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12/12/2010

LIVRE Problèmes et théorèmes en algèbre linéaire

Problèmes et théorèmes en algèbre linéaireV.V. Prasolov

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 02/2008
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LIVRE Algèbre linéaire pour économistes Deug, Licence, écoles de commerce

Algèbre linéaire pour économistes Deug, Licence, écoles de commerceAlain Piller

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 01/2009
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LIVRE Problèmes classiques en théorie des équations aux dérivés partielles

Problèmes classiques en théorie des équations aux dérivés partiellesRachel Ababou-Boumaaz, Jacques Francheteau

Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 08/2009
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LIVRE Espaces fonctionnels pour la théorie des équations

Espaces fonctionnels pour la théorie des équationsFrançoise Demengel, Gilbert Demengel

Essai (broché). Paru en 11/2007
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Cet ouvrage présente et explicite des notions de base relatives à la résolution des équations aux dérivées partielles elliptiques et à l'étude de la régularité de leurs solutions.
Après une étude détaillée des espaces de Sobolev (premières propriétés, théorèmes d'injection, théorèmes d'injection compacte, aussi bien pour les Sobolev dits d'exposants entiers que pour les Sobolev d'exposants fractionnaires), ce livre aborde les méthodes variationnelles permettant, par l'utilisation de la convexité, d'obtenir des solutions pour certaines équations aux dérivées partielles, linéaires et quasi linéaires.
Les auteurs développent aussi une étude qualitative des équations aux dérivées partielles modèles (régularité, principe du maximum strict) et présentent des problèmes issus de la théorie des surfaces minimales et de celle de la plasticité tridimensionnelle, qui demandent l'introduction et l'étude d'espaces de fonctions à dérivée mesure, espaces qui sont très proches des espaces de Sobolev classiques.
De nombreux exercices sont proposés avec, pour la plupart, des indications pour leur solution.

Gilbert Demengel est agrégé de mathématiques, anciennement maître de conférences à l'ENS Cachan puis inspecteur général de mathématiques, actuellement inspecteur général de mathématiques honoraire. Françoise Demengel est ancienne élève de l'ENS, agrégée de mathématiques, habilitée à diriger des recherches, elle est professeur à l'université de Cergy-Pontoise.

Extrait du livre :
Analyse du contenu du livre

° Le chapitre 1 s'intitule Rappels de topologie et d'analyse fonctionnelle. On y rappelle d'abord la définition des espaces vectoriels topologiques, parmi eux l'exemple important des espaces normes, surtout des espaces de Banach, et les théorèmes de Baire, de l'image ouverte, de Banach-Steinhaus, de Hahn-Banach sont énoncés. La notion d'application linéaire continue y précède l'introduction du dual topologique d'un espace norme. Pour faire apparaître les différents sens usuels des convergences concernant les suites de fonctions, sens moins strict que celui par exemple de la convergence uniforme, on définit les topologies faibles sur un espace et sur son dual. On définit aussi les espaces réflexifs, en particulier les espaces de Hilbert et les espaces uniformément convexes dont de nombreux exemples au cours du livre exploitent les propriétés. Une étude de l'espace des fonctions continues sur un ouvert de RN précède le rappel des définitions des espaces de distributions, de leur topologie, des opérations que l'on y définit, ainsi que les propriétés de convergence des suites. Le chapitre se termine par l'étude des espaces Lp (Ω), de leur complétude, de leur réflexivité, de la densité des fonctions régulières.
Cette dernière partie du chapitre constitue ainsi une introduction aux espaces de Sobolev qui font l'objet des chapitres suivants.
(...)

LIVRE Introduction aux (co)homologies

Introduction aux (co)homologies

Cours et exercices

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Depuis son émergence dans la seconde moitié du XIX^e siècle, les théories homologiques et cohomologiques ont dynamisé et considérablement enrichi de nombreux domaines des mathématiques. Elles sont parvenues à fertiliser et à éclairer certains travaux en physique théorique (cohomologie BRST des théories de jauge, théories des champs, théories conformes, homologie de Morse et supersymétrie, systèmes dynamiques...) et à inspirer de nombreux développement mathématiques récents.

