Euclide et GéoPlan

Neuf figures pour l'enseignement secondaire. Démonstration des théorèmes de Thalès et Pythagore par la méthode des aires.

Sommaire I 31. Parallèle à une droite passant par un point I 1. Triangle équilatéral I 43. Partage d'un rectangle en quatre II 2. Gnomon II 4. Carré d'une somme II 11. Carré et rectangle de même aire VI 30. Construction de la section dorée   Page no 56, réalisée le 20/11/2003, modifiée le 23/11/2010			D'autres figures d'Euclide sur ce site I 15.Construction du pentagone régulier I 17. Mener une ligne droite qui touche un cercle I 23. Reproduire un angle I 32. Somme des angles d'un triangle I 35. Théorème de la tringle - Méthode du cisaillement I 43. Partage d'un parallélogramme en quatre I 46. Construction du carré à partir d'un côté I 47. Démonstration géométrique de Pythagore II 14. Quadrature du rectangle III  1.  Retrouver le centre d'un cercle III 21. Angle au centre et angles inscrits III 35. Puissance d'un point par rapport à un cercle : théorème d'Euclide III.    Partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme IV 16. Construction du pentadécagone VI  2. Thalès : démonstration par la méthode des aires VI 13. Moyenne proportionnelle VI Arithmétique : algorithme d'Euclide
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Mathématiques et sciences

Euclide et GéoPlan
Ce site, très riche et fréquemment actualisé par un enseignant en retraite, Patrice Debart, concerne les niveaux mathématiques de la 6^e à la Terminale. Les thèmes et les modes opératoires étant passionnants, nous avons choisi de vous orienter sur l'article concernant Euclide, Thalès et Pythagore qui mêlent histoire et mathématiques, avec une pointe d'humour parfois… Il vous reste à intégrer ce site dans vos favoris, pour enrichir en permanence vos ressources !

Info bulle n^o 85 Cafoc de Nantes

La géométrie euclidienne

Euclide avec un compas L'école d'Athènes, selon Raphaël (Détail - chambre de la Signature, Vatican)

Les mathématiques grecques se sont développées sans règle de déduction explicite. La logique d'Aristote était trop fruste pour fonder les raisonnements. Le « si… alors… » est une conception trop pauvre du langage et jusqu'au XIXe siècle les règles de déduction resteront implicites. Les axiomes comme l'« unicité d'une parallèle » ou les « cas d'égalité des triangles » ont été explicités par Euclide et fournissent un fondement de la géométrie, imparfait certes, mais sur lesquels les autres résultats reposent solidement. Avec la méthode synthétique, Euclide a organisé la géométrie de manière déductive en donnant, à partir des propriétés géométriques établies précédemment, un raisonnement pour déduire chaque propriété cherchée.

 

Euclide par Juste de Gand (15e siècle)

Les Éléments d'Euclide (Alexandrie 300 avant Jésus-Christ) Le texte original des Éléments n'existe pas et nous est connu que de façon apocryphe. Dans la bibliothèque du Vatican, joint au manuscrit découvert par Peyrard, on aurait découvert un CD, encore plus apocryphe, contenant des figures GéoPlan que nous livrons en exclusivité ci-dessous. Les treize livres d'Euclide constituent une synthèse remarquable des mathématiques grecques. Toutes les constructions s'y effectuent uniquement à la « règle et au compas ».

I 31. Parallèle à une droite passant par un point donné

Proposition 31 du livre I des Éléments : par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.

L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme : « Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».

I 1. Triangle équilatéral

Proposition 1 du I er livre des Éléments : Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie. EXPOSITION. Soit AB une droite donnée et finie (on dirait maintenant un segment [AB]). DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral. CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence ACD (demande 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence BCE ; et du point C, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB (demande 1). DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle ACD, la droite AC est égale à la droite AB (définition 15); de plus, puisque le point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite CA était égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA, CB est égale à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (notion 1) ; donc la droite CA est égale à la droite CB ; donc les trois droites CA, AB, BC sont égales entre elles. CONCLUSION. Donc, le triangle ABC (définition 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.

Rappels

Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence ; toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans cette figure, étant égales entre elles.

Définition 24. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.

Construction avec un logiciel de géométrie :
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A et B et de rayon AB (cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A),
construire C, un des points d'intersection des deux cercles,
tracer les segments [BC] et [AC].

 Télécharger la figure GéoPlan triangle_equilateral.g2w
 Télécharger la figure Cabri triangle_equilateral.fig
 Télécharger la figure GeoLabo triangle_equilateral.glb

Construction à la « règle et au compas » : le triangle équilatéral
Sommaire

I 17 . Constructions de tangentes

Paragraphe déplacé dans l'article : cercle au collège

I 43. Partage d'un rectangle en quatre

Livre I, proposition 43
Classe de quatrième

Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes autour de la diagonale sont égaux entre eux.

M est un point libre sur la diagonale [AC] d'un rectangle ABCD. Démontrer que les aires des deux rectangles hachurés sont égales.

Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un rectangle, mais il sait trouver la moitié de cette aire : l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.

Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles AMI et CMJ permet d'écrire :  = .

