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19/11/2010

Espaces préhilbertiens complexes

Espaces préhilbertiens complexes

Définition Une application d'un $ mathbb{C}$-espace vectoriel $ E$ dans un $ mathbb{C}$-espace vectoriel $ F$ est dite semi-linéaire si 
$ bullet $ $ forall (x,y)in E^2 f(x+y)=f(x)+f(y)$ 
$ bullet $ $ forall (x,{lambda})in Etimes mathbb{C} f({lambda}.x)=overline {lambda}f(x)$

Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective.

Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d'un $ mathbb{C}$-espace vectoriel dans $ mathbb{C}$.

Etant donnés $ E$ et $ F$ des $ mathbb{C}$-espace vectoriel une application $ phi$ de $ E times F$ est dite forme sesquilinéaire sur $ E times F$ si 
$ bullet $$ forall x$ l'application $ ymapsto phi(x,y)$ est une forme linéaire sur $ F$ 
$ bullet $$ forall y$ l'application $ xmapsto phi(x,y)$ est une forme semi-linéaire sur $ E$

Une forme sesquilinéaire sur $ Etimes E$ est dite hermitienne lorsque en outre $ forall (x,y) in E^2 phi(x,y)=overline {phi(y,x)}$.

Une forme sesquilinéaire hermitienne $ phi$ sur $ E^2$ est dite produit scalaire hermitien sur $ E$ si $ forall x in Esetminus{0} phi(x,x) in mathbb{R}^+_*$. On note généralement alors$ <xvert y>=phi(x,y)$

Etant donné un produit scalaire hermitien $ <.vert.>$, on définit une norme hermitienne; il s'agit de l'application $ x mapsto {parallel}x {parallel}= sqrt{<xvert x>}$. On verra plus loin qu'il s'agit d'une norme.

On appelle espace préhilbertien complexe un $ mathbb{C}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien. Un sous-espace vectoriel $ F$ d'un espace préhilbertien complexe $ E$ muni d'un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à $ F$, est appelée sous-espace préhilbertien de $ E$ (c'est un espace préhilbertien).

Attention! On n'a à aucun moment imposé que la dimension soit finie. 

Attention! La notation $ <xvert y>$ peut être remplacée par $ (xvert y)$, $ <x,y>$, $ (x,y)$, ou même $ x.y$. 

Remarquons que le fait que pour une forme sesquilinéaire hermitienne $ phi$ on ait $ forall x phi(x,x) in mathbb{R}$ découle du fait que $ phi$ est hermitienne; il suffit de vérifier que$ phi(x,x)>0$.

Attention! Une forme linéaire n'est pas nécéssairement une forme semi-linéaire

Attention! Une forme semi-linéaire n'est pas nécéssairement une forme linéaire

Une forme sesquilinéaire est donc semi-linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la seconde. 

Exemples: Sur $ mathbb{C}^n$ le produit scalaire hermitien canonique est défini par $ <xvert y>=sum_{i=1..n} overline {x_i}.y_i$. 

Les inégalités de Schwartz et de Minkowski montrées dans la partie[*] sont valables ici aussi; mais la démonstration, basée sur la bilinéarité et utilisant les formes quadratiques, n'est plus valable. 

Lemme [Egalité utile]

 

$displaystyle {parallel}x+y {parallel}^2={parallel}x {parallel}^2+{parallel}y{parallel}^2+2.Re(<xvert y>)$

 

avec $ Re(u)$ la partie réelle de $ u$.

Démonstration: Evidente, en utilisant $ <xvert y>=overline {<yvert x>}$.$ sqcap$$ sqcup$ 

Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwartz] Dans un espace préhilbertien complexe

 

$displaystyle forall (x,y) in E^2 vert<xvert y>vert leq {parallel}x {parallel}. {parallel}y {parallel}$

 

Il y a égalité si et seulement si la famille est liée. 

Démonstration: Soit $ theta$ l'argument de $ <xvert y>$, alors pour tout $ t$ réel, au vu du lemme [*]:

 

$displaystyle {parallel}t.e^{itheta}.x+y {parallel}^2 =t^2.{parallel}x {parallel}^2 + {parallel}y {parallel}^2 + 2.t.vert<yvert x>vert$

 

On en déduit donc que le discriminant de $ tmapsto t^2.{parallel}x {parallel}^2 + {parallel}y {parallel}^2 + 2.t.vert<yvert x>vert$ est négatif ou nul, ce qui donne l'inégalité annoncée. Le cas d'égalité est le cas où le discriminant est nul.$ sqcap$$ sqcup$ 

Corollaire [Inégalité de Minkowski] Dans un espace préhilbertien complexe

 

$displaystyle forall (x,y) in E^2 {parallel}x+y {parallel}leq {parallel}x {parallel}+ {parallel}y {parallel}$

 

Il y a égalité si $ y={lambda}.x$ ou $ x={lambda}.y$ avec $ {lambda}>0$. 

Démonstration: Par le lemme [*], on a

 

$displaystyle {parallel}x+y {parallel}^2={parallel}x {parallel}^2+{parallel}y{parallel}^2+2.Re(<xvert y>)$

 

 

$displaystyle leq {parallel}x {parallel}^2 + {parallel}y {parallel}^2 + 2.vert<xvert y>vert$

 

(par Cauchy-Schwartz ci-dessus)

 

$displaystyle =({parallel}x {parallel}+ {parallel}y {parallel})^2$

 

D'où le résultat. Le cas d'égalité se montre facilement... $ sqcap$$ sqcup$ 

Proposition Dans le cas euclidien, retrouver le produit scalaire à partir de la norme était facile; dans le cas hermitien c'est un peu plus compliqué:

 

$displaystyle <xvert y>=frac14 ({parallel}x+y {parallel}^2 - {parallel}x -... ...allel}^2 -i {parallel}x + i.y {parallel}^2 + i.{parallel}x-i.y{parallel}^2)$

 

 

$displaystyle =frac14(sum_{n=0}^3 e^{-2.i.pi.n/4}{parallel}x+e^{2.i.pi.n/4}.y {parallel})$

 


Attention! La dernière ligne est un bon moyen mnémotechnique, mais il faut bien penser que l'on a un signe moins dans le coefficient de l'exponentiel en dehors de $ {parallel}.{parallel}$ et un signe plus à l'intérieur. 

 

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud

Source : http://www.les-mathematiques.net/b/c/i/node3.php3

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