L'objectif de ce livre est, tout à la fois, d'introduire les méthodes à la base des théories (co)homologiques et de créer une certaine intuition de ces notions en abordant de nombreux exemples concrets et variés. Cette partie conceptuelle est complétée par plus d'une cinquantaine d'exercices et de problèmes complètement corrigés, couvrant un large spectre d'applications.

Le contenu de ce livre peut être d'usage courant en fin de second cycle universitaire (quatrième et cinquième année L.M.D.). Il s'adresse aussi bien à des lecteurs engagés dans des études de mathématiques ou de physique théorique, qu'à des chercheurs confirmés voulant s'initier et en savoir plus sur ce domaine.

Théorie mathématique du bridge à la portée de tous

134 tableaux de probabilités avec leurs modes d'emploi, formules simples, applications, environ 4.000 probabilités

Auteur(s) : Emile Borel , André Chéron
Editeur : Jacques Gabay

Nombre de pages : 424 pages
Date de parution : 04/12/2009 (2e édition)

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Ceci n'est pas un traité de Bridge ; nous n'entrons qu'assez rarement dans le détail des règles du jeu, et nous supposons également connues du lecteur les doctrines classiques sur les déclarations, les impasses, les invites, les squeezes, etc. Nous supposons également chez le lecteur une connaissance élémentaire de la théorie des probabilités.

Nous nous proposons de fournir à la fois une méthode, et un grand nombre de résultats numériques facilitant l'application de cette méthode à chacun des cas concrets qui peuvent se présenter et qu'il n'est pas possible d'étudier tous, car ils sont innombrables, même si on les range dans de vastes catégories.

Tous ceux des joueurs de bridge qui sont arrivés par des réflexions personnelles ou par des calculs, à se formuler des règles d'action dans certaines circonstances délicates, trouveront généralement ici une confirmation de ces règles. Dans la plupart des cas, en outre, cette confirmation précisera la probabilité de succès de chaque règle, et ceci est fort important ; si, en effet, entre deux manières de gagner une levée décisive, l'une réussit 60 fois sur 100, et la seconde 40 fois sur 100, il sera évidemment préférable d'utiliser la première, mais la différence est cependant assez faible pour que, si les circonstances du jeu (déclarations, manière de jouer du partenaire ou de l'adversaire, état de la marque), donnent une indication, même un peu vague, en faveur de la seconde, un bon joueur puisse se décider parfois en faveur de celle-ci. Si, au contraire, la première manière de jouer réussissait en principe 90 fois sur 100, et la seconde seulement 10 fois, ce serait seulement dans le cas où les circonstances du jeu fourniraient un renseignement presque certain que l'on pourrait songer à adopter la seconde.

Fac-similé de l'édition de Paris : Gauthier-Villars, 1955

Il pourra arriver parfois que nos études contredisent certaines des règles que s'est fixées tel joueur ; en ce cas, celui-ci sera amené à réfléchir, à contrôler au besoin nos calculs et nos raisonnements et, s'il n'y relève pas d'erreur, à modifier en connaissance de cause sa technique.

Dans certains cas, toujours nettement indiqués, les calculs sont précédés d'hypothèses sur la psychologie des joueurs et sur leur manière d'enchérir et de jouer. Il est clair que ces hypothèses n'ont pas la certitude des calculs : tout joueur averti peut les discuter librement, tandis que les résultats des calculs ne prêtent pas à discussion : ils sont exacts ou ils sont faux.

Comme l'indique André Chéron dans les Remarques, nous avons toutes raisons de croire que nous avons, sauf accident, évité les erreurs de calcul et d'impression.

En résumé, ce Livre fournira à tous ceux qui connaissent le bridge et qui n'ont pas la phobie des nombres et des calculs, des renseignements utiles qui ne figurent dans aucun Traité.

