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17/04/2011

Chronologie de l'algèbre

Le tableau de cette page fournit une chronologie sommaire des mots clefs dans le développement de l'algèbre. Le découpage en grande période tient compte de l'avancée des mathématiques dans le monde gréco-latin, arabo-musulman, et européen. Il ne prétend pas rendre compte du mouvement général, Inde et Chine comprises, du développement d'ensemble des notions algébriques.

Année	Évènement

-1800-200	Les origines de l'algèbre.

Vers le XVIIIe siècle av. J.-C.	Les scribes babyloniens recherchent la solution d'une équation quadratique. Voir Tablette de Strasbourg
Vers le XVIIIe siècle av. J.-C.	La tablette Plimpton 322 écrite à Babylone en écriture Cunéiforme donne une table de triplets pythagoriciens.
Vers le VIIIe siècle av. J.-C.	Le mathématicien indien Baudhayana, dans son Baudhayana Sulba Sutra, découvre les triplets pythagoriciens de façon algébrique et une solution géométrique des équations linéaires et des équations quadratiques de la forme ax² = c and ax² + bx = c, enfin, il trouve deux ensembles de solutions entières et positives à un système d'équations diophantiennes.
Vers le VIIe siècle av. J.-C.	Le mathématicien indien Apastamba, dans son Apastamba Sulba Sutra, résout les équations linéaires générales et utilise les systèmes d'équations diophantiennes comportant jusqu'à cinq inconnues.
Vers le IVe siècle av. J.-C.	Dans le livre II de ses Éléments, Euclide donne une construction géométrique à la règle et au compas de la solution d'une équation quadratique pour des racines réelles et positives. La construction est un résultat de l'école de géométrie de Pythagore.
Vers le IVe siècle av. J.-C.	Une construction géométrique de la solution des équations cubiques est soulevée (le problème de la duplication du cube). Il est connu que celui-ci n'a pas de solution constructible à la règle et au compas.
Vers 150	Le mathématicien grec Héron d'Alexandrie traite des équations algébriques dans ses trois volumes de mathématiques.

100-800	De Diophante à Al-Khwarizmi, l'algèbre se dégage de la géométrie.

Vers 200	Le mathématicien hellénistique Diophante qui vécut à Alexandrie, et souvent considéré comme le père de l'algèbre, écrit son fameux Arithmetica, un travail préfigurant la théorie des équations algébriques et la théorie des nombres.
Vers 300	Des équations algébriques sont traitées dans le manuel chinois de mathématiques de Liu Hui Jiuzhang suanshu (The Nine Chapters on the Mathematical Art), qui contient la solution de systèmes linéaires utilisant la méthode de la fausse position, des solutions géométriques d'équations quadratiques et la recherche de matrices équivalentes selon la méthode de Sylvester-Gauss.
499	Le mathématicien indien Aryabhata, dans son traité Aryabhatiya, obtient le nombre complet de solutions d'un système d'équations linéaires par des méthodes équivalentes aux méthodes modernes, et décrit la solution générale de telles équations. Il donne également des solutions d'équations différentielles.
Vers 625	Le mathématicien chinois Wang Xiaotong trouve les solutions numériques d'une équation cubique.
628	Le mathématicien indien Brahmagupta, dans son traité Brahma Sputa Siddhanta, invente la méthode du chakravala pour résoudre les équations quadratiques, dont l'équation de Pell, et donne des règles pour résoudre les équations linéaires et quadratiques. Il découvre que les équations du second degré ont deux racines, dont les négatives et les irrationnelles.
Vers 800	Les califes abbassides al-Mansur, Haroun ar-Rachid, et Al-Mamun, ont fait traduire les travaux scientifiques des Grecs, des Babyloniens et des Indiens en langue arabe. Commence ainsi, au Moyen-Orient, une renaissance de la culture scientifique. Bagdad devient une nouvelle Alexandrie, particulièrement sous le règne d'Al-Mamun (809-833). À la suite d'un rêve où lui serait apparu Aristote, le calife a demandé à ce qu'on traduise tout ce qu'on connaissait des Grecs, y compris l'Almageste de Ptolémée et une version complète des éléments d'Euclide. Al-Mamun fit construire à Baghdad une « Maison de la Sagesse » (Bait al-hikma) afin de rivaliser avec l'ancien Museum d'Alexandrie.

800-1600	D'Al-Khawarizmi à Stevin, l'algèbre établit ses procédures.

