Définitions concernant les suites aliquotes

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La fonction σ

Soit n un entier naturel.
σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n. C’est une fonction largement étudiée en théorie des nombres.
Par exemple, σ(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18 

Cliquer ici pour en savoir plus sur La fonction σ.

La fonction σ'

Soit n un entier naturel.
σ'(n) est la somme des parties aliquotes de n, c'est-à-dire la somme de ses diviseurs hormis lui-même.
σ'(n) = σ(n) - n
Par exemple, σ'(10) = 1 + 2 + 5 = 8

Les suites aliquotes

Une suite aliquote s’obtient en prenant un nombre entier n de départ et en itérant à chaque étape avec la fonction σ’.
Exemple : La suite aliquote de départ 10 est la suivante : 10 → 8 → 7 → 1
En effet, σ'(10) = 8, σ'(8) = 7 et σ'(7) = 1.

Les antécédents aliquotes

Soient n et N des entiers naturels.
Si σ'(N) = n, alors N est un antécédent aliquote de n.

Deux cas sont possibles :
Soit l’entier n peut avoir 0 antécédents aliquotes : il s’agit alors d’un nombre intouchable dont Erdös a démontré qu’il en existe une infinité. Ces nombres sont référencés par Neil Sloan (suite A005114). La suite de ces nombres commence ainsi : 2, 5, 52, 88, 96, …
Soit l’entier n peut avoir un ou plusieurs antécédents aliquotes. La suite d’entiers donnant pour chaque entier naturel son nombre d’antécédents aliquotes est référencée par Neil Sloan : A048138. Elle commence ainsi : 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2 …

Pour déterminer le nombre d’antécédents aliquotes d’un nombre entier n, il faut à priori tester des nombres entiers N compris entre 1 et (n-1)² inclus. Le lecteur comprendra pourquoi en réfléchissant 5 minutes. Mais en prenant quelques précautions, on peut se contenter de tester des entiers entre 1 et n^3/2/2.5. Cela représente un gain de temps inestimable. Nous présentons ici cette méthode de détermination du nombre d’antécédents aliquotes de chaque entier naturel compris entre 1 et le n désiré, méthode qui est pour l'instant la plus rapide que nous ayons trouvée.

Remonter une suite aliquote à l’envers :

Nous avons fait quelques tentatives pour remonter des suites aliquotes à l’envers. Cela est très intéressant, surtout dans le cas particulier des nombres impairs. En effet : si la conjecture de Goldbach est vraie, alors une des conséquences est qu'on peut remonter une suite aliquote à l'envers d’autant d’étapes que l’on veut et de manière strictement monotone ! Pour en savoir plus, cliquer ici : remonter une suite aliquote à l'envers.

Signalons encore que notre intuition nous fait sentir que les suites aliquotes qui démarrent sur un nombre intouchable semblent fondamentales, car elles ne peuvent être des parties de suites aliquotes plus longues !

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Dernière modification : Septembre 2010

Source : http://www.aliquotes.com/definitions.htm