des deux mécaniques. Les auteurs, surtout des physiciens, se lancent à corps perdu dans une algébrisation de leurs théories qui débouchent sur la théorie des cordes, la théorie M, ... qui sont encore loin de résoudre toutes les questions posées. La théorie unitaire, la grande unification n'est pas pour ce siècle.
• Alors qu'Einstein en avait fait une de ses motivations pour proposer la relativité, Kurt Gödel montre que le principe de Mach n'est pas inscrit dans les équations de la relativité générale.

Analyse [modifier]

• Le siècle commence par la thèse de Lebesgue "intégrale, longueur, aire" qui constitue vraiment le début de la théorie de la mesure. Par la suite, de nouvelles intégrales sont crées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock, ...). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.
• La théorie de Lebesgue mène à l'étude des espaces L^p. Et sur les traces de Hilbert, Riesz (auteur du célèbre théorème de représentation qui porte son nom), Banach, les opérateurs différentiels sont étudiés. C'est l'occasion de créer la théorie des distributions, dont les prémisses avaient été données par Hadamard qui avait introduit les parties finies dans un problème d'hydrodynamique⁴⁹. S'illustrent ainsi Guelfand, Chilov, Schwartz, Vekua. L'étude des conditions de régularité des solutions des équations aux dérivées partielles permet àSergueï Sobolev et ses continuateurs de définir ses espaces de fonctions et les théorèmes de trace en fonction des propriétés géométriques du domaine.
• La théorie spectrales des opérateurs linéaires, notamment auto-adjoints, opérant dans un espace de Hilbert a été commencée par David Hilbert, dans six mémoires publiés entre 1904 et 1910. Henri Weyl, de son côté fit avancer la théorie des équations différentielles singulières du second ordre. John Von Neumann développa le concept de l'espace de Hilbert abstrait entre 1927 et 1929, cadre dans lequel il commença l'étude des opérateurs auto-adjoint non bornés essentiellement pour les besoins de la théorie quantique naissante. Fréderic Riesz et M. H. Stone développèrent la théorie spectrale et l'étendirent aux opérateurs normaux non bornés. Des applications aux opérateurs différentiels et l'extension aux opérateurs semi-bornés symétriques furent l'œuvre de K. O. Friedrichs en 1934 et Krein en 1947.
• En 1927, la théorie des corps ordonnables d'Artin-Schreier permet de clarifier la nécessité d'un argument d'analyse dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss.
• Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, les infiniments petits de l'époque héroïque (xvii^e siècle) reprennent du service sous l'impulsion de Abraham Robinson en 1960 qui crée l'Analyse non standard. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus facile. Les résultats démontrés dans l'analyse non standard qui s'expriment dans ZFC seul sont alors vrais dans ZFC seul.

Théorie des groupes [modifier]

• La théorie des groupes occupe beaucoup de monde. Notamment les groupes finis sporadiques dont l'étude ne sera achevée que dans les années 1980. L'étude des groupes de Lie se poursuit et l'algébrisation de la physique devient un enjeu majeur.

Topologie [modifier]

• Poincaré énonce en 1904 la conjecture qui porte son nom : « Considérons une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3 ». Elle sera démontrée en 2003 par Grigori Perelman.

Équations différentielles [modifier]

• Dans l'étude des équations différentielles, Painlevé découvre de nouvelles transcendantes. Son étude est continuée par Gambier.
• Un mémoire de Dulac⁵⁰, de 1923, contient l'énoncé qu'un champ de vecteurs X à coefficients polynomiaux du plan possède au plus un nombre fini de cycles limites (un cycle limite est une courbe intégrale analytique fermée et isolée de X) qui suscitera beaucoup de travaux complémentaires avant de devenir le théorème de Dulac. À l'instar de nombre de théorèmes "démontrés", la démonstration fut contestée dans les années 1960. Celle de Dulac comportait des "trous" mis en évidence par des contre-exemples de Ilyashenko. Le théorème de Dulac devint la conjecture de Dulac. Puis la preuve fut complétée par Jean Ecalle⁵¹ et la conjecture de Dulac retrouva son statut de théorème sous la forme "Pour tout champs de vecteurs analytique dans le plan, les cycles limites ne s'accumulent pas".