820	Le mot algèbre naît. Il dérive de l'opération qui consiste à diviser les deux membres d'une égalité par une même quantité (non nulle). Il ne peut être séparé qu'au prix d'une mutilation du terme « Al'muqabala », (transposition) aujourd'hui inusité, qui désigne la soustraction aux deux membres d'une même quantité. Ces deux termes forment le projet algorithmique décrit par Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī dans Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (soit « La méthode de calcul par réduction et transposition » ou restauration et comparaison). On obtient ainsi la solution des équations linéaires. Al-Khwarizmi est souvent considéré comme le père de l'algèbre médiévale, car il dégage celle-ci de l'emprise géométrique.
Vers 850	Le mathématicien persan Al-Mahani (en) conçoit l'idée de réduire géométriquement le problème de la duplication du cube à un problème algébrique.
Vers 850	Le mathématicien indien Mahavira résout différentes équations paramétrées de degrés élevés.
Vers 990	Le mathématicien persan Al-Karaji (ou al-Karkhi), dans son ouvrage l'Al-Fakhri, développe la méthode d'Al-Khwarizmi. Il définit les monômes x, x², x³, ... et 1/x, 1/x², 1/x³, ... Il donne des règles qui régissent le produit de ceux-ci. Il découvre la première solution des équations de la forme ax²ⁿ + bxⁿ = c.
Vers 1050	Le mathématicien chinois Jia Xian (en) trouve des solutions numériques d'équations de degrés élevés.
1072	Le mathématicien persan Omar Khayyam donne une classification complète des équations cubiques aux racines positives et une solution géométrique lorsqu'elles sont exprimables au moyen d'intersections de coniques. Le « fabricant de tentes » résout géométriquement des équations de degré 3. Mais croit impossible leur résolution algébrique générale. Il généralise les méthodes, déjà utilisées par Menechme, Archimede, et Al'hazan, à toutes les équations de degré 3 possédant des racines positives.
1114	Le mathématicien indien Bhaskara, dans son ouvrage Bijaganita (Algebra), reconnaît les racines carrées négatives, résout des équations quadratiques à plusieurs inconnues, des équations d'ordre supérieur comme celles de Fermat ainsi que les équations du second degré générales.
Vers 1200	Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213) écrit l'Al-Mu'adalat (Traité des Équations), qui fournit huit types d'équations cubiques aux solutions positives et cinq types éventuellement privés de telles solutions. Il utilise ce qui deviendra la « méthode de Ruffini et Horner », méthode d'analyse numérique pour approcher les racines. Il développe les concepts d'extremum . Il entrevoit le rôle du discriminant des équations cubiques et utilise pour la première fois la formule de Cardan due à Scipione del Ferro pour résoudre les équations de degré 3. Roshdi Rashed, affirme que Sharaf al-Din découvrit la dérivée du polynôme de degré 3 et comprit la nécessité de lier cette dérivée aux conditions de résolution de cette équation.
Au XIIe siècle	Une équipe de traducteurs sous la direction de Gondisalvius traduit les manuscrits arabes de la bibliothèque de Cordoue. parmi eux, se distingue nettement un des premiers algébristes occidentaux Jean Hispalensis. Dans le même mouvement, Jordan de Nemore introduit dans son Isagogue la notations des inconnus par des symboles.
En 1202	L'algèbre arabe conquiert l'Europe au travers du livre du Pisan Leonardo Fibonacci et de son livre Liber Abaci.
En 1299	Le mathématicien chinois Zhu Shijie résout les équations quadratiques, numériquement des quartiques et des équations avec plusieurs inconnues (au plus 4). Il donne le premier la méthode de développement des polynômes nommé Méthode de Horner.
Vers 1400	Jamshīd al-Kāshī développe une première forme de la méthode de Newton Regula falsi.
Vers 1400	Le mathématicien indien Madhava de Sangamagrama trouve la solution de fonctions transcendantales et d'équations différentielles par itération.
1412-1482	Le mathématicien arabe Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī donne une première étape de notation symbolique.
Vers 1500	Le mathématicien italien Scipione del Ferro, élève de Pacioli parvient pour la première fois à une résolution algébrique d'un grand type d'équations du troisième degré. Il ne les publie pas.
1525	Le mathématicien allemand Christoff Rudolff introduit la notation des racines carrées dans son ouvrage Die Coss.
Vers 1530	Robert Recorde introduit le signe = et Michael Stifel développe une première forme de notation algébrique.
1535	Niccolo Fontana Tartaglia retrouve les formules de Scipione del Ferro.
1545	Cardan, aidé de son secrétaire Ludovico Ferrari, publie dans son Ars magna les formules qu'il a achetées à Tartaglia sous le sceau du secret ainsi que celles recueillies dans un carnet du défunt Scipione del Ferro. Ferrari donne la solution des équations de degré 4.
1572	Rafaelle Bombelli donne une formulation des nombres complexes et les règles de calculs effectifs. Une racine carrée de -1 apparaît sous la forme piu di meno.
1584	Le mathématicien néerlandais Stevin rédige un manuel de seize pages pour populariser l'art de compter avec les nombres décimaux. Il écrit les puissances du dixième cernées d'un exposant. Il donne la première écriture des vecteurs.

1600-1830	De Viète à Gauss, l'algèbre triomphe des équations polynomiales.

1591	Le mathématicien français François Viète ouvre une nouvelle période de l'algèbre en faisant opérer les calculs sur des lettres, voyelles pour désigner les inconnues et consonnes pour les paramètres. C'est l'algèbre nouvelle. Par cet acte fondateur, il inaugure la période qui voit triompher le formalisme dans la résolution des équations algébriques. Par ailleurs, il donne le développement du binôme de Newton, résout une équation de degré 45^{[réf. nécessaire]} et introduit l'usage des parenthèses In artem analyticam isagoge.
1600-1624	Période de diffusion de l'algèbre nouvelle grâce aux éditions de François Viète par Marin Ghetaldi, Alexander Anderson et Van Schooten.
1631	Le mathématicien anglais Thomas Harriot introduit, dans une publication posthume, les symboles > et <. La même année William Oughtred donne pour la première fois le symbole multiplié.
1637	Le philosophe et mathématicien français René Descartes renomme les inconnus x,y,z et les paramètres a,b,c et étend l'usage de l'algèbre aux longueurs et au plan, créant avec Pierre de Fermat la géométrie analytique.
1658	Le philosophe et mathématicien français Blaise Pascal nomme ordonnée la coordonnée portée sur le second axe du plan.
1682-1693	Le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Leibniz développe le maniement du calcul symbolique par des règles qu'il nomme characteristica generalis. Il définit les courbes algébriques et nomme abscisse la première coordonnée. Enfin, il résout les systèmes linéaires en usant - sans justification théorique - de matrices et de déterminants.
Vers 1680	Isaac Newton développe le calcul formel sur les séries entières, et calcule lescontacts des branches d'une courbe algébrique par la méthode du polygone qui porte son nom.
1683 - 1685	Le mathématicien japonais Kowa Seki, dans sa Méthode de résolution des problèmes cachés, découvre les premières version du déterminant. Il résout des équations de degré 4 et 5 et donne les formules de résolution des équations cubiques.
1732	Le mathématicien suisse Leonhard Euler donne la résolution des équations cubiques de façon achevée.
1746	L'encyclopédiste français Jean le Rond D'Alembert donne la première preuve du théorème fondamental de l'algèbre.
1750	Le mathématicien français Gabriel Cramer, dans son traité Introduction à l'analyse des courbes algébriques, établit la règle de Cramer et étudie les courbes algébriques, des systèmes qu'on nommera matriciels à l'aide de « déterminants ».
1764-1779	Le mathématicien français Bézout publie ses travaux sur le degré des équations et la théorie des équations algébriques. Donnant une première preuve reliant le degré et l'intersection.
1799	Le mathématicien italien Paolo Ruffini démontre partiellement l'impossibilité de résoudre par radicaux toutes les équations de degré cinq.
1796-1801	Le mathématicien allemand Gauss donne un démonstration rigoureuse du théorème de d'Alembert. Il commence la publication des disquisitiones qui contiennent la première preuve de la loi de réciprocité quadratique dans la partie IV)¹ .
1806	Le mathématicien suisse Argand publie la première représentation plane des nombres complexes et utilise des mesures algébriques.
1816	Le mathématicien français Gergonne introduit le symbole marquant l'inclusion.
vers 1820	Le mathématicien français Adrien-Marie Legendre donne par son symbole la caractérisation des résidus de carrés dans les anneaux de congruence.
1822	Le mathématicien français Jean-Victor Poncelet fonde la géométrie projective.
1823	Le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel donne un exemple d'équation de degré cinq insoluble par radicaux. Il introduit la notion de nombres algébriques (publié en 1826)
1827	Le mathématicien allemand Möbius introduit le calcul barycentrique oublié depuis le Suisse Paul Guldin et Archimède.
1832	Gauss donne une construction rigoureuse des nombres complexes.

