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22/11/2010

Diophante d'Alexandrie

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Diophante

Diophante d'Alexandrie

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Page couverture de l'édition de 1670des Arithmetica, principal ouvrage de Diophante d'Alexandrie.

Diophante d'Alexandrie (env. 200/214 - env. 284/298) était un mathématicien grec. Surtout connu pour son étude des équations diophantiennes, il est surnommé le « père de l'algèbre ».

Sommaire

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Biographie [modifier]

Page 81 de l'édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante.

Peu de choses sont connues de sa vie. Il vécut à Alexandrie et mourut à 84 ans. Diophante était probablement un babylonien hellène. Son œuvre est en partie perdue.

Il est connu pour son étude des équations à variables rationnelles ( $in mathbb{Q}$ ) et les équations diophantiennes furent nommées en son honneur. Son nom donne l'adjectif diophantien, souvent utilisé en théorie des nombres pour décrire un problème qui s'y rapporte.

Son ouvrage le plus important est son Arithmétique, qui influença les mathématiciens arabes et plus tard ceux de la Renaissance.

Diophante a aussi écrit un traité sur les nombres polygonaux, le plus ancien de cette science ; il ne nous en reste que 10 livres sur 13¹. Six d'entre eux ont été publiés en latin et annotés par Claude-Gaspard Bachet en 1621, en latin et grec et annotés par Pierre de Fermat à Toulouse en1670 (après sa mort), et ont été traduits en français par Simon Stevin et Albert Girard en 1625 (après la mort de Stevin).

Diophante s'intéresse notamment aux problèmes suivants :

Page 61 de l'édition de 1670 des Arithmetica de Diophante. Elle contient, en caractères d'imprimerie, la note de Pierre de Fermat à propos de son grand théorème.

résolution d'équations quadratiques (du type ax²=bx+c).
détermination de valeurs faisant de 2 expressions linéaires des carrés (ex: trouver x tel que 10x+9 et 5x+4 sont tous deux des carrés).
décomposition d'un nombre en somme de 2 carrés. Il semble que Diophante sache d'expérience que les entiers de la forme 4n+3 ne s'écrivent pas comme la somme de 2 carrés.
partage d'un carré en 2 carrés : il explique notamment comment partager 16 en somme de 2 carrés : (16/5)²+(12/5)². C'est en marge de ce problème que Fermat inscrit sur son exemplaire des Arithmetica sa fameuse note, selon laquelle il est impossible de partager un cube en 2 cubes, un bicarré en 2 bicarrés, et plus généralement une puissance quelconque sauf le carré, en 2 puissance de même exposant. Il faudra attendre 1995 pour avoir une démonstration de ce résultat par Andrew Wiles.

Son épitaphe [modifier]

Mais il est également connu pour son épitaphe : problème, attribué à Métrodore (vers 500), permettant de trouver l'âge de Diophante d'Alexandrie à sa mort. Ce problème partage la vie de Diophante en parties inégales représentées par des fractions et permet de calculer la durée de sa vie, soit 84 ans. Voici le problème en abrégé : L'enfance de Diophante occupa un sixième de toute sa vie. Le douzième fut pris par son adolescence. Après une nouvelle période équivalente au septième de sa vie, il se maria. Cinq ans plus tard, il eut un fils. La vie de ce fils fut exactement une demie de celle de son père. Diophante mourut quatre ans après la mort de son fils.

Une version de ce problème a été composée en alexandrins par H. Eutrope :

Passant, sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance ;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils qui, du destin sévère
Reçut de jours hélas ! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

La réponse revient à résoudre l'équation suivante : x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x. On trouve x = 84 ans, âge auquel Diophante mourut.

Annexes [modifier]

Bibliographie [modifier]

Voir aussi la bibliographie des Irem (France).

Arithmétique (vers 250). Tome 3 ; éd. et tr. Roshdi Rashed. Paris : les Belles Lettres, 1984. (Collection des Universités de France). ccvi-264p. ISBN 2-251-00375-4.
Arithmétique. Tome 4 ; éd. et tr. Roshdi Rashed. Paris : les Belles Lettres, 1984. (Collection des Universités de France). cxxxiv-322p. ISBN 2-251-00376-2.
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Notes et références [modifier]

↑ Les quatre derniers ont été retrouvés en 1968 dans une bibliothèque à Meshed, une ville au nord-est de l'Iran L. Radford Diophante et l'algèbre pré-symbolique Bulletin AMQ 1991 lire [archive]