Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange

Extrema liés - Multiplicateurs de Lagrange

Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

  On parle d'extrémum lié lorsqu'on cherche à maximiser ou minimiser une fonction de plusieurs variables f(x₁,...,x_n) lorsque ces variables sont liées par certaines relations. Un théorème général permet bien souvent de résoudre le problème de la recherche des extrema liés.

Théorème : Soient f, g₁,..., g_p des fonctions de classe C¹ sur un ouvert U de Rⁿ, à valeurs dans R et X l'ensemble défini par :X={x de U; g₁(x)=...=g_p(x)=0}.Si la restriction de f à X admet un extrémum local en a, et si les différentielles dg₁(a),...,dg_p(a) sont des formes linéaires indépendantes, alors il existe des réels c₁,...,c_p tels que :df(a)=c₁dg₁(a)+...+c_pdg_p(a)Ces réels c₁,...,c_p sont appelés multiplicateurs de Lagrange.

  Ce théorème a une interprétation géométrique naturelle. Prenons un arc  tracé sur X avec . La fonction (d'une variable réelle)  admet un extrémum local en 0, d'où l'on tire :Maintenant,  est un vecteur tangent à X en a, et en fait tous les vecteurs tangents à X en a s'obtiennent de cette façon. Ainsi, df(a)(v)=0 pour tout vecteur v tangent à X en a. Mais l'ensemble de ces vecteurs tangents est l'intersection des noyaux de dg_i(a) et l'inclusionentraine la relation du théorème par un résultat élémentaire d'algèbre linéaire.
Exemple

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  Cherchons le maximum de la fonctionsur l'ensemble défini parEn un point où le maximum est atteint, on a forcément x_i>0 et on peut appliquer le théorème précédent avec g(x)=(x₁+...+x_n)/n-1. On obtientMaisetce qui entraîneEn particulier, on obtient que tous les a_i sont égaux et qu'il sont tous égaux à 1. Ainsi, sur X, on a f(x)<=1. Par homogénéité, on obtient l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques

Source : http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&...