1832-1900	De Galois à Peano, l'algèbre des premières structures.

1829-1832	La Théorie de Galois, développée par le mathématicien français Évariste Galois ouvre le champ d'une nouvelle ère, celle des structures. Des prémisses de la théorie des groupes sont à rechercher chez Hudde (1659), Saunderson (1740) Le Sœur (1748) et Waring (1762- 1782), Lagrange (1770 - 1771) etVandermonde (1770). Mais Évariste Galois signe véritablement l'apparition de la notion de groupe dans son travail, mal reconnu, où se trouvent les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation soit résoluble par radicaux.
1835	Le baron français Cauchy établit une première théorie des déterminants. Il diagonalise les endomorphismes symétriques réels dans des cas simples.
1837	Le géomètre français Michel Chasles introduit le terme de birapport, d'homothétie et d'homographie, notions oubliées depuis Girard Desargues.
1844	Le mathématicien allemand Hermann Grassmann définit le premier une notion d'algèbre, méconnue à son époque, mais qui aura l'heur d'être comprise quelques vingt ans plus tard par Sophus Lie. À la même date, l'irlandais William Rowan Hamilton définit des espaces de vecteurs. La notion d'espace vectoriel sera clairement définie par l'Allemand Möbius et par l'Italien Giuseppe Peano 40 ans plus tard.
1844	Énoncé de la conjecture diophantienne d'Eugène Charles Catalan.
1846	Publication par Liouville des travaux d'Évariste Galois (Liouville, Vol. XI).
1847	Le mathématicien allemand Ernst Kummer parvient à démontrer le théorème de Fermat pour tous les nombres premiers réguliers et dégage la théorie des idéaux premiers, il approfondit la décomposition des groupes.
1847	Publication par le mathématicien irlandais George Boole des lois de la pensée où l'analyse logique est automatisée via une structure d'algèbre.
Vers 1850	Les mathématiciens anglais Arthur Cayley et James Joseph Sylvester introduisent le terme de matrices.
1850	Le mathématicien allemand Richard Dedekind introduit les termes d'anneaux et de corps dans son livre Lehrbuch des Algebra.
1850	Le mathématicien français Victor Puiseux développe ses séries, permettant ainsi une meilleure approche des singularités d'une courbe et l'étude de branches conjuguées ². Un lemme de préparation de Karl Weierstrass, publié en 1895, justifiera ultérieurement cette approche.
1851	Le mathématicien français Liouville montre l'existence d'une infinité de nombres transcendants.
1853-1854	Le mathématicien allemand Leopold Kronecker confirme les résultats de Niels Abel et d'Évariste Galois. Les travaux de Arthur Cayley font de même l'année suivante.
1863	Démonstration par le mathématicien allemand Gustav Roch du théorème de Riemann-Roch reliant le degré et le genre d'une courbe algébrique dans une première version analytique.
1860-1870	Les mathématiciens allemands Siegfried Heinrich Aronhold et Alfred Clebsch travaillent sur les théories de l'invariant. Ils sont à l'origine de la vision algébrique des théories de Riemann, et donc les ancêtres de la cohomologie algébrique.
1870	Le mathématicien français Camille Jordan montre l'invariance à ordre près de la suite des groupes quotients dans la décomposition des groupes. Son travail se prolonge par ceux de Eugen Netto (1882) et de Von Dyck (1882) qui définit les groupes dans leur sens actuel.
1872	Le mathématicien allemand Felix Klein, dans son programme d'Erlangen, met l'étude des groupes au centre de la définition des différentes géométries.
1873	Le mathématicien français Charles Hermite démontre la transcendance de e. Théorème d'Hermite-Lindemann.
1873	Le mathématicien allemand Max Noether donne des théorèmes d'existence de courbes algébriques dans certains faisceaux de courbes. L'anglais William Kingdon Clifford étudie les algèbres qui portent son nom et seront un des objets féconds du siècle suivant.
1873-1899	Le mathématicien allemand Cantor jette les bases de la théorie des ensembles et des cardinaux. Il montre que les nombres algébriques sont en fait dénombrables.
1878	Le mathématicien allemand Ferdinand Georg Frobenius donne la première démonstration correcte du théorème de Cayley-Hamilton. Il enrichit, par ailleurs, la théorie de la réduction et des algèbres (associatives).
Vers 1880	Le mathématicien français Émile Picard étudie les surfaces algébriques, les générateurs des complexes linéaires et les groupes de diviseurs qui portent son nom.
vers 1880-1890	Les mathématiciens anglais William Burnside, norvégien Ludwig Sylow (82), américain Leonard Eugene Dickson (91), allemand Otto Hölder, français Emile Mathieu et allemand Heinrich Weber complètent la théorie des groupes linéaires et des groupes finis.
1892	Les mathématiciens italiens Castelnuovo et Federigo Enriques collaborent sur les surfaces, les classent en cinq types, et découvrent les théorèmes qui portent leur nom sur les systèmes linéaires.
1890-1898	L'étude systématique des groupes s'amplifie avec le mathématicien norvégien Sophus Lie, l'allemand Issai Schur et le français Elie Cartan. Ce dernier introduit la notion de groupe algébrique.
1892-1900	L'étude des groupes discrets se poursuit avec Felix Klein, Sophus Lie, Henri Poincaré, Émile Picard, en liaison avec la monodromie.
1894	Le mathématicien français Elie Cartan publie sa thèse sur les groupes de transformations. Il s'intéressera ultérieurement aux algèbres associatives et aux espaces symétriques.
1897	Le mathématicien allemand Holder montre l'isomorphisme des groupes quotients entrant dans les tours de décompositions.
1891-1903	Le mathématicien italien Giuseppe Peano introduit le symbole d'appartenance ainsi qu'une première version de l'écriture des quantificateurs. Leur forme définitive sera donnée par David Hilbert. Il donne plus de 40000 définitions dans une langue qu'il veut universelle.