Théorie des nombres [modifier]

• La thèse de Cahen (1894) avait fait l'objet de nombreuses critiques. Ce fut l'occasion de nouvelles études dans les séries de Dirichlet et la théorie des fonctions L, particulièrement parSzolem Mandelbrojt.
• Robert Daniel Carmichael découvre les nombres de Carmichael en 1909. Il faut attendre 1994 pour qu'Alford, Granville et Pomerance démontrent qu'il y en a une infinité⁵². Plus précisément, ces auteurs montrent que le nombre de nombres de Carmichael inférieurs à x, C(x), est minoré par C(x) > x^{2 / 7} à partir d'un certain rang. Divers auteurs ont donné des majorations de C(x).
• On s'attacha à simplifier les preuves du théorème des nombres premiers (Landau, Erdös et Selberg, ...) et celles du théorème de Picard (Borel). La fonction zêta de Riemann, dans le but de démontrer l'hypothèse de Riemann, est l'objet de très nombreuses recherches de Hardy et Littlewood, Speiser, Bohr, Hadamard, ... sans pour autant que le mystère ne soit résolu. Titchmarsh écrit en 1951 un traité sur la théorie de la fonction ζ de Riemann qui reste l'un des plus complets.
• Le problème de Waring est partiellement résolu par Hilbert en 1909 qui montre l'existence de g(k) tandis que Wieferich s'attaque à la détermination du plus petit g(k) pour un entier k donné. Le problème de la détermination de G(k) est commencé par Hardy et Littlewood qui énoncent même une conjecture non encore démontrée. Les majorations de G(k) données par Vinogradov ont été améliorées par Heilbronn (1936), Karatusba(1985), Wooley (1991). On connait les valeurs de G(k) pour k compris entre 2 et 20 par les travaux de Landau, Dickson, Wieferich, Hardy et Littlewood, ...Linnik donna une méthode de résolution du problème de Waring par une voie purement arithmétique en 1943, utilisant une idée de Schnirelmann.
• Viggo Brun démontre en 1919 la convergence de la série des inverses des nombres premiers jumeaux, en utilisant une méthode issue du crible de Erathostène-Legendre qui restera comme le crible de Brun, inaugurant la méthode du crible moderne qui se développe principalement avec Selberg.
• Une forme faible de la Conjecture de Goldbach est résolue par Vinogradov en 1936 en montrant que presque tous les nombres entiers impairs s'écrivent comme somme de trois nombres premiers.

Andrew Wiles

• André Weil démontre l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta locales en 1940 et énonce les conjectures qui portent son nom, qui sont démontrées dans le siècle.

Pierre Deligne en 2004. Sa démonstration d'une des conjectures d'André Weyl fut un "coup de tonnerre dans le ciel serein de la théorie des nombres"

• Pierre Deligne démontre, contre toute attente, la conjecture de Weil sur les valeurs propres des endomorphismes de Frobenius en géométrie algébrique⁵³
• Des travaux de Y. Hellegouarch lient dès les années 1960 le grand théorème de Fermat à l'arithmétique de courbes algébriques particulières, les courbes elliptiques, mais ce n'est qu'au milieu des années 1980, que Ken Ribet montre que démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (ou conjecture modulaire), qui affirme un lien précis entre les fonctions modulaires et les courbes elliptiques, entraînerait le grand théorème de Fermat. Au bout de sept ans de recherches, Andrew Wiles annonce en 1993, au cours d'une série de conférences sur les courbes elliptiques et leurs représentations lors d'un colloque à Cambridge, la démonstration de la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil pour une large famille de courbes elliptiques (ce qui suffit pour le théorème de Fermat). Un problème technique retarde plusieurs mois la mise au point de la preuve, mais fin 1994, le grand théorème de Fermat est démontré. Peu après, la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil est complètement démontrée.

