02/12/2010
Algèbre de Lie
En mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie l'identité de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps.Algèbre de Lie
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Soit un corps. Une algèbre de Lie sur est un espace vectoriel sur muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes: Le produit [x,y] est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de x et y. Puisque le crochet est une fonction bilinéaire alternée de x,y, on a aussi l'identité [x,y] = − [y,x] pour tousx,y dans . L'identité (2) ci-dessus est appelée l'identité de Jacobi. Une sous-algèbre de Lie de est un sous-espace vectoriel de stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algèbre de Lie de est munie de manière évidente d'une structure d'algèbre de Lie sur . Remarque : contrairement aux algèbres tensorielles (et aux algèbres de Clifford, dont les algèbres extérieures), les algèbres de Lie ne sont pas unitaires, ni associatives. Un morphisme d'algèbre de Lie est une application linéaire φ qui respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire telle que Un idéal de est un sous-espace vectoriel tel que . C'est en particulier une sous-algèbre de Lie. Si une algèbre de Lie n'admet pas d'idéal non trivial, elle est dite simple. Si est un idéal de , on peut former le quotient de par : c'est l'espace vectoriel quotient , muni du crochet défini par . La projection est alors un morphisme d'algèbres de Lie. Une représentation d'une algèbre de Lie est un morphisme . Autrement dit, c'est une application linéaire telle que φ([g,h]) = φ(g)φ(h) − φ(h)φ(g). Le morphisme défini par ad(g)(h) = [g,h] définit une représentation de , appelée représentation adjointe. L'identité de Jacobi exprime précisément le fait que ad respecte le crochet. Le noyau de cette représentation est le centre de l'algèbre de Lie . Les algèbres de Lie sont naturellement associées aux groupes de Lie. Si G est un groupe de Lie et 1 son élément neutre, alors l'espace tangent en 1 à G est une algèbre de Lie ; la construction exacte de cette algèbre est détaillée dans la section correspondante de l'article Groupe de Lie. La même construction est valable pour les groupes algébriques. On note en général en petites lettres gothiques l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie, ou à un groupe algébrique. Ainsi, comme on l'a déjà vu, désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n et désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n de trace nulle. De la même façon, désigne l'ensemble des matrices carrées A de taille n antisymétriques, etc. Dans tous ces exemples, le crochet de Lie n'est rien d'autre que le commutateur : [A,B]=AB-BA. Si φ est un morphisme de groupes entre deux groupes de Lie G et H, et si l'on suppose φ différentiable, alors sa différentielle en l'identité sera un morphisme entre les algèbres de Lie et de G et H. En particulier, à une représentation de G différentiable, on associe une représentation de . La classification des algèbres de Lie est utilisée de façon cruciale pour l'étude des groupes de Lie, des groupes algébriques et de leurs représentations. Si et sont deux sous-algèbres de Lie d'une algèbre de Lie , notons le sous-espace vectoriel engendré par les éléments de la forme [a,b] pour et . Une algèbre de Lie est dite nilpotente lorsque toute suite de commutateurs finit par être nulle, lorsque n devient suffisamment grand. Plus précisément, définissons Ci par et . S'il existe un i tel que Ci=0, on dit que est nilpotente. Cette notion est à mettre en parallèle avec celle de groupe nilpotent. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie abélienne est nilpotente. L'algèbre des matrices triangulaires strictes, c'est-à-dire de la forme fournit un exemple d'algèbre de Lie nilpotente. Le théorème d'Engel affirme que toute sous-algèbre nilpotente de est en fait simultanément trigonalisable et donc conjuguée à une sous-algèbre de . Définissons par récurrence Di par et Di + 1 = [Di,Di] S'il existe un i tel que Di=0, on dit que est résoluble. Comme dans le cas des algèbres nilpotentes, cette notion correspond à celle de groupe résoluble. Il est facile de voir que toute algèbre de Lie nilpotente est résoluble. Un exemple d'algèbre de Lie résoluble est donné par l'algèbre des matrices triangulaires supérieures dans . Le théorème de Lie montre que, si est algébriquement clos et de caractéristique nulle, alors toute sous-algèbre de Lie résoluble de est conjuguée à une sous-algèbre de On dit qu'une algèbre de Lie est semi-simple lorsqu'elle ne contient pas d'idéal résoluble non trivial. est dite réductive lorsque sa représentation adjointe est semi-simple. Lorsque est de caractéristique nulle, et que est de dimension finie, la semi-simplicité de est équivalente à la non-dégénerescence de la forme de Killing K(x,y) définie par K(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), où tr désigne la trace. Par ailleurs, est réductive si et seulement si est semi-simple. On peut montrer que, sous les mêmes hypothèses, toute algèbre de Lie semi-simple est en fait une somme directe d'algèbres de Lie simples. Les algèbres de Lie simples de dimension finie sur le corps des nombres complexes sont classifiées par les diagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algèbres de Lie simples (ou 3 si on considère Bn et Dn comme une même famille) et 5 algèbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune à un diagramme de Dynkin différent. L'algèbre de Lie est, elle, réductive et son algèbre de Lie dérivée est . Les algèbres de Lie semi-simples de dimension finie sur le corps des nombres réels sont classifiées par les involutions d'algèbres de Lie complexe ou, de façon équivalente, par lesinvolutions de systèmes de racines. Ceci correspond à la notion d'algèbre de Lie symétrique. Comme classe d'algèbre de Lie simple réelle, on peut citer: EI, EII, EIII, EIV (de type E6) EV, EVI, EVII (de type E7) EVIII, EIX (de type E8) FI, FII (de type F4) et GI (de type G2) suivant la notation d'Helgason1) Il n'y a pas de classification générale des algèbres de Lie de dimension infinie mais plusieurs classes de telles algèbres ont été étudiées. Il existe différentes sortes de généralisations des algèbres de Lie, on citera les superalgèbres de Lie, les groupes quantiques, les algèbres de Leibniz, les algèbres pré-Lie.Définitions, exemples et premières propriétés [modifier]
Définition [modifier]
Quelques exemples classiques d'algèbres de Lie [modifier]
Morphismes et idéaux [modifier]
Relation avec les groupes de Lie et les groupes algébriques [modifier]
Classification [modifier]
Algèbres de Lie nilpotentes [modifier]
Algèbres de Lie résolubles [modifier]
Algèbres de Lie semi-simples et réductives [modifier]
Dimension infinie [modifier]
Généralisation [modifier]
Références [modifier]
Voir aussi [modifier]
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