LIVRE Introduction à la théorie des nombres

Introduction à la théorie des nombres

Auteur(s) : G. H. Hardy , E. M. Wright
Editeur : Vuibert

Nombre de pages : 570 pages
Date de parution : 16/11/2006

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Voici la première traduction en langue française d'un très grand classique des mathématiques, oeuvre de deux mathématiciens britanniques qui ont enseigné à Oxford, à Cambridge, à Aberdeen et dans d'autres prestigieuses universités. Publié pour la première fois en 1938, ce livre fondateur a sans cesse été réédité, indépendamment des radicales réorganisations du domaine de la théorie des nombres au cours du XX^e siècle.

Le texte est celui de la cinquième et dernière édition publiée par Oxford University Press en 1979, continuellement réimprimée depuis.

Partisans de l'élémentaire et de la variété, les auteurs offrent ici ce qui se présente comme une série d'introductions : répartition des nombres premiers, problèmes d'irrationalité et de transcendance, congruences, représentation des entiers comme sommes de puissances, corps quadratiques, géométrie des nombres.

La première qualité de l'ouvrage réside dans l'originalité du choix autant que dans le traitement des sujets. On sera saisi par la foule de théorèmes, discutés et démontrés en quelques pages, dont la variété rend hommage aux nombreuses facettes de cette théorie et à la multiplicité de ses applications. On trouvera aussi des sections consacrées par exemple aux sommes de Gauss et à leurs variantes, aux partitions et aux identités formelles ou encore aux tests de primalité, question restée longtemps marginale mais que la théorie du codage a remis récemment au premier plan de la recherche.

Cette traduction comprend notamment un index très détaillé ainsi qu'une bibliographie autonome. Très sensible à la démarche des auteurs, le traducteur - enseignant-chercheur spécialiste de la théorie des nombres - s'est attaché à restituer leur style. Il a complété les entrées bibliographiques et, suivant la suggestion du texte, ajouté une figure nouvelle.

Tous ceux qui aiment les mathématiques trouveront ici - bien mieux qu'un manuel ou un traité, ce qu'il n'est pas - un livre de vraies mathématiques en action, chose rarissime.

11/12/2010

LIVRE Méthodes constructives pour la géométrie spatiale

Méthodes constructives pour la géométrie spatiale

Auteur(s) : Alan Rüegg , Guido Burmeister
Editeur : Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR)

Nombre de pages : 140 pages
Date de parution : 25/11/2010 (2e édition)

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Pour décrire et étudier des objets spatiaux, on les représente couramment par des figures planes. Cet ouvrage se veut une introduction aux méthodes de la géométrie descriptive, ou constructive, méthodes qui ont pour but de construire des images d'objets spatiaux au moyen de projections géométriques. Il expose les concepts et les principales constructions de l'axonométrie, de la perspective et de la méthode de Monge. Cette nouvelle édition inclut l'étude et la représentation de surfaces courbes. Le choix et la présentation des matières ont été effectués avec le souci de permettre au lecteur de passer rapidement à des constructions pratiques. Accessible à toute personne ayant des connaissances élémentaires en géométrie plane, ce livre s'adresse en premier lieu aux étudiants architectes et ingénieurs du premier cycle universitaire; il constituera également un rappel utile pour tout architecte et tout ingénieur praticien souhaitant réviser l'un ou l'autre des sujets traités.

Accessible à toute personne ayant des connaissances élémentaires en géométrie plane, ce livre s'adresse en premier lieu à des étudiants architectes et ingénieurs du premier cycle universitaire; il constituera également un rappel utile pour tout architecte et tout ingénieur praticien souhaitant réviser l'un ou l'autre des sujets traités. De plus, certains chapitres concernent directement les bacheliers en section scientifique ainsi que les élèves des écoles techniques supérieures.

LIVRE Géométrie descriptive

Géométrie descriptive

Du point aux surfaces de révolution et aux ombres

Auteur(s) : Alain Faure
Editeur : Ellipses

Nombre de pages : 278 pages
Date de parution : 24/06/2009

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Avec près de 360 dessins dont 154 en vision "trois dimensions" et 171 sous forme d'épures, ce livre de géométrie descriptive offre une palette de problèmes résolus, de la notion de point à celles des ombres propres ou portées, en passant par les surfaces de révolution.