Graphes [modifier]

• Wegener et Brendan McKay, indépendamment, montrent qu'il existe plus de 13 267 364 410 532 solutions au problème du cavalier et Ernesto Mordecki, un mathématicien uruguayen, en 2001, a majoré le nombre des solutions à 1,305.10^35.

Analyse complexe [modifier]

• La première véritable preuve du théorème de l'application conforme de Riemann (1851) est donnée par Constantin Carathéodory en 1912 en utilisant les surfaces de Riemann. Elle est bientôt simplifiée par Koebe. Une autre preuve est donnée en 1922 par Fejer et Riesz, elle-même simplifiée par Ostrowski et Carathéodory.
• Caratheodory énonce et démontre en 1906 un lemme qu'il appelle lemme de Schwarz. Son énoncé, bien que très simple, va se révéler extraordinairement fécond après que Pick l'ait étendu en 1916. De nombreuses autre extensions, celles de Caratheodory (1926) et de Néhari (1947) par exemple, suivront. On verra le lien entre le lemme de Schwarz et la métrique de Poincaré sous-jacente.
• Bieberbach, en 1916, va émettre une conjecture généralisant le lemme de Schwarz qui ne sera définitivement résolue que par Louis de Branges de Bourcia, après près de 70 ans de recherches, en 1985.
• Après la première guerre mondiale, la communauté mathématique française, qui avait perdu beaucoup de ses membres, se replia sur son sujet favori: l'analyse complexe et la théorie des fonctions analytiques dont elle était la principale instigatrice.
• La théorie des fonctions entières d'ordre infini est l'œuvre de Otto Blumenthal vers 1913.
• L'importance de la formule de Jensen s'affirme dans la théorie de la croissance initiée par Emile Borel⁵⁴.

Logique et théorie des ensembles [modifier]

• Sur la question des fondements, les mathématiciens se disputent allègrement, et des branches apparaissent sous l'impulsion de Brouwer, de Henri Poincaré, ... Cependant la majorité de la communauté mathématique adhère à l'axiome du choix dont Kurt Gödel montrera en 1930 que, tout comme l'hypothèse du continu, il pouvait être ajouté aux axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans introduire de contradictions. En réalité, ces deux énoncés sont indépendants des autres axiomes: ce sont des propositions indécidables (Paul Cohen, 1963). Les démonstrations de non contradictions fleurissent (sous réserve de la non contradiction de la théorie des ensembles).

• Dans la théorie de la démonstration, on notera les travaux d'Herbrand (1930) et de Gentzen, trop vite décédés, le premier en 1931, le second en 1945.
• On s'était demandé si toute proposition vraie, dans une axiomatique donnée, pouvait être démontrée. La réponse est non. Le théorème d'incomplétude de Gödel (1931) énonce que toute théorie non contradictoire capable de formaliser l'arithmétique ne permet pas de démontrer toutes les propositions vraies. Autrement dit, il existe des tautologies indémontrables dans toute théorie capable de formaliser l'arithmétique ...
• Church invente le lambda calcul et énonce sa thèse, Turing invente la machine abstraite qui porte son nom et Kleene précise la définition des fonctions récursives. La notion defonction calculable est inventée. Matiyasevich démontre qu'il n'existe pas d'algorithme qui permette de dire si une équation diophantienne est résoluble, donnant ainsi une réponse négative aux dixième problème de Hilbert⁵⁵. La théorie des automates et la théorie des langages apparaissent.
• Donald Knuth publie son encyclopédie sur l'art de la programmation et crée un nouvelle discipline l'analyse d'algorithmes.

