19/11/2010
Espaces préhilbertiens complexes
Définition Une application d'un -espace vectoriel dans un -espace vectoriel est dite semi-linéaire si Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective. Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d'un -espace vectoriel dans . Etant donnés et des -espace vectoriel une application de est dite forme sesquilinéaire sur si Une forme sesquilinéaire sur est dite hermitienne lorsque en outre . Une forme sesquilinéaire hermitienne sur est dite produit scalaire hermitien sur si . On note généralement alors Etant donné un produit scalaire hermitien , on définit une norme hermitienne; il s'agit de l'application . On verra plus loin qu'il s'agit d'une norme. On appelle espace préhilbertien complexe un -espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien. Un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien complexe muni d'un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à , est appelée sous-espace préhilbertien de (c'est un espace préhilbertien). On n'a à aucun moment imposé que la dimension soit finie. La notation peut être remplacée par , , , ou même . Remarquons que le fait que pour une forme sesquilinéaire hermitienne on ait découle du fait que est hermitienne; il suffit de vérifier que. Une forme linéaire n'est pas nécéssairement une forme semi-linéaire Une forme semi-linéaire n'est pas nécéssairement une forme linéaire Une forme sesquilinéaire est donc semi-linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la seconde. Exemples: Sur le produit scalaire hermitien canonique est défini par . Les inégalités de Schwartz et de Minkowski montrées dans la partie sont valables ici aussi; mais la démonstration, basée sur la bilinéarité et utilisant les formes quadratiques, n'est plus valable. Démonstration: Evidente, en utilisant . Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwartz] Dans un espace préhilbertien complexe Démonstration: Soit l'argument de , alors pour tout réel, au vu du lemme : Corollaire [Inégalité de Minkowski] Dans un espace préhilbertien complexe Démonstration: Par le lemme , on a Proposition Dans le cas euclidien, retrouver le produit scalaire à partir de la norme était facile; dans le cas hermitien c'est un peu plus compliqué: La dernière ligne est un bon moyen mnémotechnique, mais il faut bien penser que l'on a un signe moins dans le coefficient de l'exponentiel en dehors de et un signe plus à l'intérieur. Espaces préhilbertiens complexes
l'application est une forme linéaire sur
l'application est une forme semi-linéaire sur
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Source : http://www.les-mathematiques.net/b/c/i/node3.php3
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