La réponse à chaque problème est développée en deux étapes :

Un raisonnement géométrique, en supposant le problème résolu, pour mettre en évidence les différentes constructions à envisager
Une marche à suivre pour bâtir l'épure pas à pas et qui correspond à certains choix géométriques faits lors du raisonnement. Le lecteur peut éventuellement procéder autrement.

Ainsi ce livre est une aide aux néophytes, dont on guide le crayon, de la question la plus simple à la plus compliquée. Il est aussi une aide précieuse pour les chevronnés de la descriptive qui y trouveront tout à la fois des dessins à trois dimensions très "parlants" et des épures dont on peut suivre chaque étape de construction. Ce livre s'adresse à tous ceux qui jouent avec l'espace, pour percer les secrets des constructions (tels les architectes), pour construire de belles charpentes (pour les hommes de l'art), pour déterminer la forme des pierres dans des constructions particulières, etc.

Le tandem "Raisonnement géométrique-Marche à suivre" a été le socle de l'enseignement de la géométrie descriptive qui a été dispensé pendant onze années à l'Ecole d'architecture de Marseille Luminy.

LIVRE Les démonstrations et les algorithmes

Les démonstrations et les algorithmes

Introduction à la logique et à la calculabilité

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Tour à tour branche de la philosophie, des mathématiques et de l'informatique, la logique a pour objet d'étude les méthodes qui permettent d'établir qu'un énoncé est vrai, tels le raisonnement et le calcul.

Ce livre est une introduction aux concepts fondamentaux de la logique contemporaine - ceux de démonstration, de fonction calculable, de modèle et d'ensemble. Il présente une série de résultats tant négatifs que positifs - le théorème d'indécidabilité de Church, le théorème d'incomplétude de Gödel, le théorème de semi-décidabilité de la démontrabilité, ... - qui ont profondément changé notre conception du raisonnement, du calcul et, finalement, de la vérité elle-même.

08/12/2010

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiques

Les métamorphoses du calcul , Une étonnante histoire de mathématiquesGilles Dowek

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Socle même de la méthode mathématique depuis l'Antiquité grecque, la notion de démonstration s'est profondément transformée depuis le début des années soixante-dix. Plusieurs avancées mathématiques importantes, non toujours connectées les unes aux autres, remettent ainsi progressivement en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, pour proposer une vision plus équilibrée, dans laquelle l'un et l'autre jouent des rôles complémentaires.
Cette véritable révolution nous amène à repenser le dialogue des mathématiques avec les sciences de la nature. Elle éclaire d'une lumière nouvelle certains concepts philosophiques, comme ceux de jugement analytique et synthétique. Elle nous amène aussi à nous interroger sur les liens entre les mathématiques et l'informatique, et sur la singularité des mathématiques qui est longtemps restée l'unique science à ne pas utiliser d'instruments. Enfin, et c'est certainement le plus prometteur, elle nous laisse entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, qui s'affranchissent de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.

Mathématicien, logicien et informaticien, Gilles Dowek est chercheur et professeur à l'Ecole polytechnique. Auteur de plusieurs ouvrages de vulgarisation dont, au Pommier, deux «Petites Pommes du savoir» et un volume de la collection «le collège de la cité», il a obtenu en 2000 le Prix d'Alembert des lycéens de la Société Mathématique de France.
De la préhistoire des mathématiques aux mathématiques grecques

Le récit de l'histoire des mathématiques commence souvent en Grèce au Ve siècle avant notre ère, quand Pythagore, d'un côté, Thaïes et Anaximandre, de l'autre, ont fondé les deux principales branches des mathématiques antiques : l'arithmétique et la géométrie. La fondation de l'arithmétique et de la géométrie constitue, certes, une révolution majeure dans l'histoire des mathématiques. Cependant, le récit ainsi commencé occulte une période importante que l'on peut appeler la «préhistoire» des mathématiques. Les hommes n'ont, en effet, pas attendu le Ve siècle avant notre ère pour tenter de résoudre les problèmes mathématiques, surtout les problèmes mathématiques concrets, qui se posaient à eux.