Donald Knuth

Probabilités [modifier]

• La notion de mesure développée par Émile Borel en 1897 est complétée par Henri-Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration.⁵⁶ Cette notion d'analyse est utilisée par les probabilistes pour une définition plus rigoureuse de la probabilité et entre autres de la densité de probabilité

• La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 1901 ⁵⁷ et la première preuve du théorème moderne donnée par Paul Lévy en 1910.

• En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov⁵⁸ pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites web sur Google.

• En 1933, la théorie des probabilités sort d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devient une véritable théorie, axiomatisée parKolmogorov.

• Kiyoshi Itō met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Döblinavait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

Analyse numérique [modifier]

• Richard Courant introduit les éléments finis en 1940 qui servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Cette méthode ne prendra véritablement son essor qu'avec l'informatique et des procédés de maillage performant et adaptés, ce qui n'apparaîtra pas avant les années 1980.
• La méthode de Monte-Carlo se développe, sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Elles sont dénommées ainsi par allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo. Ces méthodes probabilistes servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, d'équations différentielles stochastiques, et d'estimations d'intégrales multiples.

Paradoxes apparents et curiosités [modifier]

• Si l'acceptation de l'axiome du choix permet de démontrer l'existence de bases dans les espaces vectoriels de dimension infinie, notamment les espaces de Hilbert, cela a aussi des conséquences plus étranges, comme le paradoxe de Banach-Tarski : il existe un découpage d'une sphère parfaite en cinq morceaux tel qu'avec les morceaux on puisse reconstituer deux sphères parfaites de même diamètre que la première.
• D'autres curiosités, comme le théorème du retournement de la sphère de Smale (qui utilise l'axiome du choix) sont démontrées.

Notes et références [modifier]