1898-1939	De David Hilbert à Kurt Gödel, l'algèbre des structures complexes.

1898	Le mathématicien allemand David Hilbert donne une première approche du corps de classe. Dans sa conférence 1900, lors du deuxième congrès international de mathématiques tenu à Paris, il présente les 21 problèmes de Hilbert, dont une partie porte sur la théorie de la démonstration et l'algèbre. On retiendra notamment le troisième qui débouche sur le paradoxe de Banach-Tarski, le cinquième, le huitième (qui demeure ouvert), le quinzième (qui appelle la théorie de l'intersection). Ils sont de natures plus ou moins profondes, mais ils ont fortement influé sur les mathématiques du siècle.
1901	Les travaux concernant les automorphismes des groupes de grande dimension sont poursuivis par Moore, William Burnside et vulgarisés par Leonard Eugene Dickson³.
1900	Le rôle des groupes simples est développé par le Français Camille Jordan. Des critères de non-simplicité le sont par l'Allemand Otto Hölder, qui classifie 200 groupes non triviaux. On atteint avec l'Américain Frank Nelson Cole le nombre de 660, avec l'Anglais William Burnside 1092 (2001 de nos jours par l'Américain Gary Lee Miller) ⁴.
1904-1920	Le mathématicien allemand Anton Suschkewitsch et le Français Jean-Armand De Seguier (1862-1935)⁵ fondent la théorie des semi-groupes.
Vers 1910	Les travaux de Walther von Dyck, l'Allemand Max Dehn (1900-1910), le Danois Jakob Nielsen ⁶ complètent la théorie des groupes.
1905-1924	Le mathématicien français Albert Châtelet travaille sur les automorphismes des groupes abéliens.
1911-1919	Collaboration des mathématiciens anglais J.E. Littlewood et G. H. Hardy avec le mathématicien indien S. Ramanujan.
1917	Le mathématicien français Gaston Julia décrit les formes binaires non quadratiques. L'allemand Erich Hecke étudie l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind, manie les fonctions thêta et certains caractères de fonctions L nommés d'après son nom.
1920	Création des algèbres de Von Neumann.
1922-1938	Hermann Weyl développe ses travaux sur les groupes compacts.
1920-1940	Travaux de l'anglo-canadien Coxeter en combinatoire et en théorie des groupes permettant d'unifier les groupes décrits par Hermann Weyl.
1920	Le mathématicien japonais Teiji Takagi⁷ livre les premiers résultats fondamentaux sur le corps de classe.
1922	Louis Mordell a démontré que l'ensemble des points rationnels d'une courbe elliptique forme un groupe abélien de type fini. Il est à l'origine de la conjecture de Mordell-Weyl, qu'établira Gerd Faltings en 1983.
1925	Heinz Hopf démontre que toute variété Riemannienne de dimension 3 de courbure constante est globalement isométrique à un espace euclidien, sphérique ou hyperbolique. Il donne une nouvelle démonstration au théorème de Poincaré-Hopf. Les notions qu'il introduit marquent la naissance des Algèbres de Hopf.
1926	Le mathématicien allemand Helmut Hasse publie sa théorie des corps de nombres algébriques. Son compatriote Richard Brauer commence à développer le travail dans les algèbres qui portent son nom.
1927	Le mathématicien autrichien Artin publie la théorie de la loi de réciprocité générale.
1928	Le mathématicien français André Weil étudie l'arithmétique des courbes algébriques.
1929	La mathématicienne allemande Emmy Noether fixe la théorie des hypercomplexes ou algèbres associatives.
1930	Parution de la Moderne Algebra de Van der Warden. Le mathématicien hollandais résout le quinzième problème de Hilbert en définissant une vraie théorie de l'intersection dans le groupe des diviseurs d'une variété algébrique.
Vers 1930	Le mathématicien anglais Raymond Paley démontre l'existence de matrices de Hadamard d'ordre q+1 lorsque q est une puissance d'un nombre premier congrue à 3 modulo 4. Il fonde ainsi la conjecture d'Hadamard.
1930	Le mathématicien allemand Wolfgang Krull développe la théorie des idéaux maximaux.
1926-1934	Le mathématicien français Claude Chevalley étudie les corps de classe des corps finis et les corps locaux. Il introduit les adèles et les idèles. Son camarade André Weil fonde ce qui deviendra la Cohomologie Galoisienne.
1935	Naissance de Nicolas Bourbaki sous l'impulsion d'André Weil, d'Henri Cartan, de Claude Chevalley, de Jean Delsarte⁸, de Jean Dieudonné, de Charles Ehresmann, de René de Possel et de Szolem Mandelbrojt
1931-1936	Le mathématicien polonais Tarski poursuit les travaux de logique à propos de la complétude de l'algèbre et des théorèmes de transfert. Il montre l'indécidabilité de la théorie des groupes. C'est le théorème de Tarski. Il retrouve ainsi les résultats non publiés du très cosmopolite Kurt Gödel (1931).
1934	Le mathématicien russe Andreï Kolmogorov définit son travail topologique en terme cohomologique.
1935	Oscar Zariski définit la topologie de Zariski sur les variétés algébriques.

