LIVRE Espaces fonctionnels pour la théorie des équations

Espaces fonctionnels pour la théorie des équationsFrançoise Demengel, Gilbert Demengel

• Essai (broché). Paru en 11/2007
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Cet ouvrage présente et explicite des notions de base relatives à la résolution des équations aux dérivées partielles elliptiques et à l'étude de la régularité de leurs solutions.
Après une étude détaillée des espaces de Sobolev (premières propriétés, théorèmes d'injection, théorèmes d'injection compacte, aussi bien pour les Sobolev dits d'exposants entiers que pour les Sobolev d'exposants fractionnaires), ce livre aborde les méthodes variationnelles permettant, par l'utilisation de la convexité, d'obtenir des solutions pour certaines équations aux dérivées partielles, linéaires et quasi linéaires.
Les auteurs développent aussi une étude qualitative des équations aux dérivées partielles modèles (régularité, principe du maximum strict) et présentent des problèmes issus de la théorie des surfaces minimales et de celle de la plasticité tridimensionnelle, qui demandent l'introduction et l'étude d'espaces de fonctions à dérivée mesure, espaces qui sont très proches des espaces de Sobolev classiques.
De nombreux exercices sont proposés avec, pour la plupart, des indications pour leur solution.

Gilbert Demengel est agrégé de mathématiques, anciennement maître de conférences à l'ENS Cachan puis inspecteur général de mathématiques, actuellement inspecteur général de mathématiques honoraire. Françoise Demengel est ancienne élève de l'ENS, agrégée de mathématiques, habilitée à diriger des recherches, elle est professeur à l'université de Cergy-Pontoise.

Extrait du livre :
Analyse du contenu du livre

° Le chapitre 1 s'intitule Rappels de topologie et d'analyse fonctionnelle. On y rappelle d'abord la définition des espaces vectoriels topologiques, parmi eux l'exemple important des espaces normes, surtout des espaces de Banach, et les théorèmes de Baire, de l'image ouverte, de Banach-Steinhaus, de Hahn-Banach sont énoncés. La notion d'application linéaire continue y précède l'introduction du dual topologique d'un espace norme. Pour faire apparaître les différents sens usuels des convergences concernant les suites de fonctions, sens moins strict que celui par exemple de la convergence uniforme, on définit les topologies faibles sur un espace et sur son dual. On définit aussi les espaces réflexifs, en particulier les espaces de Hilbert et les espaces uniformément convexes dont de nombreux exemples au cours du livre exploitent les propriétés. Une étude de l'espace des fonctions continues sur un ouvert de RN précède le rappel des définitions des espaces de distributions, de leur topologie, des opérations que l'on y définit, ainsi que les propriétés de convergence des suites. Le chapitre se termine par l'étude des espaces Lp (Ω), de leur complétude, de leur réflexivité, de la densité des fonctions régulières.
Cette dernière partie du chapitre constitue ainsi une introduction aux espaces de Sobolev qui font l'objet des chapitres suivants.
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