Les comptables et les arpenteurs

L'une des plus anciennes traces d'activité «mathématique» consiste en une tablette trouvée en Mésopotamie qui date de 2500 avant notre ère. Elle présente le calcul du nombre de per sonnes auxquelles on peut donner 7 mesures de grain, en puisant dans un grenier qui en contient 1152000. Sans surprise, le résultat, 164571 personnes, s'obtient en divisant 1152000 par 7. Les comptables mésopotamiens savaient donc faire des divi sions, bien avant la «naissance» de l'arithmétique. Il est même vraisemblable, quoiqu'il soit difficile d'avoir des certitudes en ce domaine, que l'écriture ait été inventée précisément pour tenir des livres de comptes et que les chiffres soient, de ce fait, anté rieurs aux lettres. Même si certains ont du mal à l'admettre, nous devons probablement l'ensemble de la culture écrite à la bien peu romantique profession de comptable.

Extrait du livre :
Deux mille ans de calcul

Après l'adoption de la méthode axiomatique, le raisonnement a souvent été présenté comme l'unique outil à utiliser pour résoudre un problème mathématique. Dans le discours qu'ils ont tenu sur leur science, les mathématiciens n'ont quasiment plus accordé de place au calcul. Le calcul n'a pourtant pas disparu de la pratique mathématique : à toutes les époques, les mathématiciens ont proposé de nouveaux algorithmes pour résoudre systématiquement certains types de problèmes. L'histoire des mathématiques a donc sa part lumineuse, celle des conjectures, des théorèmes et des démonstrations, et sa part d'ombre, celle des algorithmes.

Ce chapitre est consacré à trois moments de cette histoire. Ces trois moments, qui se situent à des époques différentes, nous amèneront à discuter différentes questions.

Le premier nous amènera à nous interroger sur la manière dont peut se résoudre l'apparente contradiction entre le discours sur les mathématiques, qui accorde peu de place au calcul, et la pratique mathématique, qui lui en donne une si grande, ainsi que sur la façon dont la transition entre la préhistoire des mathématiques et les mathématiques grecques a pu s'opérer. Le deuxième nous amènera à nous interroger sur la part relative des héritages mésopotamiens et grecs dans les mathématiques médiévales. Le dernier, enfin, nous fera réfléchir sur la raison pour laquelle, alors que la géométrie de l'Antiquité était centrée sur un petit nombre de figures géométriques - le triangle, le cercle, la parabole... -, de nombreuses nouvelles figures géométriques - la chaînette, la roulette... - sont apparues au XVIIe siècle.

Histoire des nombres

Histoire des nombresCollectif

Essai (broché). Paru en 08/2007

Qu’est-ce qu’un nombre ?Une quantité ?Dans quelles conditions et pourquoi sont-ils apparus ?Nombres entiers, premiers, réels, imaginaires, ils structurent le quotidien des hommes et répondent au désir profondément humain de rationaliser le réel. Qu’il s’agisse du négoce des marchands vénitiens ou des sondages politiques dans les campagnes présidentielles, le nombre a été et reste au centre de l’activité humaine.Du rôle des scribes mésopotamiens dans la naissance du concept de nombre à la révolution arithmétique du Moyen Âge, du théorème de Fermat à l’avènement de la technologique numérique, l’Histoire des nombres est avant tout l’histoire des hommes.