Après 1940-1945	De Bourbaki à Andrew Wiles, l'algèbre de la cohomologie, des catégories et des schémas.

1942	Travaux du mathématiciens français Pierre Samuel sur la multiplicité.
1942-1945	Les Américains Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane fondent la notion de catégorie.
1950	Le mathématicien américain John Tate donne une nouvelle forme de cohomologie.
1948-1964	Les séminaires Cartan, rue d'Ulm, conduisent le mathématicien français Henri Cartan et Samuel Eilenberg à la publication de Homological Algebra (1956). L'étude chomologique du corps de classe conjoint les efforts des mathématiciens français Claude Chevalley, de Jean-Louis Koszul et de Jean-Pierre Serre.
1953-1963	Publication des livres de Pierre Samuel.
1955	La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil annonce que toute courbe elliptique est associée à une forme modulaire de même fonction L. Une version faible est annoncée par le mathématicien japonais Yutaka Taniyama. Elle est reformulée par André Weil dans les années 1960.
1958	Le mathématicien ukrainien Oscar Zariski utilise les surfaces qui portent son nom pour obtenir des surfaces non rationnelles mais unirationnelles. Le problème de l'unirationnalité demeure ouvert même pour des surfaces simples ⁹.
Vers 1960	L'Américain John Griggs Thompson accomplit des progrès décisifs dans la classification des groupes finis.
Vers 1960	Le mathématicien japonais Kunihiko Kodaira achève ses travaux par un renouvellement de la classification des surfaces algébriques.
1961-1975	Le mathématicien anglais David Mumford rénove dans le langage des schémas les points de vue de Kodeira sur la classification des surfaces dans l'American Journal of Mathematics ; notamment en caractéristique p.
1960-1970	Le mathématicien français Yves Hellegouarch étudie les propriétés de courbes elliptiques associées à des contre-exemples au dernier théorème de Fermat. Il fonde l'étude des formes modulaires.
1960-1970	Le mathématicien français Alexandre Grothendieck développe et pousse à son terme la théorie des catégories et des schémas.
1967	Énoncé par le mathématicien canadien Robert Langlands du Programme de Langlands qui permet de lier la généralisation des fonctions L de Dirichlet dans le cas des groupes de Galois non-abéliens aux représentation cuspidale automorphes. Travail initialisé par Israel Gelfand.
Vers 1980	Le mathématicien français Alain Connes résout une grande part des problèmes soulevés par la théorie des algèbres de Von Neumann, notamment la classification des facteurs de type III. Pour cela, il sera récompensé parla médaille Fields en 1982.
Vers 1980	Le mathématicien russe Yuri Manin établit une part de la conjecture de Mordell et, avec Iskovskikh, un contre exemple à la conjecture de Lüroth.
1983	Gerd Faltings montre le Théorème de Faltings précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell. Il donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne.
1986	Le mathématicien russe Vladimir Drinfeld donne forme au groupe quantique et généralise la notion d'algèbre de Hopf.
1985-1994	Les travaux du mathématicien anglais Andrew Wiles, rectifiés par Richard Taylor montrent une grande partie de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. Ils étendent ainsi les classes de courbes où la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est vérifiée et font tomber le Dernier théorème de Fermat.
2000-2002	Le mathématicien français Laurent Lafforgue démontre une partie des conjectures de Langlands.
2001	Démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil par Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, et Richard Taylor.
2000-2002	Le mathématicien russe Vladimir Voevodsky développe la notion d'homotopie pour les variétés algébriques ainsi que la cohomologie motivique, faisant tomber conjecture de Milnor.
2004	Une matrice de Hadamard d'ordre 428 a été donnée le 21 juin 2004 par Hadi Kharaghani et Behruz Tayfeh-Rezaie. Le plus petit ordre multiple de 4 pour lequel aucune matrice de Hadamard n'est connue est actuellement 668.

Notes et références[modifier]

↑ La loi de réciprocité quadratique [archive] sur le site DynaMaths
↑ [1] Une approche des séries de Puiseux
↑ [2] la page Wikipédia anglaise de Leonard Dickson
↑ [3] [archive] le site contemporain de Gary Miller
↑ [4] [archive] une trace de De Seguier au travers de la biographie de Paul Dubreil (de) sur le site Chronomaths de Serge Mehl
↑ [5] la page Wikipédia anglaise de Jakob Nielson
↑ [6] [archive] Un livre en allemand sur la naissance de l'école algébriste japonaise
↑ [7] la page de Wikipédia allemande de Jean Delsarte
↑ [8] [archive] Un exemple d'étude de surface de Zariski

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Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Chronologie_de_l'alg%C3%A8bre

04/04/2011

Algèbre linéaire Rémi Goblot Etude (broché). Paru en 09/2005

Algèbre linéaireRémi Goblot

Algèbre : travaux dirigés Jean-Pierre Lecoutre, Philippe Pilibossian Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 08/2009

Algèbre : travaux dirigésJean-Pierre Lecoutre, Philippe Pilibossian

Algèbre L3 , Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés Aviva Szpirglas Scolaire / Universitaire (broché). Paru en 08/2009

Algèbre L3 , Cours complet avec 700 tests et exercices corrigésAviva Szpirglas

Algèbre , Les structures et les morphismes vus par les problèmes Roland Groux, Philippe Soulat Manuel (livre CDROM). Paru en 09/2008

Algèbre , Les structures et les morphismes vus par les problèmesRoland Groux, Philippe Soulat

10/03/2011

Algèbre

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre

Pour les articles homonymes, voir « Algèbre (homonymie) » et notamment la structure d'algèbre sur un anneau ou sur un corps.