(AD) étant parallèle à (BC), la propriété de Thalès dans les triangles ALM et CKM permet d'écrire :  = .

Par transitivité  = .

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : KM × MI = LM × MJ.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).

Cas de parallélogrammes : calcul d'aires

 Télécharger la figure GéoPlan hom_rect.g2w

II 2. Gnomon

Dans un parallélogramme, l'un quelconque des parallélogramme décrit autour du diamètre avec ses deux compléments est appelé gnomon.

Pour un point I du diamètre [BC] d'un parallélogramme ABDC, le parallélogramme FBHI est dit décrit autour de ce diamètre. Ses compléments sont les parallélogrammes AFIG et IHDE (de même aire). Ces trois figures forment, dans leur ensemble, le gnomon ABDFIG.

Le gnomon permet d'obtenir un nouveau parallélogramme semblable au précédent.

Voir aussi : nombre d'or

II 4. Carré d'une somme

Si une ligne droite est coupée comme on voudra, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments.

Dans le carré ABDC, on a la démonstration, par les aires, de l'identité remarquable :

( a + b)² = a² + b² + 2ab.

 Télécharger la figure GéoPlan hom_rect2.g2w

II 11. Carré et rectangle de même aire

Couper une ligne droite telle le rectangle de la toute et de l'une des parties, soit égal au carré de l'autre Sur un segment [AB] de longueur a, trouver un point G tel que le carré de côté AG ait même aire que le rectangle de longueur a et de largeur BG. Construction Après avoir construit le carré ABCD de côté [AB], on note E le milieu de [AD]. Le cercle (c2) de centre E et de rayon EB coupe (AD) en F du côté de A. Le cercle (c3) de centre A et de rayon AF coupe [AB] en G. On complète avec le point H le carré de côtés [AF] et [AG]. La droite (GH) coupe (DC) en I. La carré AGHF a même aire que le rectangle GBCI.  Télécharger la figure GéoPlan rectangle_egal_carre.g2w Solution algébrique Avec AB = BC = a, posons AG = x, alors GB = a - x. L'égalité des aires donne x2 = a(a - x), équation x2 + ax - a2 = 0 qui a pour solution positive x =  a.  Télécharger la figure GéoPlan rectangle_egal_carre2.g2w

VI 30. Construction de la section dorée

a. Partage d'un segment en « extrême et moyenne raison »

Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrème raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.

Construction

On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.

On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c₂) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A. Le cercle (c₃) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.

Preuve par le calcul

On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1) que les résultats font intervenir le nombre d'or :
AI =  ; CA = AB = 1 ; DI = IC =  ;
AM = DA = DI - AI =  -  =  =  = Φ - 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB - AM = 1 -  = 2 - Φ ≈ 0,382 ;
DB = DI + IB =  +  = Φ ≈ 1,618.

MA =  ;  = Φ ;  = MB ×  = (1 - ) × Φ = Φ - 1 =  = .
 =  d'où  = Φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].

Remarque : le cercle (c₃) coupe le segment [AC] en P qui réalise la section dorée de ce segment.

 Télécharger la figure GéoPlan section_doree.g2w

c. Couper une ligne droite selon la moyenne raison Livre VI, proposition XXX

d. Numérisation de la géométrie Construction avec deux carrés Pacer deux points A et B tels que AB = 1. Après avoir construit le carré ABCD de côté [AB], on note E le milieu de [AD]. Le cercle (c2) de centre E et de rayon EB coupe (AD) en F du côté de A. Le cercle (c3) de centre A et de rayon AF coupe [AB] en G. On complète avec le point H le carré de côtés [AF] et [AG]. La droite (GH) coupe (DC) en I. Le point G partage le segment [AB] en moyenne raison. Remarque : les points M et F partagent le segment [AD] en moyenne et extrême raion. Calculs algébriques Le carré AGHF a pour côté AG = , son aire est AG2 = . Le rectangle GBCI a pour longueur CB = 1 et pour largeur GB = AB - GA =1 -  = 2 - Φ. Son aire est 2 - Φ. Il a été démontré dans la page suites que  = 2 - Φ. Le rectangle GBCI et le carré AGHF ont la même aire : GB × AB = AG × AG. AB/AG = AG/GB : on a bien une section dorée du segment [AB].  Télécharger la figure GéoPlan construc_euclide2.g2w

e. Corde et tangente égales

La construction avec « corde et tangente égales » a été déplacée dans la page : le nombre d'or.

Les Éléments d'Euclide en ligne sur le site Gallica de la BNF

Les extraits contenus dans ces pages sont ceux des 15 livres des Éléments géométriques d'Euclide, traduits par D. Henrion en 1632, publiée par la Bibliothèque Nationale de France.
On trouve aussi la première édition de F. Peyrard, publiée en 1804, lorsqu'il était bibliothécaire de l'école polytechnique.

D. Henrion

Livre I

Livre II

Livre III

Livre IV

Livre V

Livre VI

Livre VII

Livre VIII

Livre IX

Livre X

Livre XI

Livre XII

Livre XIII

F.Peyrard

Livre I

Livre II

Livre III

Livre IV

Livre VI

Livre XI

Livre XII

 

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Source : 

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