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Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé

Nicolas Bourbaki : histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existéAmir D. Aczel

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Le 10 décembre 1934 à midi, dans un café situé au 63 boulevard Saint- Germain à Paris, là où aujourd’hui est installé un fast-food, André Weil, l’un des plus talentueux mathématiciens de cette époque a rassemblé cinq collègues aussi passionnés que lui. A eux six, ils représentent les universités de Strasbourg, Nancy, Rennes et Clermont- Ferrand, à eux six, ils viennent de créer le groupe Nicolas Bourbaki dont les publications vont donner un formidable coup de modernité aux mathématiques et un immense élan à l’école française.
C’est à peu près dix ans auparavant que Raoul Husson, élève à l’Ecole Normale Supérieure, invente le personnage de Nicolas Bourbaki en s’inspirant du grand Charles Bourbaki qui servit en Crimée, en Algérie, en Italie avant de devenir gouverneur militaire de Lyon.
Le premier groupe de cette société secrète est composé outre d’André Weil, d’Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel. La guerre les séparera. Dans les années quarante le groupe s’enrichira de l’arrivée de la future médaille Field, Laurent Schwartz et du génie Alexandre Grothendieck qui dans les années 90 partit vivre en ermite dans les forêts pyrénéennes.
Et aujourd’hui encore, bien que moins rayonnant, le groupe continue à se réunir avec de nouveaux membres. Bourbaki n’a pas seulement fait progresser les mathématiques mais a aidé Lévi-Strauss à formaliser le structuralisme et a même inspiré les membres de l’Oulipo dans leur recherche. Voici son étonnante et passionnante histoire.

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'oméga

Hasard et complexité en mathématiques : la quête d'omégaGrégory Chaitin

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Que diriez-vous d'une balade mathématique au fin fond d'une forêt de chiffres, mêlant histoire et philosophie, physique et biologie, et qui mènerait au plus fascinant de tous, le nombre Oméga, «sorte de cauchemar pour la raison pure» ? Concentré des propriétés les plus étranges que peuvent avoir certains nombres réels, Ω est définissable, mais non calculable, incompressible et aléatoire. D'une certaine manière, il réunit les propriétés les plus extrêmes que peut posséder un réel définissable !

C'est dans les années 1970 que les mathématiques se sont enrichies de ce nombre étrange. Gregory Chaitin, son découvreur, entreprend ici de nous familiariser avec sa surprenante complexité, tout en la resituant dans l'histoire des mathématiques. Éclairant d'un jour nouveau les fameux théorèmes de Godel sur l'incomplétude des mathématiques, Ω et les théorèmes associés à la complexité algorithmique font désormais partie du bagage de tout mathématicien, logicien, informaticien ou philosophe des sciences.

Trouver un nombre non calculable qui ait une définition naturelle n'est pas un exercice facile, l'expliquer en le vulgarisant l'est encore moins. C'est là le grand mérite de cet ouvrage, unique en son genre, dont l'ambition est de rendre accessible les mathématiques pures.

GREGORY CHAITIN est un mathématicien et informaticien américain d'origine argentine. Figure internationale dans le monde des sciences, docteur honoris causa en 1995 de l'université du Maine et professeur honoraire depuis 2002 de l'université de Buenos Aires, il travaille à New York pour l'IBM Thomas J. Watson Research Center.

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Mathématiques et physique

Mathématiques et physiqueBernard Diu

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« Le livre de la nature est écrit dans la langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans lesquels il est humainement impossible d’en comprendre le moindre mot. » Ce célèbre aphorisme de Galilée a scellé l’alliance des mathématiques et de la physique. Et pourtant, trois siècles plus tard, Einstein se montrait plus sceptique.

Dans ce livre, Bernard Diu montre que, en effet, si les mathématiques sont un instrument indispensable de la physique, elles n’en constituent pas le fondement. En multipliant les exemples, il marque la différence entre la mathématique du mathématicien et celle du physicien.

Un livre de nature à remettre en question l’enseignement de la physique dans nos écoles et des sciences en général, soumis à l’hégémonie des mathématiques.

Bernard Diu est professeur émérite à l’université Denis-Diderot-Paris-VII et chercheur au laboratoire de physique théorique des hautes énergies du Campus Jussieu. Il a publié Les atomes existent-ils vraiment ?, Traité de physique à l’usage des profanes, Les théories meurent aussi, et, avec Bénédicte Leclercq, La Physique mot à mot.

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