L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie les opérations et équations sur les nombres et plus généralement les structures algébriques.

L'étude de ces structures peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'algèbre universelle.

L'étude épistémologique de l'algèbre a été introduite par Jules Vuillemin.

Histoire[modifier]

Article détaillé : Chronologie de l'algèbre.

Antiquité[modifier]

Les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du premier ou second degré.

Par exemple, le Papyrus Rhind (conservé au British Museum de Londres, il date de -1650, ère chrétienne) comporte l'énoncé suivant :

On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?

Cependant, ils ne faisaient pas de l'algèbre, car ils n'effectuaient pas de calcul sur une inconnue.

Diophante d'Alexandrie (vers 200/214 - vers 284/298), au III^e siècle de l'ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue en tant que nombre,¹ et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l'algèbre.

Monde arabo-musulman[modifier]

Page d'Algebra d'al-Khwarizmi

Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr (الجبر), qui est devenu algebra en latin et qui signifie « la réunion » (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion » (en espagnol le mot algebrista désigne celui qui pratique le calcul algébrique mais aussi le rebouteux, celui qui sait réduire les fractures osseuses²).

C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien d'origine persane Al-Khawarizmi. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques (la culture de l'époque voulait que tout savoir soit traduit en arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne « algèbre ». Une large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de géométrie. Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique.

Après un voyage dans le nord de l'Afrique, Léonard de Pise dit Fibonacci fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal. Dès son retour au pays, il est parmi les premiers à populariser les chiffres arabes et le système décimal en Europe et travaille sur sa fameuse suite.

XVI^e siècle : Europe[modifier]

François Viète

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro, invention indienne que les mathématiciens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à Cordoue.

Cette numération de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen des algorithmes nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à peu l'usage de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVI^e siècle (del Ferro, Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation du 3^e degré (ou équation cubique).Ferrari, élève de Cardan, résout l'équation du 4^e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viètedécouvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au xvii^e siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues numériques à l'aide de lettres .

Au XVII^e siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) etGauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) :

Théorème — Toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant chacune avec son éventuelle multiplicité).

Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :

Théorème — Le corps $_mathbb C$ des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication est algébriquement clos.

Le XIX^e siècle s'intéresse désormais à la calculabilité des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Une étape décisive était franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra à Euler d'énoncer sa célèbre formule $e i π + 1 = 0$ liant cinq nombres remarquables.

Algèbre moderne[modifier]

Ernst Kummer

Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire, longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (« Toute matrice carrée à coefficients dans $_mathbb R$ ou $_mathbb C$ annule son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation et la trigonalisation des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XX^e siècle, la programmation des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique. L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire et algèbre tensorielle.

Au début du XX^e siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques :logique et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel et lastructure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que $_mathbb R$ ou $_mathbb C$ et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi àArtin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française « Nicolas Bourbaki », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

Notations européennes modernes[modifier]

Les symboles + et - apparaissent en 1489 dans l'ouvrage Arithmétique de John Widmann (Leipzig).
Le signe = apparaît en 1557 chez Robert Recorde "parce que deux choses ne sauraient être plus égales que deux lignes parallèles".
Les signes < et > apparaissent en 1610 chez Thomas Harriot (1560-1621).
William Oughtred (1574-1660) introduit le signe de la multiplication × dans son Clavis Mathematica (1631). Il introduit aussi les termes de sinus, cosinus et tangente.
Le signe de la division / est utilisé par Johann Heinrich Rahn en 1659 et introduit en Angleterre par John Pell en 1668.

Voir aussi[modifier]

Sur les autres projets Wikimédia :

« Algèbre », sur Wikimedia Commons(ressources multimédia)
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Algèbre (homonymie)

Notes et références[modifier]

↑ Diophante et l'algèbre pré-symbolique [archive], Luis RADFORD .
↑ Diccionario de la lengua española [archive] de la Real Academia Española

Bibliographie[modifier]

Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Ed. VRIN, Paris - 1976

Liens externes[modifier]

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « History Topics: Algebra Index », MacTutor History of Mathematics archive,université de St Andrews.
Les mathématiques.net : références et cours en ligne

Portail des mathématiques

Catégorie : Algèbre | [+]

Sommaire

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08/03/2011

Algèbre de Boole (logique)

Pour les articles homonymes, voir « Algèbre de Boole ».

L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques. Plus spécifiquement, l'algèbre booléenne permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut initiée par le mathématicien britannique du milieu du xix^e siècle George Boole.

Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques. Elle fut utilisée la première fois pour les circuits de commutation téléphoniques par Claude Shannon.

L'algèbre de Boole des fonctions logiques permet de modéliser des raisonnements logiques, en exprimant un « état » en fonction de conditions. Par exemple :

Communication = Émetteur ET Récepteur

Communication est « VRAI » si Émetteur actif ET Récepteur actif (c'est une fonction logique dépendant des variables Émetteur et Récepteur)

Décrocher = ( Décision de répondre ET Sonnerie ) OU décision d'appeler

Décrocher est « VRAI » si on entend la sonnerie ET que l'on décide de répondre OU si l'on décide d'appeler.

L'algèbre de Boole étant un domaine commun à trois disciplines, on rencontre des notations différentes pour désigner un même objet. Dans le reste de l'article, on indiquera les diverses notations, mais on en privilégiera une pour conserver une certaine homogénéité.