1. ↑ La grande aventure de l'humanité, Arnold Toynbee, chap. 6
2. ↑ Babylonian expedition voir ce document [archive]
3. ↑ La tablette YBC 7289 prouve qu'ils connaissaient une valeur approchée de la racine carrée de deuxau millionième près
4. ↑ tablettes de Nippur
5. ↑ Par exemple, la tablette Plimpton 322
6. ↑ Babylonian mathematics [archive]
7. ↑ Les mathématiques et l'astronomie babyloniennes dans Les sciences exactes dans l'Antiquité de O. NEUGEBAUER
8. ↑ Maurice Mashaal, p. 23 et p. 26.
9. ↑ Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004, pp. 61-65.
10. ↑ Seules les données archéologiques apportent des informations sur leur organisation.
11. ↑ Marcia Ascher, Mathématiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les sociétés traditionnelles, Éditions du Seuil, 1998.
12. ↑ Maurice Mashaal, p. 51.
13. ↑ Van Egmond, Warren, The Commercial Revolution and the beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence, 1300-1500, éd. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, États-Unis, 628 p.
14. ↑ A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, 1986 [détail des éditions] p 199
15. ↑ Controverse entre Leibniz et Jean Bernouilli sur les logarithmes des nombres négatifs ou imaginaires - 1712
16. ↑ Routes et Dédales, p 251
17. ↑ Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions] , p 52
18. ↑ Léonard Euler, Variae observationes circa series infinitas, théorème 7, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, (1744), 160-188, ou Opera Omnia, Series 1, Volume 14, 217 - 244. Téléchargeable à [1] [archive]
19. ↑ Histoire des mathématiques (Bouveresse, Itard, Sallé) p 52
20. ↑ Routes et dédales, p 112
21. ↑ Routes et dédales, p 114
22. ↑ ^a et b Histoire des mathématiques (Bouveresse, Itard, Sallé) p 74
23. ↑ Waring, meditationes algebricae, 1770, p203-204
24. ↑ Charles Delaunay,Théorie du mouvement de la lune, 1860-1867, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN374745188 [archive]
25. ↑ H. Faye, Discours aux funérailles, 1872
26. ↑ CRAS, 10 novembre 1845, 1er juin 1846, 31 août 1846
27. ↑ ^a et b Appell, cours de mécanique rationnelle, T2
28. ↑ Husson, thèse, 1906
29. ↑ Bruno Belhoste « La formation d'une technocratie. L'École polytechnique et ses élèves de la Révolution au Second Empire » p. 222. Belin, Collection Histoire de l'éducation.
30. ↑ Nouvelle correspondance mathématique, T2, 1852
31. ↑ Monge, Géométrie descriptive, Paris, Baudouin, An VII(1799)
32. ↑ Pour une démonstration d'après Hurwitz voir Valiron, théorie des fonctions, Masson, Paris,1942
33. ↑ Berger, Géométrie
34. ↑ Hilbert, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexander-Universität zu Erlangen, 1872
35. ↑ Cité par Cauchy et repris par H. Laurent, Théorie des résidus,1865 et par Laisant, Exposition de la méthode des équipollences [de Bellavitis], 1878
36. ↑ Wessel, Essai sur la représentation analytique de la direction, 1797
37. ↑ Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques,1806
38. ↑ Mourey, La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétenduement imaginaires, 1828
39. ↑ Legendre,Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Appendice: sur la méthodes des moindres carrés,Paris,Courcier, 1805
40. ↑ Legendre, Méthodes des moindres carrés, lu le 24 février 1811
41. ↑ Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, 1809
42. ↑ http://statbel.fgov.be/info/quetelet_fr.asp [archive], une biographie de Quételet
43. ↑ Lettre de De Morgan à Hamilton du 23 octobre 1852
44. ↑ dans diverses communications de 1878-1879 à la société mathématique de Londres et à la société de géographie.
45. ↑ Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica XIII, 1890,1-270
46. ↑ un mémoire de Poisson de 1813 explique une curiosité mathématique des fonctions réelles par un contournement de la singularité réelle dans le plan complexe. On n'est qu'à un pas du théorème des résidus
47. ↑ Estanave, Nomenclature des thèses de sciences mathématiques soutenues en France dans le courant du xix^e siècle, Paris, Gauthier-Villars, 1903
48. ↑ Leonard Dickson, Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory, 1901
49. ↑ Hadamard, Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique, Paris, 1903
50. ↑ Dulac, Sur les cycles limites, Bulletin de la société mathématique de France,T51,p45,1923
51. ↑ Jean Ecalle, Introduction aux fonction analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, 1992
52. ↑ W. R. Alford, A. Granville and C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Annals of Mathemtics, 140 (1994), 703-722.
53. ↑ Pierre Deligne, La conjecture de Weil:I. Publications mathématiques de l'IHÉS n°43, Paris, 1974, 273-307.
54. ↑ Borel,Leçons sur la théorie de la croissance,Paris, Gauthier-Villars,1910
55. ↑ Matiiassevitch, Le dixième problème de Hilbert, son indécidabilité,Paris, Masson, 1995
56. ↑ http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html [archive] histoire des probabilités de Borel à la seconde guerre mondiale
57. ↑ Entre De Moivre et Laplace [archive]
58. ↑ DicoMaths : Chaine de Markov [archive]

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• (fr) Liens sur l'histoire des mathématiques (2)
• (fr) Histoire des mathématiques à Béjaia
• (fr) Dans la lettre de l'Académie des sciences"Histoire et philosophie des sciences" (pdf 2,12 Mo) - n°14 / hiver 2004: Mathématiques de la Chine ancienne
• (en) Site de l'Université de St Andrews
• (fr) Site recensant les étymologies des concepts mathématiques
• (fr) Page de CNRS Éditions à propos de l'ouvrage La Mathématique

Bibliographie [modifier]

• Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. [détail des éditions]
• Jean-Paul Collette, Histoire des mathématiques, éditions du Renouveau Pédagogique Inc., Montréal, 1973.
• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres
• Collectif (Michael Atiyah, Alain Connes, Freeman Dyson, Yuri I. Manin (en), David Mumford), La Mathématique, les temps et les lieux, CNRS Éditions, Paris, 2009.
• Jean C. Baudet, Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques, Vuibert, Paris, 2002.
• Sylvia Couchoud, Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique, éditions Le Léopard d’Or, 2004. Le livre reproduit les hiéroglyphes, donne leur traduction et procède à un examen critique du texte.
• Denis Guedj, Le théorème du perroquet.
• Maurice Mashaal, « Les mathématiques », in Histoire des sciences (dir. P. de la Cotardière), pp. 19-104, [détail des éditions]

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Révolution mathématique du XVIIème siècle

Révolution mathématique du XVIIème siècleEvelyne Barbin

• Etude (broché). Paru en 11/2006

POUR COMMANDER LE LIVRE

Le Mot de l'éditeur : Révolution mathématique du XVIIème siècle

Dans un célèbre passage, Galilée écrit : 
La philosophie est écrite dans ce livre immense perpétuellement ouvert devant nos yeux (je veux dire l'univers), mais on ne peut le comprendre si l'on n'apprend pas d'abord à connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles, et d'autres figures géométriques, sans l'intermédiaire desquels il est humainement impossible d'en comprendre un seul mot. 

Cet ouvrage propose une histoire de la révolution mathématique du XVIIe siècle, à l'intérieur de laquelle de nouvelles mathématiques ont été construites et la nature a été construite en termes mathématiques. À partir des années 1620, la science poursuit de nouveaux buts, il ne s'agit plus seulement de spéculer mais d'inventer, de résoudre des problèmes, de progresser et de maîtriser la nature. Le scientifique construit une réalité du monde à l'image de celle du monde technique, une réalité faite de quantités régies par des lois. C'est ainsi que les mathématiques vont remplacer la logique aristotélicienne dans l'étude de la nature. Les mathématiques ne sont plus purement spéculatives, mais elles sont inscrites dans la réalité du monde, elles permettent une compréhension de la réalité et une action sur elle. Ce nouveau statut appelle une transformation des mathématiques, de leurs méthodes, de leurs objets et de leurs significations. Les courbes sont les premières à être modifiées par ce nouvel enjeu. L'invention du courbe dans les années 1630-1640 désigne sans nul doute le trait le plus important de la "révolution mathématique du XVIIe siècle". 
L'objet de cet ouvrage est la révolution mathématique du XVIIe siècle, non pas celle que nous pourrions définir, caractériser, décréter, à partir de cadres ou de théories a priori, mais la révolution que les acteurs mêmes disent vouloir ou non accomplir, la révolution de Bacon, Descartes, Galilée, Roberval, Fermat, Pascal, Huygens, Leibniz, Newton et de quelques autres.

Extrait du livre :
Révolution mathématique et invention du courbe
(...)
Nous ne nous satisfaisons pas de l'idée selon laquelle la mathématisation de la nature se serait imposée d'emblée à cette époque, ou du préjugé selon lequel des nouveautés mathématiques viendraient à point nommé pour s'appliquer à la nouvelle science physique. Dans cet ouvrage, nous étudions un seul et même processus historique à l'intérieur duquel les nouvelles mathématiques ont été construites et la nature a été construite en termes mathématiques.
La nouvelle science physique est nouvelle, d'abord par son questionnement. Dans la philosophie naturelle d'Aristote, il s'agissait d'expliquer les phénomènes par des causes, alors que pour le scientifique du 17ème siècle, il s'agit d'abord de comprendre des phénomènes, naturels ou artificiels, par leurs effets quantifiés et mesurés. C'est un autre questionnement sur le réel qui oriente les recherches. La science poursuit de nouveaux buts, il ne s'agit pas de spéculer mais d'inventer, de résoudre des problèmes, de progresser et de maîtriser la nature.

Fiche détaillée : Révolution mathématique du XVIIème siècle

Auteur	Evelyne Barbin
Editeur	Ellipses
Date de parution	novembre 2006
ISBN	2729831444
Illustration	Pas d'illustrations