Algèbre de Boole des valeurs de vérité[modifier]

On appelle B l'ensemble constitué de deux éléments appelés valeurs de vérité {VRAI, FAUX}. Cet ensemble est aussi noté

B = {1, 0}
B = ${top , perp }$ .

On privilégiera dans la suite la notation B = {1, 0}.

Sur cet ensemble on peut définir deux lois (ou opérations ou foncteurs), les lois ET et OU et une transformation appelée complémentaire, inversion ou contraire.

Conjonction[modifier]

Articles connexes : Fonction ET et Conjonction logique.

Elle est définie de la manière suivante : a ET b est VRAI si et seulement si a est VRAI et b est VRAI. Cette loi est aussi notée

$cdot ,$
$wedge$
« & » ou « && » dans quelques langages de programmation (Perl, C, PHP...)
« AND » dans certains langages de programmation (Ada, Pascal, Python, PHP ...)
« ∧ » dans quelques notations algébriques, ou en APL
« * » (une multiplication ordinaire), pour quelques langages ne disposant pas de fonction adaptée

On privilégiera dans la suite la notation $cdot ,$ On peut construire la table de cette loi (comme une table d'addition ou de multiplication de notre enfance) mais on ne la confondra pas avec unetable de vérité.

Disjonction[modifier]

Articles connexes : Fonction OU et Disjonction logique.

Elle est définie de la manière suivante : a OU b est VRAI si et seulement si a est VRAI ou b est VRAI. (si a est vrai et que b est vrai aussi, alors a OU b est vrai.) Cette loi est aussi notée

$+ ,$
$vee$
« | » ou « || » dans quelques langages de programmation
« OR » dans certains langages de programmation
« ∨ » dans quelques notations algébriques ou en APL.
« < » très rarement.

On privilégiera dans la suite la notation $+ ,$ mais on prendra garde que cette loi n'est pas l'addition usuelle dans Z/2Z. C'est pourquoi, en mathématiques et en logique mathématique, cette notation $+ ,$ n'est pas utilisée pour désigner le "ou inclusif" : elle est réservée au "ou exclusif", opération qui (jointe au "et") fait de toute algèbre de Boole un anneau de Boole, en particulier une Z/2Z-algèbre (d'où le nom d'algèbre de Boole).

Négation[modifier]

Articles connexes : Fonction NON et Négation logique.

Le contraire de "a" est VRAI si et seulement si a est FAUX. Le contraire de a est noté

non-a
$bar{a}$
$neg (a)$
« ! » dans quelques langages de programmation (C, C++, ...)
« NOT » dans certains langages de programmation (ASM, ...)
« ~ » dans quelques notations algébriques, en APL et dans quelques langages d'interrogation de bases de données (Sql, ...).
« 1- » dans quelques langages ne disposant pas de fonction adaptée (Batch, ...) (puisque 1-0=1 et 1-1=0)

On privilégiera dans la suite la notation $bar{a}$ .

On obtient alors $bar{0}=1$ et $bar{1}=0$

Propriétés[modifier]

Associativité[modifier]

Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles:
$(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c$
$(a . b). c = a .(b . c) = a . b . c$

Commutativité[modifier]

L'ordre est sans importance:
$a + b = b + a$
$a . b = b . a$

Distributivité[modifier]

Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer :
$a .(b + c) = a . b + a . c$
Attention : comportement différent par rapport aux opérateurs + et * habituels :
$a + (b . c) = (a + b).(a + c)$

Idempotence[modifier]

$a + a + a + [...] + a = a$
$a . a . a .[...]. a = a$

Élément neutre[modifier]

$a + 0 = a$
$a .1 = a$

Élément nul[modifier]

$0. a = 0$
$1 + a = 1$

Absorption[modifier]

$a + a . b = a$
$a .(a + b) = a$

Simplification[modifier]

$a + overline{a} . b = a + b$
$a . ( overline{a} + b ) = a . b$

Redondance[modifier]

$a . b + overline{a} . c = a . b + overline{a} . c + b . c$

Complémentarité[modifier]

$a = overline{overline{a}}$

(« La lumière est allumée » = « la lumière n'est pas non allumée »)

$a + overline{a} = 1$

(« VRAI » SI lumière_allumée OU SI lumière_non_allumée → c'est toujours le cas → vrai dans tous les cas → toujours VRAI, donc =1)

$a . overline{a} = 0$

(« VRAI » SI lumière_allumée ET SI lumière_non_allumée → impossible → faux dans tous les cas → toujours FAUX donc =0)

Structure[modifier]

On retrouve alors toutes les propriétés qui confèrent à B une structure d'algèbre de Boole

Priorité[modifier]

Pour faciliter leur compréhension, il a été décidé que ces opérations seraient soumises aux mêmes règles que les opérations « de tous les jours », la fonction ET (multiplication logique) est ainsi prioritaire par rapport à la fonction OU (somme logique) ; on peut, pour s'aider, placer des parenthèses dans les opérations.

Exemple :

a = 0; b = 1; c = 1

On cherche

a . b + c = ???

D'abord on calcule

a . b

a . b = 0.1

0.1 = 0

Puis, on calcule

0 + c

0 + c = c

c = 1

Le résultat final est donc:

a . b + c = (a . b) + c = 1

Théorème de De Morgan[modifier]

Dans les deux cas, l'expression ne sera VRAIE que si a et b sont fausses.

Dans les deux cas, l'expression ne sera FAUSSE que si a et b sont vraies.

Fonctions logiques[modifier]

Article détaillé : Fonction logique.

Mathématiquement, une fonction logique ou opérateur logique est une application de Bⁿ dans B.

En électronique, une fonction logique est une boîte noire qui reçoit en entrée un certain nombre de variables logiques et qui rend en sortie une variable logique dépendant des variables d'entrée. L'article fonction logique précise comment construire les boîtes noires de quelques fonctions fondamentales.

Une table de vérité permet de préciser l'état de la sortie en fonction des états des entrées.

On démontre que toute fonction logique peut se décrire à l'aide des trois opérations de base.

$+,$
$cdot,$
$bar{},$

On démontre aussi qu'il n'existe que $2^{2^n}$ fonctions logiques de $n$ paramètres. Il suffit en effet de considérer toutes les tables de vérités possibles, ou de considérer le développement d'une fonction de $n$ paramètres

Fonctions logiques fondamentales[modifier]

Elles sont issues des trois opérations de base et définissent alors

une fonction de B dans B : le complémentaire ou inversion
deux fonctions de B² dans B qui sont la somme (OU) et le produit (ET)

Fonctions logiques composées[modifier]

Ce sont les fonctions logiques à deux variables. Parmi celles-ci, on en dénombre certaines suffisamment intéressantes pour qu'on leur donne un nom.

Disjonction exclusive[modifier]

Équivalence[modifier]

L'équivalence (notée EQV ou XNOR) est vraie si les deux entrées ont la même valeur et fausse sinon. Elle est appelée aussi « non-(ou exclusif) » (ou encore « et inclusif » )^{[réf. nécessaire]}. Elle se compose comme suit :

$a operatorname{EQV} b = overline{(a+b)}+(a.b)$

On peut aussi dire que :

$a operatorname{EQV} b = overline{a operatorname{XOR} b}$

Il arrive que l'équivalence soit notée par le signe $Leftrightarrow$ , bien que ce choix ne soit pas recommandé compte-tenu des autres sens possibles attachés à ce signe.

Elle peut aussi être notée "==" dans certains langages (C, C++, PHP…).

Implication[modifier]

L'implication (notée IMP) s'écrit de la manière suivante :

$a operatorname{IMP} b = overline{a}+b$

Cette opération n'est pas commutative. a est une condition suffisante pour b, qui, elle, est une condition nécessaire pour a.

Mais $a operatorname{IMP} b = overline{b} operatorname{IMP} overline{a}$

Illustration : de l'affirmation

"S'il fait beau, j'irai me promener."

on peut conclure

"Si je ne vais pas me promener, il ne fait pas beau."

mais on ne peut pas en déduire

"S'il ne fait pas beau, je ne vais pas me promener."

car on ne sait pas si je n'aime pas me promener aussi sous la pluie.

Inhibition[modifier]

L'inhibition (notée INH) se compose comme suit :

$a operatorname{INH} b = a.overline{b}$

Cette opération n'est pas commutative.

Exemple de fonctions logiques à trois ou quatre variables[modifier]

Fonction logique à trois variables[modifier]

Si l'on reprend l'exemple du téléphone, on se trouve en présence de 3 variables :

a = "le téléphone sonne"
b = "on a envie de répondre"
c = "on a envie d'appeler quelqu'un"

la variable d = "on décroche" est fonction logique des 3 précédentes. On écrira que

d = a . b + c

car on décroche quand ça sonne et qu'on a envie de répondre ou quand on a envie d'appeler quelqu'un.

La table de vérité de cette fonction d est alors la suivante :

L'observation de la table montre que notre analyse première comportait une situation absurde: le téléphone sonne, on a envie d'appeler quelqu'un, mais on n'a pas envie de répondre et on décroche quand même. Cela n'est certainement pas le comportement souhaité, il est donc préférable de modifier la fonction décrocher de façon à ce qu'on obtienne le tableau suivant:

En lisant le procédé de la simplification des expressions ci-dessous, on voit que la formule de décrocher2 correspond à $d2 =bar a.c + a.b$ .

Fonction logique à quatre variables[modifier]

Un bon élève s'interroge s'il est sage de sortir un soir. Il doit décider en fonction de quatre propositions :

a = il a assez d'argent
b = il a fini ses devoirs
c = le transport en commun est en grève
d = l'auto de son père est disponible

Cet élève pourra sortir si :

il a assez d'argent, a = vrai
il a fini ses devoirs, donc b = vrai
le transport en commun n'est pas en grève, donc c = faux
ou si l'auto de son père est disponible, donc d = vrai

Donc l'expression logique de sortir en fonction de l'état des variables a, b, c et d ; et elle peut s'écrire ainsi :

Sortir = $a.b.({bar c}+d)$

Minimisation d'une expression[modifier]

Une fonction logique peut être déterminée

soit sous forme d'une expression faisant intervenir les 3 opérations ( $+,$ , $cdot,$ , $bar{},$ )
soit sous forme de sa table de vérité. Dans ce cas il sera toujours possible d'effectuer un développement pour écrire cette fonction comme une somme de produits.

Exemple: Dans l'exemple de "téléphoner2", on s'aperçoit que le résultat est à 1 quand (a, b, c) = (0, 0, 1) ou (0, 1, 1) ou (1, 1, 0) ou (1, 1, 1).

Cela permet de définir d2 par $d2 =bar a.bar b.c + bar a.b.c + a.b.bar c + a.b.c$

Il est alors intéressant de trouver une expression minimisant le nombre de termes et le nombre de lettres dans chaque terme. C'est l'objectif de certaines techniques comme la méthode de Quine-Mc Cluskey, les diagrammes de Karnaugh…

Exemple (suite) : la somme précédente peut être réduite en

$d2 =bar a.c + a.b$

par factorisation des deux premiers termes par $bar a.c$ et factorisation des deux derniers termes par $a.b ,$

Arbre d'expression[modifier]

Les expressions logiques sont souvent représentées en informatique sous forme d'arborescence. Cette dernière comporte un sommet (la racine en fait) auquel sont rattachés différents sous-arbres (ou branches). Les bifurcations sont des sommets internes. Le nombre de sous-arbres reliés à un même sommet est appelé arité. Les sommets sans issue sont appelés feuilles. Chaque sommet interne est identifié par un opérateur booléen alors que les feuilles représentent les variables qui subissent ces opérations.